一類廣義Liénard方程周期解的不存在性

胡宇峰

（岳陽(yáng)縣第一中學(xué)，湖南 岳陽(yáng) 414100）

0 引 言

Liénard方程在平面微分系統(tǒng)的研究中有著非常重要的地位，對(duì)Liénard方程極限環(huán)的研究是平面微分系統(tǒng)定性理論研究的重要課題。

對(duì)于廣義Liénard方程

的特殊情形：

已有許多的研究，其中對(duì)其周期解的不存在性涌現(xiàn)出大量?jī)?yōu)秀的結(jié)果［1－5］。

本文運(yùn)用極限集理論與Poincaré切性曲線法，對(duì)較一般的廣義Liénard方程（1）給出了其周期解不存在的兩個(gè)充分條件，并在文章的最后舉例說(shuō)明了所得結(jié)果的應(yīng)用。

下面先介紹一個(gè)定義和引理。

軌道l的所有ω極限點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱之為它的ω極限集合，記為Ωl；所有α極限點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱之為α極限集合，記為Al。

引理2［6］若軌道l有界，并且 Ωl（Al）最多含有有限個(gè)奇點(diǎn)；則以下三個(gè)結(jié)論之一必定成立：

Ωl（Al）僅由唯一一個(gè)奇點(diǎn)P0構(gòu)成，此時(shí)當(dāng)t→＋∞（t→－∞）時(shí)，軌道l趨于奇點(diǎn)P0；

Ωl（Al）由一條閉軌線L構(gòu)成，此時(shí)當(dāng)t→＋∞（t→－∞）時(shí)，軌道l盤旋逼近于L；

Ωl（Al）是由有限個(gè)奇點(diǎn)和一些極限軌道構(gòu)成的，此時(shí)當(dāng)t→＋∞（t→－∞）時(shí)，這些極限軌道都各自分別趨向于這些奇點(diǎn)當(dāng)中之一。

現(xiàn)考察廣義Liénard方程（1）的等價(jià)系統(tǒng)：

1 主要結(jié)果及證明

定理2 假設(shè)系統(tǒng)（4）滿足以下條件：

（H1）f（x）φ（y）與g（x）ψ（y）關(guān)于x，y滿足局部Lipschitz條件；

（H2）當(dāng)x≠0時(shí)，xg（x）＞0；存在β，γ＞0，使得對(duì)任意y∈R有0＜φ（y）≤β，0＜ψ（y）≤γ；

則系統(tǒng)（4）不存在非零周期解。

從而

現(xiàn)取V（x，y）＝G（x）＋Ψ（y），由條件（H2）及（H4）知當(dāng)0＜C＜M時(shí)V（x，y）＝C表示一系列含有原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線，且對(duì)系統(tǒng)（4）有

由條件（H4）知，當(dāng)0＜C1＜M，閉曲線V（x，y）＝C1的點(diǎn)（x，y）滿足：x∈ （－ x1，x1），而由條件（H2）及（H4）得：當(dāng)x∈ （－ x1，0）∪ （0，x1）時(shí)，有

用B表示平面有界區(qū)域G（x）＋Ψ（y）＜M，而

則B0不包含系統(tǒng)（4）的整條非零軌線，這樣根據(jù)Poincaré切性曲線法知，在區(qū)域B中不包含系統(tǒng)（4）的閉軌線以及不存在只含一個(gè)奇點(diǎn)的閉軌線。

這時(shí)再結(jié)合Poincaré切性曲線法及引理知，負(fù)半軌Γ（D，R－）必趨于系統(tǒng)（4）的唯一奇點(diǎn)原點(diǎn)。這就證明了系統(tǒng)（4）存在一條軌線，它的一邊趨于原點(diǎn)，而另一邊則趨于無(wú)窮。因而若系統(tǒng)（4）有閉軌線，則得出此閉軌線必含唯一奇點(diǎn)，既而它與軌線Γ（D，R）相交，這時(shí)就不符合解的唯一性，因此系統(tǒng)（4）不存在周期解。

定理3 假設(shè)系統(tǒng)（4）滿足以下條件：

（H5）f（x）φ（y）與g（x）ψ（y）關(guān)于x，y滿足局部Lipschitz條件；

（H6）當(dāng)x≠0時(shí)，xg（x）＞0；對(duì)任意y∈R，φ（y）＞0，ψ（y）＞0；

（H7）存在常數(shù)d＞0，當(dāng)x≤－d且固定時(shí)，f（x）φ（y）y＋g（x）ψ（y）是y的單調(diào)遞增函數(shù)；

（H9）Ψ（（±∞）＞m ，

則系統(tǒng)（4）不存在非零周期解。

證明 對(duì)方程

的解y（s），定義p（x）如下：

2 例 子

在本文中給出了廣義Liénard方程（1）周期解不存在性的兩個(gè)充分條件，及較為詳細(xì)的證明過(guò)程。很明顯地可以發(fā)現(xiàn)，在定理2和定理3中，系統(tǒng)（4）在φ（y）≡ψ（y）≡1時(shí)，方程（1）就是方程（2），方程（3）。

下面給出兩個(gè)例子：

例1 考慮下面系統(tǒng)周期解的存在性。

解 很容易檢驗(yàn)出系統(tǒng)（5）滿足定理2中的條件（H1）－（H4），其中β＝1，γ＝2，這樣根據(jù)定理2可知系統(tǒng)（5）不存在非零周期解。

例2 考慮系統(tǒng)

（其中f（x）＝2000－x3，φ（y）＝π＋arctany，g（x）＝x，ψ（y）＝e－y3）周期解的存在性。

解 通過(guò)驗(yàn)證定理3中的條件，由定理3可知系統(tǒng)（6）不存在非零周期解。

致謝：作者感謝湖南工業(yè)大學(xué)趙育林教授的指導(dǎo)！

［1］葉彥謙.極限環(huán)論［M］.上海：上?？萍汲霭嫔?，1984.

［2］Villari G.On the qualitative behaviour of solutions of Liénard equation［J］.Journal of Differential Equations，1987，67（2）：269－277.

［3］Sugie J.Some criteria the existence of limit cycles for a planar system of Liénard type［J］.Nolinear Analysis，1993，21（11）：801－814.

［4］嚴(yán)平，蔣繼發(fā).廣義Liénard方程非平凡周期解的存在性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2000，13（1）：31－34.

［5］Timoteo Carletti，Gabriele Villari.A note on existence and uniquenessof limit cycles for Lienard systems［J］.Journal of Mathematics Analysis and Application，2005，307：763－773.

［6］尤秉禮.常微分方程補(bǔ)充教程［M］.北京：人民教育出版社，1981：268.