電力負(fù)荷區(qū)間預(yù)測的集成極限學(xué)習(xí)機(jī)方法

李知藝，丁劍鷹，吳 迪，文福拴

(1．浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027;2．廣東省粵電集團(tuán)有限公司，廣東 廣州 510630)

0 引言

電力負(fù)荷預(yù)測，尤其是短期和超短期預(yù)測，是現(xiàn)代電力系統(tǒng)運(yùn)行的基礎(chǔ)，其預(yù)測精度對系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行具有重要影響[1]。其中，短期預(yù)測是對未來一日或幾日每個(gè)采樣點(diǎn)(每日等時(shí)間隔采樣24，48或96次)用電負(fù)荷的預(yù)測，因此也稱為日度預(yù)測[2]。超短期負(fù)荷預(yù)測是對當(dāng)前時(shí)段往后一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)(每個(gè)時(shí)間點(diǎn)間隔5，10，15或30 min)用電負(fù)荷的預(yù)測，因此也稱為時(shí)分預(yù)測[2]。

為準(zhǔn)確預(yù)測短期和超短期負(fù)荷，國內(nèi)外很多學(xué)者做了大量研究工作，提出了回歸分析法[3]、人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法[4]、支持向量機(jī)法[5]、灰色模型法[6]等諸多方法。然而，這些方法都只能得到確定性的點(diǎn)預(yù)測結(jié)果，由于預(yù)測過程中存在的不確定因素，得到的預(yù)測結(jié)果一般都有不同程度的誤差。

隨著電力系統(tǒng)負(fù)荷特性趨于復(fù)雜，負(fù)荷預(yù)測難度隨之增加，而另一方面電力系統(tǒng)運(yùn)行對負(fù)荷預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性的要求不斷提高，傳統(tǒng)的點(diǎn)預(yù)測方法越來越難以滿足電力系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際需求。在此背景下，區(qū)間預(yù)測方法逐步受到重視。區(qū)間預(yù)測方法可以對由不確定性因素引起的預(yù)測結(jié)果變動(dòng)范圍進(jìn)行量化，實(shí)際負(fù)荷觀測值以一定期望概率落在區(qū)間上、下界確定的預(yù)測區(qū)間內(nèi)，可用于電力系統(tǒng)短期和超短期負(fù)荷預(yù)測，得到合理的預(yù)測區(qū)間[7]。

現(xiàn)有的區(qū)間預(yù)測方法普遍存在計(jì)算復(fù)雜、假設(shè)性強(qiáng)、預(yù)測時(shí)間長等問題[8，9]，因此有必要尋求更加簡單高效的方法來構(gòu)建預(yù)測區(qū)間。以電力系統(tǒng)短期和超短期負(fù)荷預(yù)測為應(yīng)用背景，本文對區(qū)間預(yù)測技術(shù)進(jìn)行了新的探索，以極限學(xué)習(xí)機(jī)點(diǎn)預(yù)測模型為基礎(chǔ)，提出了比例系數(shù)法，并用實(shí)際數(shù)據(jù)說明了該方法的預(yù)測性能。

1 極限學(xué)習(xí)機(jī)理論與和聲搜索算法

1.1 極限學(xué)習(xí)機(jī)理論

極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine)是單隱含層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種學(xué)習(xí)算法，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如附錄圖1所示(略)。該算法只需設(shè)定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)以確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值能由隨機(jī)產(chǎn)生的隱含層節(jié)點(diǎn)學(xué)習(xí)參數(shù)直接解析確定而無需迭代調(diào)整，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度極快。同時(shí)，該算法能保證在已有條件下網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差最小且由解析獲得的輸出權(quán)值范數(shù)最小，因此具備比常規(guī)單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更好的泛化能力[10]。

極限學(xué)習(xí)機(jī)算法的主要思想如下所述:

可以證明[12]，如果隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)l與訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)N相等，則任取隱含層節(jié)點(diǎn)的學(xué)習(xí)參數(shù)(下文簡稱學(xué)習(xí)參數(shù))aj∈ ?n，bj∈ ? (j=1，2，…，l)，該網(wǎng)絡(luò)都能夠以零誤差逼近訓(xùn)練樣本，即此時(shí)有:

上述N個(gè)等式可以表示為如下矩陣形式:

式中:

當(dāng)訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)很大時(shí)，為了減少計(jì)算量，l通常取比N小的數(shù)，在這種情況下，極限學(xué)習(xí)機(jī)算法在訓(xùn)練前隨機(jī)選擇學(xué)習(xí)參數(shù)aj∈?n，bj∈? (j=1，2，…，l)且在訓(xùn)練過程中保持不變。訓(xùn)練這個(gè)網(wǎng)絡(luò)等同于求解以β為變量的線性系統(tǒng)Hβ =T 的最小二乘解[13]，即

其解為

式中:H+為隱含層輸出矩陣H的摩爾－彭洛斯(Moore-Penrose)廣義逆矩陣，可以通過正交投影法或奇異值分解法等方法[14]解析獲取。

1.2 和聲搜索算法

和聲搜索(Harmony Search)算法是一種新興的具備全局搜索能力的智能優(yōu)化算法[15]。這種算法模擬了樂隊(duì)演奏時(shí)樂師們尋求美妙和聲狀態(tài)的過程，具有程序?qū)崿F(xiàn)簡單、求解速度快、尋優(yōu)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。對于一些工程優(yōu)化問題，其算法性能比一些常規(guī)智能優(yōu)化算法(如遺傳算法和模擬退火方法法)更加有效[16，17]。

和聲搜索算法包括下述特征參數(shù):a．和聲記憶庫規(guī)模(Harmony Memory Size)，SHM，即和聲記憶庫(Harmony Memory)能存放的解向量數(shù)目，和聲記憶庫在迭代過程中保持與外部信息交換更新，保證庫內(nèi)存放解向量的多樣性和較優(yōu)性;b．和聲記憶庫內(nèi)取值率(Harmony Memory Considering Rate)，RHM，其值決定迭代過程中和聲記憶庫內(nèi)搜索解向量的概率，較高的RHM值將保證待搜索的解向量能充分繼承庫內(nèi)較優(yōu)解的相應(yīng)信息;c．音調(diào)調(diào)節(jié)率(Pitch Adjusting Rate)，PHM，和音調(diào)調(diào)節(jié)帶寬bHM，通過適當(dāng)設(shè)置PHM和bHM可使解向量跳出局部最優(yōu)值，提高全局搜索能力;(4)創(chuàng)作次數(shù) (Number of Improvisations)，NHM，即算法的最大迭代次數(shù)，通常作為判定算法是否需要終止的條件參數(shù)。具體實(shí)現(xiàn)過程如下所述[18，19]:

STEP 1設(shè)置算法參數(shù)與初始化和聲記憶庫定義優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)f(·)、解向量維數(shù)DHM及變量取值范圍，并設(shè)置算法的特征參數(shù)，即SHM，RHM，PHM，bHM和 NHM。之后，在和聲記憶庫里隨機(jī)產(chǎn)生SHM個(gè)初始解z1，z2，…，zSHM并計(jì)算相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值f(z1)，f(z2)，…，f(zSHM)。

STEP 2生成新的解向量

STEP 3評估新生成的解向量

對STEP 2生成的解向量進(jìn)行評估，即將zNEW對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f(zNew)與和聲記憶庫內(nèi)已有解向量的最劣目標(biāo)函數(shù)值f(zWorst)進(jìn)行比較，如果優(yōu)于f(zWorst)，則將新生成的解向量存入記憶庫并替換出f(zWorst)對應(yīng)的解向量。

STEP 4判定是否滿足終止條件

重復(fù)STEP 2和STEP 3，直至迭代次數(shù)i達(dá)到NHM。同時(shí)，為提高該算法的全局尋優(yōu)能力和魯棒性，在迭代過程中對RHM和PHM進(jìn)行自適應(yīng)取值，使得算法在迭代初期以較高概率搜索到相對較優(yōu)解，并能在迭代后期擴(kuò)大搜索范圍，避免陷入局部最優(yōu)解。自適應(yīng)取值的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[20]

2 預(yù)測區(qū)間評估指標(biāo)

2.1 區(qū)間覆蓋率

區(qū)間覆蓋率 (Coverage Probability)，χCP，是衡量預(yù)測區(qū)間質(zhì)量的最關(guān)鍵指標(biāo)，其定義了實(shí)際觀測值(下文簡稱觀測值)落在由上下界包絡(luò)的預(yù)測區(qū)間內(nèi)的概率。χCP值越大表示有越多的觀測值被構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間所覆蓋，反之亦然。在理想情況下，χCP=100%，此時(shí)所有的觀測值都位于預(yù)測區(qū)間內(nèi)。

通常，期望觀測值以不低于額定置信水平的一定概率p落在所構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間內(nèi)，即

式中:P(·)表示概率;L(xi)和U(xi)分別是由xi預(yù)測得到的預(yù)測區(qū)間下界和上界;ti為與xi對應(yīng)的觀測值;μ為額定置信水平，其與顯著性水平γ的關(guān)系為

根據(jù)伯努利大數(shù)定律，可以直接用預(yù)測區(qū)間覆蓋觀測值的頻率來表示χCP，其將依概率收斂于p，即

式中:N為預(yù)測樣本的個(gè)數(shù)，ci為布爾量

為構(gòu)建有效的預(yù)測區(qū)間，χCP應(yīng)高于額定置信水平μ;如果χCP遠(yuǎn)小于μ，則該預(yù)測區(qū)間視作無效區(qū)間，需重新構(gòu)建。

2.2 平均寬度百分比

預(yù)測區(qū)間寬度是評估預(yù)測區(qū)間質(zhì)量的重要參考依據(jù)。如果區(qū)間足夠?qū)?，則很容易滿足χCP=100%的理想?yún)^(qū)間覆蓋率，然而這樣的區(qū)間過于保守，并不能給出關(guān)于待預(yù)測值不確定性的有效信息，使得區(qū)間預(yù)測的結(jié)果沒有實(shí)用價(jià)值[21]。為了更合理地評價(jià)預(yù)測區(qū)間，還需要度量區(qū)間寬度。定義平均寬度百分比 (Mean Width Percentage)指標(biāo)χMWP如式(14):

該指標(biāo)度量了每個(gè)待預(yù)測點(diǎn)的預(yù)測區(qū)間寬度占觀測值的平均百分比。需要指出，以相對寬度來度量預(yù)測區(qū)間往往比絕對寬度更具實(shí)用價(jià)值。在負(fù)荷預(yù)測問題中，用電高峰時(shí)的負(fù)荷往往難以準(zhǔn)確預(yù)測，預(yù)測區(qū)間理應(yīng)較寬，而用電低谷時(shí)的預(yù)測準(zhǔn)確度相對較高，預(yù)測區(qū)間相對較窄，因此以絕對寬度評估高峰和低谷負(fù)荷預(yù)測區(qū)間并不能準(zhǔn)確反映預(yù)測區(qū)間的優(yōu)劣。預(yù)測區(qū)間寬度一般與觀測值大小呈正相關(guān)，借助χMWP能對區(qū)間寬度做出更準(zhǔn)確評價(jià)。在極端條件下，N個(gè)待預(yù)測點(diǎn)的預(yù)測區(qū)間上下界都相同，則預(yù)測區(qū)間寬度全都為零，此時(shí)區(qū)間預(yù)測退化為點(diǎn)預(yù)測，關(guān)于預(yù)測區(qū)間的評估指標(biāo)就失去實(shí)際意義。本文嚴(yán)格區(qū)分點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測，定義預(yù)測區(qū)間均需滿足xMWP≠0。

2.3 累積偏差

已有關(guān)于區(qū)間預(yù)測的研究普遍采用了χCP和類似 χMWP的指標(biāo)[9，21～27]，但僅靠這兩個(gè)指標(biāo)并不能完全評估所構(gòu)建預(yù)測區(qū)間的優(yōu)劣。以圖1為例對此進(jìn)行說明。子圖(a)和(b)為對同一待測數(shù)據(jù)集構(gòu)建預(yù)測區(qū)間的兩種不同情況，可以看出兩個(gè)區(qū)間的χCP和χMWP的值均相同，但未被預(yù)測區(qū)間覆蓋的兩個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)偏離預(yù)測區(qū)間上界(或下界)的程度不同，子圖(a)中兩點(diǎn)的偏離程度明顯大于圖(b)中兩點(diǎn)，故一般認(rèn)為子圖(b)的預(yù)測區(qū)間要優(yōu)于子圖(a)。然而，現(xiàn)有的評估指標(biāo)體系并不能將這兩個(gè)區(qū)間的優(yōu)劣做出評判，往往將兩個(gè)區(qū)間視為等效區(qū)間。這里引入一個(gè)新指標(biāo)，即累積偏差(Accumulated Deviation)，χAD，計(jì)算式為

式中:εi表示觀測值偏離預(yù)測區(qū)間上界(或下界)的程度，表示為

與χMWP類似，也采用相對偏離程度來確定χAD。在相同χCP和χMWP的條件下，χAD越小則預(yù)測區(qū)間質(zhì)量一般越高。

圖1 兩類預(yù)測區(qū)間比較示意圖Fig．1 Comparison between two kinds of prediction intervals

2.4 預(yù)測區(qū)間滿意度

χCP，χMWP和χAD3個(gè)指標(biāo)相互獨(dú)立，都只考慮了預(yù)測區(qū)間的某一性質(zhì)，依據(jù)任何一個(gè)或兩個(gè)指標(biāo)都不能對預(yù)測區(qū)間做出完全而準(zhǔn)確的評估。理想的預(yù)測區(qū)間需要在滿足置信水平符合要求(χCP盡量大)的同時(shí)，區(qū)間寬度和未覆蓋點(diǎn)偏離程度盡量小(即 χMWP和 χAD盡量小)。然而，由 χCP，χMWP和χAD的定義可知，這3個(gè)指標(biāo)實(shí)際上是相互沖突的:χCP越大，往往 χMWP越大;χMWP越小，往往χCP越小而χAD越大;χAD越小，往往χMWP越大。因此，需要綜合考慮這3個(gè)指標(biāo)。這里提出能對預(yù)測區(qū)間進(jìn)行量化評估的綜合指標(biāo)，即預(yù)測區(qū)間滿意度指標(biāo) (Prediction Interval Satisfaction Index)，χPISI，計(jì)算公式為

式中:λ，η和μ為χPISI的3個(gè)控制參數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際需要設(shè)定;λ和η分別為對χAD和χCP的懲罰系數(shù)，μ為給定的置信水平。

如前所述，χCP是評判預(yù)測區(qū)間優(yōu)劣的最關(guān)鍵指標(biāo)，一般而言在χCP不低于μ的情況下評估預(yù)測區(qū)間才有意義。實(shí)際上，χCP由有限樣本統(tǒng)計(jì)得到，其值可能會(huì)稍小于μ，此時(shí)同樣可以對相應(yīng)預(yù)測區(qū)間進(jìn)行評估[25]。附錄圖2(略)描繪了χPISI關(guān)于 χCP的函數(shù) (1+e－η·(χCP－μ)) 隨 χCP不同取值的變化規(guī)律(圖中 η =50，μ =90%)。當(dāng) χCP高于 μ時(shí)，該函數(shù)走勢平緩并漸近趨于1，此時(shí)χPISI主要受χMWP和χAD影響;而當(dāng)χCP低于μ時(shí)，函數(shù)值隨著χCP偏離μ而陡增，此時(shí)χCP對χPISI的計(jì)算起主導(dǎo)作用。

χPISI綜合考慮并有效結(jié)合了 χCP，χMWP和 χAD這3個(gè)指標(biāo)，可以作為評判預(yù)測區(qū)間優(yōu)劣的指標(biāo)。為使χPISI更具實(shí)際意義，這里定義:當(dāng)χPISI的計(jì)算結(jié)果小于0時(shí)，χPISI值取0。因此，χPISI始終在[0，100%)范圍內(nèi)取值，χPISI值越大，可認(rèn)為預(yù)測區(qū)間質(zhì)量越高。當(dāng)χCP等于100%，χAD等于0%;當(dāng)χMWP值趨近0%時(shí)，χPISI值趨近100%。對于χPISI值只能無限趨近而不能達(dá)到100%這一現(xiàn)象，可以解釋為在實(shí)際預(yù)測過程中更希望得到的預(yù)測結(jié)果是確定的準(zhǔn)確值，而非可能出現(xiàn)的某個(gè)變動(dòng)區(qū)間，用“不確定”的區(qū)間預(yù)測代替“確定”的點(diǎn)預(yù)測只是對某些不確定因素的“妥協(xié)”，因此區(qū)間預(yù)測的結(jié)果永遠(yuǎn)不是最滿意(對應(yīng)χPISI=100%)的。

3 比例系數(shù)法主要思想

3.1 預(yù)測值與預(yù)測區(qū)間

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 Bootstrap法[28]是目前應(yīng)用最廣泛的區(qū)間預(yù)測方法[21]，其假設(shè)對預(yù)測模型集成后得到的點(diǎn)預(yù)測值(下文簡稱預(yù)測值)能以很小偏差(甚至無偏)估計(jì)真實(shí)回歸值(下文簡稱真實(shí)值)，即觀測值的期望值，繼而以預(yù)測值為中心構(gòu)建對稱的預(yù)測區(qū)間，保證觀測值以不低于額定置信水平的概率落在此區(qū)間內(nèi)。此種假設(shè)下，預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間如圖2(a)所示，預(yù)測值能以很小的偏差逼近真實(shí)值(甚至與真實(shí)值重合)，構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間近似于以真實(shí)值為中心對稱分布。

圖2 點(diǎn)預(yù)測值與預(yù)測區(qū)間示意圖Fig．2 Prediction point and prediction interval

理論上可以證明[29]，以真實(shí)值為中心對稱的預(yù)測區(qū)間要較不對稱的預(yù)測區(qū)間更優(yōu)。實(shí)際上，真實(shí)值難以獲取，而由于數(shù)據(jù)噪聲及預(yù)測模型本身不確定性的影響，預(yù)測值很多情況下并不能作為真實(shí)值的無偏估計(jì)值。以極限學(xué)習(xí)機(jī)對短期(或超短期)負(fù)荷進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測為例，對此進(jìn)行說明。一方面，在預(yù)測過程中選用的歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)從SCADA系統(tǒng)獲取，而由于SCADA系統(tǒng)采集過程中的一些偏差會(huì)使所采集的負(fù)荷觀測值偏離真實(shí)值[1]，因此極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸入量和期望輸出量都能視為被數(shù)據(jù)噪聲污染的隨機(jī)變量，使得預(yù)測結(jié)果可信度降低。另一方面，極限學(xué)習(xí)機(jī)模型本身會(huì)對預(yù)測精度造成影響。預(yù)測過程中，往往難以確定最優(yōu)的特征輸入量、學(xué)習(xí)參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取的特征輸入量和隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)及隨機(jī)選取的學(xué)習(xí)參數(shù)使得模型預(yù)測性能達(dá)不到要求。即使極限學(xué)習(xí)機(jī)能零偏差學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，然而由于樣本數(shù)據(jù)有限，難以保證模型對所有待預(yù)測樣本均能適用，而且訓(xùn)練樣本中往往存在“尖峰”數(shù)據(jù)，為平緩這些“尖峰”，極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸出值都會(huì)有偏離真實(shí)值趨向，導(dǎo)致預(yù)測精度達(dá)不到要求。如果由預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值有較大偏差，此時(shí)以預(yù)測值為對稱中心構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間很難滿足要求，如圖2(b)。

通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理(如替換異常值、非線性去噪等[30])和提高模型的預(yù)測精度和泛化能力[31]，能使得預(yù)測值以更小的誤差估計(jì)真實(shí)值。然而，這些處理手段都需要靠經(jīng)驗(yàn)選取或經(jīng)過反復(fù)試錯(cuò)后找到，實(shí)際預(yù)測過程中往往難以將其全部實(shí)現(xiàn)。當(dāng)預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值的偏差不能忽略時(shí)，但是依然可以通過構(gòu)建如圖2(c)中的預(yù)測區(qū)間來抵消此偏差，此時(shí)區(qū)間并不再以預(yù)測值為中心對稱。

3.2 比例系數(shù)法

本文提出的方法將極限學(xué)習(xí)機(jī)(網(wǎng)絡(luò)模型如附錄圖3(略))對預(yù)測樣本(或稱預(yù)測集)的輸出值分別放大和縮小比例系數(shù)α和β得到的結(jié)果作為預(yù)測區(qū)間的上界和下界，故稱其為比例系數(shù)法。數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:yi是極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入量為xi的輸出值;U(xi)和L(xi)為對應(yīng)xi構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間上界和下界;α和β為需要確定的兩個(gè)比例系數(shù)。

為獲得α和β并保證其能確定最優(yōu)的預(yù)測區(qū)間，假設(shè)比例系數(shù)在連續(xù)時(shí)間段內(nèi)的變化態(tài)勢是平滑的，α和β則近似于對近期歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行事后預(yù)測并評估后確定的最優(yōu)比例系數(shù)和(對應(yīng)的事后預(yù)測區(qū)間最優(yōu))。因此，α和β可以由式(19)確定:

基于以上思想，比例系數(shù)法將近期歷史數(shù)據(jù)構(gòu)成的另一個(gè)預(yù)測樣本(稱為驗(yàn)證集)，根據(jù)同一極限學(xué)習(xí)機(jī)的對應(yīng)輸出值類似式(18)構(gòu)建驗(yàn)證集預(yù)測區(qū)間，并用驗(yàn)證集觀測值對預(yù)測區(qū)間進(jìn)行評估，比例系數(shù)αValid和βValid在指定范圍內(nèi)不斷調(diào)整，直至獲得χPISI值最高的預(yù)測區(qū)間，即求解如下優(yōu)化問題:

式中: χPISI，Valid為驗(yàn)證集的 χPISI值，和分別為驗(yàn)證集比例系數(shù)αValid和βValid的指定最小值、最大值。

考慮到價(jià)值函數(shù)即“100% － χPISI，Valid”的函數(shù)形態(tài)復(fù)雜性，本文采用和聲搜索算法對αValid和βValid進(jìn)行尋優(yōu)，最小價(jià)值函數(shù)對應(yīng)的和即為需要確定的比例系數(shù)，根據(jù)式(18)對預(yù)測集構(gòu)建預(yù)測區(qū)間。

由于通過集成可以增加預(yù)測模型的穩(wěn)定性并且提高預(yù)測精度，比例系數(shù)法也引入了集成技術(shù)。這里首先給出兩個(gè)不同思路:

(1)將M個(gè)極限學(xué)習(xí)機(jī)對應(yīng)驗(yàn)證集和預(yù)測集的輸出值取中位值，以期望獲得更精確的預(yù)測值y*(xi)，即

式中:median{·}表示取中位數(shù)。

(2)驗(yàn)證集根據(jù)要集成的第k個(gè)極限學(xué)習(xí)機(jī)對應(yīng)輸出值確定一組比例系數(shù)和，隨后預(yù)測集根據(jù)同個(gè)極限學(xué)習(xí)機(jī)對應(yīng)輸出值yk(xi)構(gòu)建一組區(qū)間上下界Uk(xi)和Lk(xi)，即

最后對所得的M個(gè)區(qū)間進(jìn)行集成，分別取區(qū)間上、下界的中位值作為最終預(yù)測區(qū)間上、下界U*(xi)和L*(xi)，即

以上兩種思路均能反映比例系數(shù)法的主要思想，由于比例系數(shù)法本質(zhì)上不嚴(yán)格區(qū)分預(yù)測值偏離真實(shí)值的程度，而每組預(yù)測值均能對應(yīng)一個(gè)高質(zhì)量的預(yù)測區(qū)間(如圖2(a)和圖2(c))，從統(tǒng)計(jì)角度而言，思路(2)能以更高概率找到最優(yōu)區(qū)間，因此本文采用的是思路(2)的方案。

此外，由于極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)取決于隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果節(jié)點(diǎn)過少，則會(huì)導(dǎo)致模型學(xué)習(xí)能力有限，影響預(yù)測結(jié)果的精度，如果節(jié)點(diǎn)過多，則容易導(dǎo)致“過擬合”，影響模型的泛化能力。同時(shí)，由于極限學(xué)習(xí)機(jī)隨機(jī)選取隱含層節(jié)點(diǎn)學(xué)習(xí)參數(shù)，不同的參數(shù)將對應(yīng)不同的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即其最優(yōu)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)不是一個(gè)固定值，而是在某個(gè)區(qū)間變動(dòng)。因此，比例系數(shù)法集成的極限學(xué)習(xí)機(jī)，在指定區(qū)間內(nèi)選取隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，以增加網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多樣性使集成的結(jié)果更穩(wěn)定[32]。

附錄圖4(略)給出了使用比例系數(shù)法對負(fù)荷進(jìn)行區(qū)間預(yù)測的實(shí)現(xiàn)流程，具體步驟如下所述:

STEP 1選取特征輸入量，構(gòu)造訓(xùn)練集和驗(yàn)證集

選取歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)劃分訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，并根據(jù)訓(xùn)練集負(fù)荷數(shù)據(jù)特性確定極限學(xué)習(xí)機(jī)特征輸入量 xi=[xi1，xi2，…，xin]T∈ ?n。

STEP 2確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)最優(yōu)選取區(qū)間

選取不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的極限學(xué)習(xí)機(jī)學(xué)習(xí)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，隨后對驗(yàn)證集進(jìn)行區(qū)間預(yù)測，根據(jù)χPISI對所得預(yù)測區(qū)間進(jìn)行評估，確定隱含層節(jié)點(diǎn)最優(yōu)選擇區(qū)間(下文簡稱選擇區(qū)間)。

STEP 3訓(xùn)練極限學(xué)習(xí)機(jī)，對驗(yàn)證集和預(yù)測集進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測

從選擇區(qū)間隨機(jī)選取隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)并從指定范圍內(nèi)選取相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)參數(shù)，使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對極限學(xué)習(xí)機(jī)進(jìn)行訓(xùn)練。使用訓(xùn)練過的極限學(xué)習(xí)機(jī)對驗(yàn)證集和預(yù)測集分別進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測。

STEP 4確定比例系數(shù)

使用和聲搜索算法在給定范圍內(nèi)尋找能使驗(yàn)證集χPISI最大的α和β，根據(jù)尋優(yōu)得到的最優(yōu)比例系數(shù)計(jì)算預(yù)測集的預(yù)測區(qū)間上下界，并將此結(jié)果保存。

STEP 5判定是否完成集成

判定集成的極限學(xué)習(xí)機(jī)個(gè)數(shù)是否已達(dá)到給定集成數(shù)M，如果沒有達(dá)到M，則重復(fù)STEP 3和STEP 4。

STEP 6確定預(yù)測集預(yù)測區(qū)間

取預(yù)測集在集成過程中得到的M個(gè)上、下界結(jié)果的中位值，分別作為所要構(gòu)建預(yù)測區(qū)間的上、下界。

4 算例分析

為驗(yàn)證比例系數(shù)法應(yīng)用于負(fù)荷預(yù)測的正確性和有效性，本文選取2007年度浙江某城市冬季和夏季的兩個(gè)典型月(即1月和7月)實(shí)際用電負(fù)荷數(shù)據(jù)為樣本，分別進(jìn)行短期預(yù)測和超短期預(yù)測研究。其中，短期預(yù)測的對象是次日全天96點(diǎn)負(fù)荷觀測值(從0:00至23:45每隔15 min進(jìn)行一次采樣，共計(jì)96個(gè)采樣點(diǎn))，超短期預(yù)測則對下一采樣點(diǎn)(時(shí)間間隔為15 min)的負(fù)荷觀測值進(jìn)行在線預(yù)測。由于高比重的取暖(或空調(diào))負(fù)荷以及節(jié)假日的影響，這兩個(gè)月的用電負(fù)荷并無明顯的變化規(guī)律(如日類型)可遵循，常規(guī)的點(diǎn)預(yù)測方法很難滿足實(shí)際需求，因此對其進(jìn)行區(qū)間預(yù)測更為合理。

4.1 數(shù)據(jù)樣本集和特征輸入量

將1月和7月由日96點(diǎn)負(fù)荷數(shù)據(jù)組成的樣本集根據(jù)時(shí)間先后順序分別以70% ～20% ～10%的比例劃分為3個(gè)互不重疊的樣本子集:訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和預(yù)測集，劃分結(jié)果見附錄表1(略)。此外，本文研究過程中以日為窗口單元對訓(xùn)練集和驗(yàn)證集進(jìn)行滾動(dòng)更新，如附錄圖5(略)。

由于選取合適的特征輸入量能提高極限學(xué)習(xí)機(jī)的預(yù)測精度，而這2個(gè)月負(fù)荷特性較為復(fù)雜，很難根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取合適的特征輸入量，因此借助于ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average model)中的偏自相關(guān)函數(shù)來幫助選取特征輸入量。對訓(xùn)練集歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)構(gòu)成的時(shí)間序列進(jìn)行偏自相關(guān)分析，選取偏自相關(guān)系數(shù)最大的5個(gè)“已知”負(fù)荷數(shù)據(jù)作為特征輸入量 xi1，xi2，xi3，xi4和xi5。選取結(jié)果見附錄表2(略)。由于負(fù)荷數(shù)值落在神經(jīng)元的有效區(qū)間外將引起神經(jīng)元的飽和，需要將所有負(fù)荷數(shù)據(jù)歸一化到區(qū)間[－1，1]，并對最終預(yù)測結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的反歸一化。

為增強(qiáng)極限學(xué)習(xí)機(jī)的學(xué)習(xí)能力，使之辨識(shí)不同時(shí)刻的負(fù)荷值，增加與各采樣點(diǎn)時(shí)標(biāo)相關(guān)的特征輸入量xi6，xi7，并按如下規(guī)則進(jìn)行編碼:

式中:k為與各采樣點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)標(biāo)(k=1，2，…，96)。

在此編碼規(guī)則下，各采樣點(diǎn)的時(shí)標(biāo)能由xi6和xi7聯(lián)合確定，且由于xi6和xi7均在區(qū)間[－1，1]內(nèi)取值，所以無需再對其進(jìn)行歸一化。

4.2 模型參數(shù)

極限學(xué)習(xí)機(jī)隱含層節(jié)點(diǎn)選為加法型節(jié)點(diǎn)，激活函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，輸入權(quán)值和閾值均從[－1，1]范圍內(nèi)隨機(jī)選取。附錄表3(略)和附錄表4(略)分別給出了和聲搜索算法和χPISI的特征參數(shù)值以及隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)和比例系數(shù)的選擇區(qū)間。附錄圖6(略)描繪了對1月負(fù)荷進(jìn)行超短期預(yù)測時(shí)，驗(yàn)證集價(jià)值函數(shù)值在和聲搜索過程中的典型演變情況。

4.3 結(jié)果分析與比較

將比例系數(shù)法與文獻(xiàn)[33]總結(jié)的配對自助法(Pairs Bootstrap)進(jìn)行比較，其中配對自助法實(shí)驗(yàn)過程中不區(qū)分訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，集成數(shù)均取100。為消除算法的隨機(jī)性，重復(fù)實(shí)驗(yàn)10次，預(yù)測區(qū)間按日進(jìn)行劃分并用實(shí)際觀測值對當(dāng)日預(yù)測區(qū)間進(jìn)行評估，將所得χPISI的中位值對應(yīng)的預(yù)測區(qū)間取為最終結(jié)果。表1和表2分別比較了比例系數(shù)法和配對自助法的超短期和短期區(qū)間預(yù)測結(jié)果。圖3和圖4給出了比例系數(shù)法對1月負(fù)荷進(jìn)行超短期和短期區(qū)間預(yù)測的結(jié)果，7月的相應(yīng)結(jié)果請見附錄圖7(略)和附錄圖8(略)。配對自助法的短期區(qū)間預(yù)測結(jié)果如附錄圖9(略)和附錄圖10(略)所示。

(1)超短期預(yù)測結(jié)果及分析

從表1中容易看出，比例系數(shù)法確定的預(yù)測區(qū)間的χPISI基本都要高于配對自助法，且χPISI能基本穩(wěn)定在一個(gè)較高水平(1月為94%，7月為96%)，而后者的χPISI波動(dòng)較大(1月波動(dòng)幅度約10%，7月波動(dòng)幅度約3%)。比例系數(shù)法構(gòu)建預(yù)測區(qū)間過程中，和聲搜索算法尋優(yōu)得到的比例系數(shù)結(jié)果典型值為:1月=0．0224，=0．0265，7 月=0．0183，=0．0175，可以推知，預(yù)測值可以作為真實(shí)值的近似無偏估計(jì)值，使得預(yù)測區(qū)間近似以預(yù)測值為中心對稱。此時(shí)，使用配對自助法同樣可以獲得較為滿意的結(jié)果。

(2)短期預(yù)測結(jié)果及分析

從表2中數(shù)據(jù)容易得知，比例系數(shù)法確定的預(yù)測區(qū)間的χPISI要遠(yuǎn)比配對自助法穩(wěn)定，后者甚至出現(xiàn)了χPISI=0的情況。比例系數(shù)法構(gòu)建預(yù)測區(qū)間過程中，和聲搜索算法尋優(yōu)得到的比例系數(shù)結(jié)果典型值為:1月= 0．0433，=0.0825，7月=0.1108，=0.0595，此時(shí)預(yù)測區(qū)間不再以預(yù)測值為中心對稱，由預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值將導(dǎo)致較大偏差。因此，基于預(yù)測值能夠無偏估計(jì)真實(shí)值的假設(shè)的配對自助法并不能給出可信的預(yù)測區(qū)間。此時(shí)，配對自助法確定的1月和7月的預(yù)測區(qū)間由于預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值時(shí)分別上偏和下偏，導(dǎo)致獲得的預(yù)測區(qū)間也相應(yīng)上偏和下偏，均不能很好的覆蓋全部觀測值，而比例系數(shù)法通過控制αValid和βValid的取值，通過構(gòu)建不對稱的預(yù)測區(qū)間，對預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值的偏差進(jìn)行了修正，依然可以獲得較為滿意的結(jié)果。

與超短期預(yù)測結(jié)果類似，短期預(yù)測時(shí)雖然比例系數(shù)法確定的區(qū)間χMWP要高于配對自助法，但前者往往能夠獲得更高的χCP和χAD，使得χPISI也更高，因此前者構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間質(zhì)量也往往更高。此外，短期預(yù)測時(shí)，預(yù)測區(qū)間χMWP明顯大于超短期預(yù)測時(shí)的對應(yīng)值，這一現(xiàn)象符合區(qū)間預(yù)測的特征，即不確定性越大，預(yù)測區(qū)間結(jié)果將越保守，此時(shí)預(yù)測區(qū)間也就越寬。本文研究中為更好地反映負(fù)荷預(yù)測的不確定性，在短期預(yù)測時(shí)，并未計(jì)入氣象因素的影響。在條件允許的情況下，增加相關(guān)的氣象因素(主要是溫度)為特征輸入量將有助于提高預(yù)測準(zhǔn)確度，進(jìn)而降低預(yù)測區(qū)間的χMWP。

如果實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行過程中需要待預(yù)測日的確定性點(diǎn)預(yù)測值，則可以將由預(yù)測區(qū)間上下界確定的區(qū)間中值作為點(diǎn)預(yù)測值，即

式中:yi和xi分別為待預(yù)測日第i個(gè)時(shí)刻的點(diǎn)預(yù)測值和極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入量;L(xi)和U(xi)為與xi對應(yīng)的預(yù)測區(qū)間下界和上界。

對由比例系數(shù)法和配對自助法得到的預(yù)測區(qū)間分別由式(26)確定點(diǎn)預(yù)測值，并根據(jù)文獻(xiàn)[34]提供的評價(jià)點(diǎn)預(yù)測結(jié)果的日負(fù)荷預(yù)測準(zhǔn)確率A的計(jì)算公式進(jìn)行評估:

表3對兩個(gè)方法確定的點(diǎn)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了比較。比例系數(shù)法確定的點(diǎn)預(yù)測值在多數(shù)情況下比配對自助法的結(jié)果準(zhǔn)確率更高，而后者得到的點(diǎn)預(yù)測值本質(zhì)上是對集成的多個(gè)極限學(xué)習(xí)機(jī)輸出值取平均值后的結(jié)果?？梢酝浦?，負(fù)荷預(yù)測的不確定性較大時(shí)，依然可以通過由比例系數(shù)法構(gòu)造的預(yù)測區(qū)間中值來獲得較高準(zhǔn)確率的點(diǎn)預(yù)測值。

表1 超短期負(fù)荷區(qū)間預(yù)測結(jié)果Tab.1 Results of ultra-short-term load interval prediction

表2 短期負(fù)荷區(qū)間預(yù)測結(jié)果對比Tab.2 Results of short-term load interval prediction

圖3 超短期負(fù)荷區(qū)間預(yù)測結(jié)果(1月)Fig．3 Results of ultra-short-term load interval prediction in January

圖4 短期負(fù)荷區(qū)間預(yù)測結(jié)果(1月)Fig．4 Results of short-term load interval prediction in January

表3 日負(fù)荷預(yù)測準(zhǔn)確率Tab.3 Daily load forecasting accuracy

5 結(jié)論

負(fù)荷區(qū)間預(yù)測的結(jié)果，可以使電力系統(tǒng)決策人員更好地認(rèn)識(shí)到未來負(fù)荷的不確定性及相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)信息，使其及時(shí)做出更加合理的決策[35]。本文提出的比例系數(shù)法簡單高效，適用范圍廣，能夠構(gòu)建高質(zhì)量的預(yù)測區(qū)間。當(dāng)預(yù)測值能近似無偏估計(jì)真實(shí)值時(shí)，構(gòu)建的預(yù)測區(qū)間近似以預(yù)測值為中心對稱且區(qū)間寬度小。當(dāng)由預(yù)測值估計(jì)真實(shí)值存在較大偏差時(shí)，預(yù)測區(qū)間則不再對稱且區(qū)間寬度大。最后需要指出，比例系數(shù)法的主要思想并不局限于超短期和短期負(fù)荷預(yù)測，在其他領(lǐng)域(如風(fēng)電和水文預(yù)測)同樣具有很好的應(yīng)用前景。

(因篇幅所限附錄略，如讀者需要可與作者聯(lián)系)

[1]何洋，鄒波，李文啟，等．基于混沌理論的電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測的局域模型[J]．華北電力大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版)，2013，40(4):43－50．

[2]鄭金．短期電力負(fù)荷預(yù)測方法研究[D]．鄭州:鄭州大學(xué)，2012．

[3]汪峰，于爾鏗，閻承山，等．基于因素影響的電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)報(bào)方法的研究[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1999，19(8):54－58．

[4]周佃民，管曉宏，孫 婕，等．基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測研究[J]．電網(wǎng)技術(shù)，2002，26(2):10－13．

[5]李元誠，方廷健，于爾鏗．短期負(fù)荷預(yù)測的支持向量機(jī)方法研究[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2003，23(6):55－59．

[6]焦?jié)櫤＃K辰雋，林碧英，等．基于氣象信息因素修正的灰色短期負(fù)荷預(yù)測模型[J]．電網(wǎng)技術(shù)，2013，37(3):720－725．

[7]林曉華，馮毅雄，譚建榮．基于免疫優(yōu)化的產(chǎn)品系統(tǒng)可靠性參數(shù)區(qū)間預(yù)測方法[J]．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2013，(6):1013－1021．

[8]杜雅楠．基于核學(xué)習(xí)的冶金煤氣流量在線區(qū)間預(yù)測方法[D]．大連:大連理工大學(xué)，2013．

[9]Quan H，Srinivasan D，Khosravi A．Short-term load and wind power forecasting using neural network-based prediction intervals[J]．IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2013，25(2):303－315．

[10]Huang G，Zhu Q，Siew C．Extreme learning machine:theory and applications[J]．Neurocomputing，2006，70(1):489－501．

[11]Lan Y，Soh Y C，Huang G．Ensemble of online sequential extreme learning machine[J]．Neurocomputing，2009，72(13):3391－3395．

[12]Liang N，Huang G，Saratchandran P，et al．A fast and accurate online sequential learning algorithm for feedforward networks[J]．IEEE Transactions on Neural Networks，2006，17(6):1411 －1423．

[13]高光勇，蔣國平．采用優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)的多變量混沌時(shí)間序列預(yù)測[J]．物理學(xué)報(bào)，2012，61(4):37－45．

[14]Zhao J，Wang Z，Park D S．Online sequential extreme learning machine with forgetting mechanism[J]．Neurocomputing，2012，87(11):79－89．

[15]Geem Z W，Kim J H，Loganathan G V．A new heuristic optimization algorithm:harmony search[J]．Simulation，2001，76(2):60－68．

[16]Lee K S，Geem Z W．A new meta-heuristic algorithm for continuous engineering optimization:harmony search theory and practice[J]．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2005，194(36 － 38):3902－3933．

[17]Geem Z W．Optimal cost design of water distribution networks using harmony search[J]．Engineering Optimization，2006，38(3):259－280．

[18]雍龍泉．和聲搜索算法研究進(jìn)展[J]．計(jì)算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用，2011，20(7):244－248．

[19]劉蓓，汪沨，陳春，等．和聲算法在含DG配電網(wǎng)故障定位中的應(yīng)用[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，28(5):280－284．

[20]劉思遠(yuǎn)，柳景青．一種新的多目標(biāo)改進(jìn)和聲搜索優(yōu)化算法[J]．計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46(34):27－30．

[21]Khosravi A，Nahavandi S，Creighton D，et al．Comprehensive review of neural network-based prediction intervals and new advances[J]．IEEE Transactions on Neural Networks，2011，22(9):1341－1356．

[22]Quan H，Srinivasan D，Khosravi A．Construction of neural network-based prediction intervals using particle swarm optimization[C]．The 2012 International Joint Conference on Neural Networks(IJCNN)，New York:IEEE，2012．

[23]Khosravi A，Nahavandi S．Combined nonparametric prediction intervals for wind power generation[J]．IEEE Transactions on Sustainable Energy，2013，4(4):849－856．

[24]Khosravi A，Nahavandi S，Creighton D．A neural net-work-GARCH-based method for construction of prediction intervals[J]．Electric Power Systems Research，2013，96(3):185－193．

[25]Khosravi A，Nahavandi S，Creighton D．Construction of optimal prediction intervals for load forecasting problems[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2010，25(3):1496－1503．

[26]Khosravi A，Nahavandi S，Creighton D．Prediction intervals for short-term wind farm power generation forecasts[J]．IEEE Transactions on Sustainable Energy，2013，4(3):602－610．

[27]Khosravi A，Nahavandi S，Creighton D，et al．Lower upper bound estimation method for construction of neural network-based prediction intervals[J]．IEEE Transactions on Neural Networks，2011，22(3):337－346．

[28]Efron B．1977 Rietz lecture-bootstrap methods:another look at the jackknife[J]．The Annals of Statistics，1979，7(1):1－26．

[29]魏宗舒．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]．高等教育出版社，2008．

[30]Harrison R G，Yu D J，Oxley L，et al．Non-linear noise reduction and detecting chaos:some evidence from the S＆P composite price index[J]．Mathematics and Computers in Simulation，1999，48(4):497 －502．

[31]毛力，王運(yùn)濤，劉興陽，等．基于改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)的短期電力負(fù)荷預(yù)測方法[J]．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2012，40(20):140－144．

[32]Zhang R，Dong Z Y，Xu Y，et al．Short-term load forecasting of Australian national electricity market by an ensemble model of extreme learning machine[J]．IET Generation，Transmission ＆ Distribution，2013，7(4):391－397．

[33]Wan C，Xu Z，Pinson P，et al．Probabilistic forecasting of wind power generation using extreme learning machine[J]．IEEE Transactions on Power Systems，2013，PP(99):1－12．

[34]陳亞紅，馬麗，穆鋼，等．兩種短期負(fù)荷預(yù)測精度考核標(biāo)準(zhǔn)的比較[J]．電力系統(tǒng)自動(dòng)化．2003，27(17):73－77．

[35]方仍存．電力系統(tǒng)負(fù)荷區(qū)間預(yù)測[D]．武漢:華中科技大學(xué)，2008．