向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用

李政輝

【摘要】向量是高中數(shù)學(xué)新課程新增的知識(shí)，每一年都進(jìn)入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點(diǎn)，它的幾何意義幫助學(xué)生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運(yùn)算量。

【關(guān)鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設(shè)a→、b→是兩個(gè)非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線(xiàn)性規(guī)劃

教材對(duì)求解形如Z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)在y軸截距的問(wèn)題，然后利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)來(lái)求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以由?shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴(lài)于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點(diǎn)的最佳點(diǎn)即為最優(yōu)點(diǎn)．當(dāng)可行域存在點(diǎn)A，使在方向上的投影||cosθ最大時(shí)，Zmax=·；當(dāng)可行域存在點(diǎn)B，使在方向上的投影||cosθ最小時(shí)，Zmin=· 。

例1設(shè)變量x，y滿(mǎn)足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設(shè)N（x，y）為可行域內(nèi)任一點(diǎn)，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)A（0，1）處時(shí)，Zmax=2；

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)B（0，－1）處時(shí)，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問(wèn)題

1.平面多邊形的問(wèn)題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個(gè)選項(xiàng)都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個(gè)向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過(guò)點(diǎn)P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關(guān)圓的問(wèn)題

在圓上一點(diǎn)引半徑和一條不過(guò)圓心的弦，因?yàn)閳A心與弦中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直弦，故半徑對(duì)應(yīng)的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關(guān)三角形的問(wèn)題

設(shè)O是△ABC的外心，因?yàn)橥庑氖侨呏写咕€(xiàn)的交點(diǎn)，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運(yùn)算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡(jiǎn)解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問(wèn)題

設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n→，A為平面α外一點(diǎn)，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則由數(shù)量積的幾何意義得：點(diǎn)A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對(duì)值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長(zhǎng)為4，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設(shè)平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點(diǎn)B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時(shí)，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線(xiàn)的距離時(shí)，n→為與兩異面直線(xiàn)的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)；在求兩平行平面的距離時(shí)，n→為兩平面的一個(gè)法向量，A、B分別為兩個(gè)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應(yīng)用的幾個(gè)方面，向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的視野，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。

【摘要】向量是高中數(shù)學(xué)新課程新增的知識(shí)，每一年都進(jìn)入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點(diǎn)，它的幾何意義幫助學(xué)生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運(yùn)算量。

【關(guān)鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設(shè)a→、b→是兩個(gè)非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線(xiàn)性規(guī)劃

教材對(duì)求解形如Z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)在y軸截距的問(wèn)題，然后利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)來(lái)求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以由?shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴(lài)于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點(diǎn)的最佳點(diǎn)即為最優(yōu)點(diǎn)．當(dāng)可行域存在點(diǎn)A，使在方向上的投影||cosθ最大時(shí)，Zmax=·；當(dāng)可行域存在點(diǎn)B，使在方向上的投影||cosθ最小時(shí)，Zmin=· 。

例1設(shè)變量x，y滿(mǎn)足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設(shè)N（x，y）為可行域內(nèi)任一點(diǎn)，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)A（0，1）處時(shí)，Zmax=2；

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)B（0，－1）處時(shí)，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問(wèn)題

1.平面多邊形的問(wèn)題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個(gè)選項(xiàng)都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個(gè)向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過(guò)點(diǎn)P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關(guān)圓的問(wèn)題

在圓上一點(diǎn)引半徑和一條不過(guò)圓心的弦，因?yàn)閳A心與弦中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直弦，故半徑對(duì)應(yīng)的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關(guān)三角形的問(wèn)題

設(shè)O是△ABC的外心，因?yàn)橥庑氖侨呏写咕€(xiàn)的交點(diǎn)，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運(yùn)算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡(jiǎn)解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問(wèn)題

設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n→，A為平面α外一點(diǎn)，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則由數(shù)量積的幾何意義得：點(diǎn)A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對(duì)值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長(zhǎng)為4，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設(shè)平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點(diǎn)B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時(shí)，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線(xiàn)的距離時(shí)，n→為與兩異面直線(xiàn)的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)；在求兩平行平面的距離時(shí)，n→為兩平面的一個(gè)法向量，A、B分別為兩個(gè)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應(yīng)用的幾個(gè)方面，向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的視野，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。

【摘要】向量是高中數(shù)學(xué)新課程新增的知識(shí)，每一年都進(jìn)入了高考試題．向量的數(shù)量積是向量中的重點(diǎn)，它的幾何意義幫助學(xué)生理解向量作為工具的內(nèi)涵．恰當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積的幾何意義解題能事半功倍，能最大限度地縮減思維量和運(yùn)算量。

【關(guān)鍵詞】幾何意義；數(shù)量積；向量

設(shè)a→、b→是兩個(gè)非零向量，| b→|cos叫做向量b→在a→方向上的投影，當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，投影為0.從而得到a→·b→的幾何意義：數(shù)量積a→·b→=|a→||b→|cos等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→方向上的投影|b→|cos的乘積。

一、用數(shù)量積幾何意義解線(xiàn)性規(guī)劃

教材對(duì)求解形如Z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最值一般都是將二元一次函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)在y軸截距的問(wèn)題，然后利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)來(lái)求解．但如果把Z=·，其中=（a，b）， =(x，y)，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以由?shù)量積的幾何意義可知，Z的最值依賴(lài)于在方向上的投影||cosθ的最值，此投影點(diǎn)的最佳點(diǎn)即為最優(yōu)點(diǎn)．當(dāng)可行域存在點(diǎn)A，使在方向上的投影||cosθ最大時(shí)，Zmax=·；當(dāng)可行域存在點(diǎn)B，使在方向上的投影||cosθ最小時(shí)，Zmin=· 。

例1設(shè)變量x，y滿(mǎn)足x+y≤1,x-y≤1，x≥0,則Z=x+2y的最大值和最小值分別為( )

（A）1，-1（B）2，-2

（C）1，-2（D）2，-1

解：作出圖1，設(shè)N（x，y）為可行域內(nèi)任一點(diǎn)，

M（1，2），則Z=·，由數(shù)量積的幾何意義：

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)A（0，1）處時(shí)，Zmax=2；

當(dāng)N（x，y）在點(diǎn)B（0，－1）處時(shí)，Zmin=-2。

二、用向量數(shù)量積幾何意義解如下平面幾何的問(wèn)題

1.平面多邊形的問(wèn)題

例2．如圖2，正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量數(shù)量積最大的是()

A. B.

C. D.

解：四個(gè)選項(xiàng)都有，由數(shù)量積的幾何意義知某個(gè)向量在向量方向上的投影最大數(shù)量積就最大，過(guò)點(diǎn)P3，P4，P5，P6分別作在向量上的投影，向量在向量上的投影最大，故選A。

2.有關(guān)圓的問(wèn)題

在圓上一點(diǎn)引半徑和一條不過(guò)圓心的弦，因?yàn)閳A心與弦中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直弦，故半徑對(duì)應(yīng)的向量在弦投影等于弦的一半。

例3． 已知AB是半徑為r的圓O的弦，且AB=2，試探究·是否為定值（r為變量）?若是定值，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB垂足為H，則在投影為AH，故·=AH·||=2

3.有關(guān)三角形的問(wèn)題

設(shè)O是△ABC的外心，因?yàn)橥庑氖侨呏写咕€(xiàn)的交點(diǎn)，故由向量數(shù)量積的幾何意義可知：在三角形各邊的投影為所在邊的一半。

例4．如圖4，△ABC 中， AB = 3， AC = 5， 若O 為△ ABC 的外心， 則· =。

解： 注意到向量的加法運(yùn)算及數(shù)量積

的幾何意義，便有如下簡(jiǎn)解。

·=·(-)=·-·

∵O為是△ABC的外心，

∴·= 1-2 ||2= 9-2 ，

·= 1-2 ||2= 25-2

故·=8

三、用向量數(shù)量積幾何意義解立體幾何距離問(wèn)題

設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n→，A為平面α外一點(diǎn)，AC⊥α，垂足為C，B為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則由數(shù)量積的幾何意義得：點(diǎn)A到平面α的距離AC等于在n→方向投影的絕對(duì)值。

∵|·n→|=||·| n→|·|cos∠BAC|，

∴d=||·|cos∠BAC|=|·n→|/| n→| (*)

例5.已知正方形ABCD是邊長(zhǎng)為4，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD于C，且GC=2，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。

解：如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系，則G(0，0，2)，F(xiàn)(4，2，0)，E(2，4，0)，B(0，4，0).

所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0)

設(shè)平面GEF的法向量為n→=(x,y,z)，則n→·=0，n→·=0，

∴2x-2y=0，且2x+4y-2z=0，即x=y且z=3y，令y=1，則n→=(1,1,3)

∴得點(diǎn)B到平面GEF的距離為：

d=|·n→|/| n→|=2√11/11

用向量法解空間距離時(shí)，( * )式為求距離的統(tǒng)一公式，其中求兩條異面直線(xiàn)的距離時(shí)，n→為與兩異面直線(xiàn)的方向向量都垂直的向量，A、B分別為異面直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)；在求兩平行平面的距離時(shí)，n→為兩平面的一個(gè)法向量，A、B分別為兩個(gè)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)。

以上是向量數(shù)量積幾何意義應(yīng)用的幾個(gè)方面，向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的視野，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、探索能力和創(chuàng)新能力起到很好的效果。