一種新型球面并聯(lián)分選機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

趙曉龍+赫東鋒+張君安+林琳

摘要： 提出一種新型3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)來解決LED分選機(jī)的高速分選問題。首先研究了該機(jī)構(gòu)自由度，該機(jī)構(gòu)能提供3個(gè)方向上的純轉(zhuǎn)動(dòng)；再結(jié)合自由度性質(zhì)分析，建立了約束方程，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的正反解分析；使用Newton迭代的方法求得各位置點(diǎn)具體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，并分析了求解過程中的多解問題，及相關(guān)處理方法，最后給出相應(yīng)的算例。通過實(shí)例分析數(shù)據(jù)可知：隨著執(zhí)行機(jī)構(gòu)目標(biāo)位置的變化，能實(shí)時(shí)求解出個(gè)各曲柄相對(duì)于基座的轉(zhuǎn)角，且當(dāng)2個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角增大時(shí)，第3個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

關(guān)鍵詞： 并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 并聯(lián)機(jī)器人； 3自由度； 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

中圖分類號(hào)： TN911?34； TH112文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）08?0005?04

Kinematics research of new spherical parallel sorting mechanism

ZHAO Xiao?long1， HE Dong?feng1， ZHANG Jun?an1， LIN Lin2

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Xian Technological University， Xian 710000， China；

2. Shenzhen Hi?Text of semiconductor equipment co.， Ltd， Shenzhen 518000， China）

Abstract： A new 3?DOF （degrees of freedom） parallel mechanism is proposed in this paper to solve the sorting problem of LED high?speed sorter. DOF of the parallel mechanism is studied first in this paper. The parallel mechanism can provide pure rotation in three directions. In combination with DOF properties analysis， a constraint equation is established to analyze the kinematics pros and cons solutions. The Newton iteration method is used to solve the motion parameters at each location point， and analyze the problem of multiple solutions and the related treatment methods in the actual motion control. The corresponding numerical examples are offered. The example analysis data shows that， with the change of executive body target position， the each crank turning angle relative to the base can be calculated， and when the turning angles of two cranks increase， the turning angle of the third crank must decreases. It is in line with the actual motion law.

Keywords： parallel mechanism； parallel robot； three degrees of freedom； kinematic analysis

目前，常用的分選機(jī)構(gòu)大多采用串聯(lián)方式，串聯(lián)機(jī)器人因其具有構(gòu)型簡(jiǎn)單、工作空間大、操作性好、正向運(yùn)動(dòng)學(xué)易求解等優(yōu)點(diǎn)在工業(yè)得到了廣泛應(yīng)用[1]，但針對(duì)LED分選機(jī)而言，高速，高穩(wěn)定性，高剛度是工業(yè)應(yīng)用的必然要求。串聯(lián)機(jī)器人剛性差、存在誤差積累、剛度和負(fù)載驅(qū)動(dòng)能力差等系列不足[2]，進(jìn)一步制約了串聯(lián)機(jī)器人的工業(yè)應(yīng)用，故提出一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)（又稱并聯(lián)機(jī)器人）來解決LED分選機(jī)高速分選的問題。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究從提出，一直是一個(gè)研究熱點(diǎn)，比較著名的有Stewart機(jī)構(gòu)，Stewart機(jī)構(gòu)是用作飛行器仿真器的六自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[3]。在國(guó)內(nèi)，燕山大學(xué)黃真教授等于 1991 年研制出了我國(guó)第一臺(tái)6自由度并聯(lián)機(jī)器人[4]。3自由度并聯(lián)機(jī)器人是少自由度并聯(lián)機(jī)器人研究的主要對(duì)象，在現(xiàn)有的3自由度并聯(lián)機(jī)器人中，有著名的DELTA和STAR并聯(lián)機(jī)器人，3?RPS并聯(lián)機(jī)器人等。

本文提出的3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單對(duì)稱，剛度大，且分支中不含移動(dòng)副，便于使用維護(hù)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備提供純轉(zhuǎn)動(dòng)、運(yùn)動(dòng)學(xué)較簡(jiǎn)單、可直觀預(yù)測(cè)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)等特點(diǎn)，本文在分析其自由度性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立并求解其位姿矩陣方程，設(shè)計(jì)出了約束其三條運(yùn)動(dòng)支鏈曲柄相對(duì)基座轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型；同時(shí)給出了針對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，為推動(dòng)此類機(jī)構(gòu)的應(yīng)用起到了重要作用。

1機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可稱為3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)（S代表球鉸，R代表轉(zhuǎn)動(dòng)副），它由3個(gè)對(duì)稱分布的支鏈和通過機(jī)構(gòu)中心的擺桿構(gòu)成。A1，A2，A3構(gòu)成此機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)，并且繞O點(diǎn)均勻分布，各點(diǎn)和O點(diǎn)連線，相互夾角為120°；B1，B2，B3構(gòu)成動(dòng)平臺(tái)，其分布情況和靜平臺(tái)相同；（A1，C1，B1），（A2，C2，B2），（A3，C3，B3）三組支鏈分別與動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)相連，三組支鏈長(zhǎng)度，材料完全相同；機(jī)構(gòu)中間擺桿和動(dòng)平臺(tái)固連。圖1中，A1，A2，A3點(diǎn)用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，其他O，B1，B2，B3，C1，C2，C3各點(diǎn)用球鉸鏈連接。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型

2自由度分析

3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度可以通過空間機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算公式求解[5]。在三維空間中，如果有n個(gè)完全不受約束的構(gòu)件，任選其中一個(gè)作為參照物，每個(gè)物體都有6個(gè)自由度，則n個(gè)物體相對(duì)參照物共有6（n-1）個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度；若將以上構(gòu)件用運(yùn)動(dòng)副連接起來，則他們每個(gè)構(gòu)件就有不同的約束數(shù)。所有的運(yùn)動(dòng)自由度減去所有的約束數(shù)，就能得到所求空間機(jī)構(gòu)的自由度。[F0=6(n-1)-i=1nui-M] （1）

式中：n為構(gòu)件的個(gè)數(shù)；[ui]為各運(yùn)動(dòng)副的約束數(shù)目； [F0]為總的自由度數(shù)；M為冗余自由度。由圖1得：該機(jī)構(gòu)有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，有7個(gè)球鉸，由于[BiCi]（i=1，2，3）兩端都是球鉸，[BiCi]桿各有一個(gè)繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)的冗余自由度，[n=8]，[F0=6×(8-1)-(3×5+7×3)-3=3]。

綜上所述，該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解分析

首先建立靜坐標(biāo)系xyz和動(dòng)坐標(biāo)系x′y′z′，由于動(dòng)平臺(tái)繞靜平臺(tái)在幾何中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為計(jì)算方便，將動(dòng)坐標(biāo)系建立在靜平臺(tái)上，與靜坐標(biāo)系重合，如圖3所示。過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)和A3點(diǎn)的方向設(shè)為x軸的正方向，過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)指向動(dòng)平臺(tái)幾何中心O′點(diǎn)的方向設(shè)為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間坐標(biāo)系

3.1運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

設(shè)靜平臺(tái)O點(diǎn)到[Ai]點(diǎn)的距離為R，動(dòng)平臺(tái)O′點(diǎn)到[Bi]點(diǎn)的距離為r，動(dòng)平臺(tái)中心到靜平臺(tái)中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)bc，[AiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)ac。分別可以得到[Ai]點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，[Bi]點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)初始位置[AiCi]桿和靜平臺(tái)夾角為[θi]，可得到[Ci]點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對(duì)靜坐標(biāo)系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動(dòng)平臺(tái)在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)來說，每一個(gè)位置對(duì)應(yīng)一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。由此得到動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長(zhǎng)，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺(tái)的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡(jiǎn)為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對(duì)于已知定平臺(tái)姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解一般較其反解要困難得多，特別是當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈增加時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解很難得到封閉解，這往往會(huì)給并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步研究帶來困難。

由于知道3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動(dòng)平臺(tái)[Ci]點(diǎn)的坐標(biāo)，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點(diǎn)的坐標(biāo)如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個(gè)方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個(gè)未知數(shù)，再補(bǔ)充6個(gè)約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實(shí)例計(jì)算

針對(duì)式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個(gè)周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個(gè)相同的解，或者2個(gè)不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對(duì)于機(jī)構(gòu)而言，一個(gè)解就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，考慮到實(shí)際控制中輸入惟一性，需對(duì)方程的根進(jìn)行選擇。常用的方法就是限制機(jī)構(gòu)的運(yùn)行范圍，設(shè)置機(jī)械限位，在兩個(gè)限位之間的空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，能滿足實(shí)際需要的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對(duì)于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計(jì)算求解，計(jì)算該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行空間中其中一個(gè)位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應(yīng)用Newton迭代法算法求解，當(dāng)繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)[(γ=0)]時(shí)，給定一組確定的角度[α]、[β]時(shí)，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機(jī)的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機(jī)與基座平臺(tái)的夾角 （°）

5結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)內(nèi)繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，并建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標(biāo)下點(diǎn)的位置，研究該機(jī)構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復(fù)雜度低，計(jì)算效率高。同時(shí)針對(duì)一個(gè)給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行逆解的求解運(yùn)算分析。通過實(shí)例計(jì)算表明：本文所建立算法方程能快速、準(zhǔn)確的計(jì)算出各曲柄相對(duì)基座的轉(zhuǎn)角；由實(shí)例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機(jī)構(gòu)目標(biāo)位置的變化，能實(shí)時(shí)求解出個(gè)各曲柄相對(duì)基座轉(zhuǎn)角，且當(dāng)2個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角增大時(shí)，第3個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

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綜上所述，該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解分析

首先建立靜坐標(biāo)系xyz和動(dòng)坐標(biāo)系x′y′z′，由于動(dòng)平臺(tái)繞靜平臺(tái)在幾何中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為計(jì)算方便，將動(dòng)坐標(biāo)系建立在靜平臺(tái)上，與靜坐標(biāo)系重合，如圖3所示。過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)和A3點(diǎn)的方向設(shè)為x軸的正方向，過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)指向動(dòng)平臺(tái)幾何中心O′點(diǎn)的方向設(shè)為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間坐標(biāo)系

3.1運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

設(shè)靜平臺(tái)O點(diǎn)到[Ai]點(diǎn)的距離為R，動(dòng)平臺(tái)O′點(diǎn)到[Bi]點(diǎn)的距離為r，動(dòng)平臺(tái)中心到靜平臺(tái)中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)bc，[AiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)ac。分別可以得到[Ai]點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，[Bi]點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)初始位置[AiCi]桿和靜平臺(tái)夾角為[θi]，可得到[Ci]點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對(duì)靜坐標(biāo)系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動(dòng)平臺(tái)在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)來說，每一個(gè)位置對(duì)應(yīng)一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。由此得到動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長(zhǎng)，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺(tái)的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡(jiǎn)為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對(duì)于已知定平臺(tái)姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解一般較其反解要困難得多，特別是當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈增加時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解很難得到封閉解，這往往會(huì)給并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步研究帶來困難。

由于知道3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動(dòng)平臺(tái)[Ci]點(diǎn)的坐標(biāo)，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點(diǎn)的坐標(biāo)如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個(gè)方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個(gè)未知數(shù)，再補(bǔ)充6個(gè)約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實(shí)例計(jì)算

針對(duì)式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個(gè)周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個(gè)相同的解，或者2個(gè)不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對(duì)于機(jī)構(gòu)而言，一個(gè)解就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，考慮到實(shí)際控制中輸入惟一性，需對(duì)方程的根進(jìn)行選擇。常用的方法就是限制機(jī)構(gòu)的運(yùn)行范圍，設(shè)置機(jī)械限位，在兩個(gè)限位之間的空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，能滿足實(shí)際需要的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對(duì)于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計(jì)算求解，計(jì)算該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行空間中其中一個(gè)位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應(yīng)用Newton迭代法算法求解，當(dāng)繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)[(γ=0)]時(shí)，給定一組確定的角度[α]、[β]時(shí)，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機(jī)的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機(jī)與基座平臺(tái)的夾角 （°）

5結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)內(nèi)繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，并建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標(biāo)下點(diǎn)的位置，研究該機(jī)構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復(fù)雜度低，計(jì)算效率高。同時(shí)針對(duì)一個(gè)給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行逆解的求解運(yùn)算分析。通過實(shí)例計(jì)算表明：本文所建立算法方程能快速、準(zhǔn)確的計(jì)算出各曲柄相對(duì)基座的轉(zhuǎn)角；由實(shí)例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機(jī)構(gòu)目標(biāo)位置的變化，能實(shí)時(shí)求解出個(gè)各曲柄相對(duì)基座轉(zhuǎn)角，且當(dāng)2個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角增大時(shí)，第3個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

[1] 黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[2] 張宏濤.3?3UPSIS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真[D].無錫：江南大學(xué)，2008.

[3] 李琨杰.3?PRS并聯(lián)結(jié)構(gòu)主軸運(yùn)動(dòng)學(xué)研究與仿真[D].太原：太原理工大學(xué)，2007.

[4] 周國(guó)義，謝明紅，孫友生，等.6自由度解耦機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解優(yōu)化的研究[J].機(jī)電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2009，22（5）：21?23.

[5] 李禽，黃茂林，黃勇剛.基于Matlab的并聯(lián)機(jī)床逆解可視化仿真[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2006（z1）：202?204.

[6] 張帆.并聯(lián)機(jī)構(gòu)特性分析與綜合研究[D].上海：東華大學(xué)，2008.

[7] 陳文家，陳書宏.一種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2001（11）：6?8.

[8] 王維新.兩輪差速機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和控制研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（10）：93?96.

綜上所述，該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解分析

首先建立靜坐標(biāo)系xyz和動(dòng)坐標(biāo)系x′y′z′，由于動(dòng)平臺(tái)繞靜平臺(tái)在幾何中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，為計(jì)算方便，將動(dòng)坐標(biāo)系建立在靜平臺(tái)上，與靜坐標(biāo)系重合，如圖3所示。過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)和A3點(diǎn)的方向設(shè)為x軸的正方向，過靜平臺(tái)幾何中心O點(diǎn)指向動(dòng)平臺(tái)幾何中心O′點(diǎn)的方向設(shè)為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間坐標(biāo)系

3.1運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

設(shè)靜平臺(tái)O點(diǎn)到[Ai]點(diǎn)的距離為R，動(dòng)平臺(tái)O′點(diǎn)到[Bi]點(diǎn)的距離為r，動(dòng)平臺(tái)中心到靜平臺(tái)中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)bc，[AiCi]桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)ac。分別可以得到[Ai]點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，[Bi]點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)初始位置[AiCi]桿和靜平臺(tái)夾角為[θi]，可得到[Ci]點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對(duì)靜坐標(biāo)系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動(dòng)平臺(tái)在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)來說，每一個(gè)位置對(duì)應(yīng)一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。由此得到動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)相對(duì)靜坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長(zhǎng)，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺(tái)的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡(jiǎn)為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對(duì)于已知定平臺(tái)姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解一般較其反解要困難得多，特別是當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈增加時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解很難得到封閉解，這往往會(huì)給并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步研究帶來困難。

由于知道3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈各曲柄相對(duì)基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動(dòng)平臺(tái)[Ci]點(diǎn)的坐標(biāo)，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點(diǎn)的坐標(biāo)如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個(gè)方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個(gè)未知數(shù)，再補(bǔ)充6個(gè)約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實(shí)例計(jì)算

針對(duì)式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個(gè)周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個(gè)相同的解，或者2個(gè)不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對(duì)于機(jī)構(gòu)而言，一個(gè)解就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，考慮到實(shí)際控制中輸入惟一性，需對(duì)方程的根進(jìn)行選擇。常用的方法就是限制機(jī)構(gòu)的運(yùn)行范圍，設(shè)置機(jī)械限位，在兩個(gè)限位之間的空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，能滿足實(shí)際需要的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對(duì)于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計(jì)算求解，計(jì)算該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行空間中其中一個(gè)位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應(yīng)用Newton迭代法算法求解，當(dāng)繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)[(γ=0)]時(shí)，給定一組確定的角度[α]、[β]時(shí)，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機(jī)的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機(jī)與基座平臺(tái)的夾角 （°）

5結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)內(nèi)繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，并建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標(biāo)下點(diǎn)的位置，研究該機(jī)構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復(fù)雜度低，計(jì)算效率高。同時(shí)針對(duì)一個(gè)給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)行逆解的求解運(yùn)算分析。通過實(shí)例計(jì)算表明：本文所建立算法方程能快速、準(zhǔn)確的計(jì)算出各曲柄相對(duì)基座的轉(zhuǎn)角；由實(shí)例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機(jī)構(gòu)目標(biāo)位置的變化，能實(shí)時(shí)求解出個(gè)各曲柄相對(duì)基座轉(zhuǎn)角，且當(dāng)2個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角增大時(shí)，第3個(gè)曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

[1] 黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[2] 張宏濤.3?3UPSIS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真[D].無錫：江南大學(xué)，2008.

[3] 李琨杰.3?PRS并聯(lián)結(jié)構(gòu)主軸運(yùn)動(dòng)學(xué)研究與仿真[D].太原：太原理工大學(xué)，2007.

[4] 周國(guó)義，謝明紅，孫友生，等.6自由度解耦機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解優(yōu)化的研究[J].機(jī)電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2009，22（5）：21?23.

[5] 李禽，黃茂林，黃勇剛.基于Matlab的并聯(lián)機(jī)床逆解可視化仿真[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2006（z1）：202?204.

[6] 張帆.并聯(lián)機(jī)構(gòu)特性分析與綜合研究[D].上海：東華大學(xué)，2008.

[7] 陳文家，陳書宏.一種四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2001（11）：6?8.

[8] 王維新.兩輪差速機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和控制研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（10）：93?96.