基于可信性理論的含風(fēng)電電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定概率評(píng)估

楊 悅，李國(guó)慶，王振浩

（1.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206；2.東北電力大學(xué) 電力系統(tǒng)安全運(yùn)行與節(jié)能技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，吉林 吉林 132012）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，能源問(wèn)題已經(jīng)成為人類面臨的最嚴(yán)峻問(wèn)題之一。風(fēng)能作為清潔可再生能源具有儲(chǔ)量巨大、分布廣泛且無(wú)污染等優(yōu)點(diǎn)，使得風(fēng)力發(fā)電技術(shù)成為目前重要的研究方向之一[1]。而風(fēng)電接入改變了傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，產(chǎn)生了一些新的問(wèn)題。

風(fēng)電接入電力系統(tǒng)后的電壓穩(wěn)定一直是專家關(guān)注的難題，因此研究接入風(fēng)電場(chǎng)后的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題是十分必要的。傳統(tǒng)的電壓穩(wěn)定分析大多基于確定性模型，而風(fēng)電的加入使系統(tǒng)模型中節(jié)點(diǎn)注入功率具有不確定性。為了解決確定性分析方法無(wú)法考慮隨機(jī)因素影響的問(wèn)題，研究人員提出了基于概率的電壓穩(wěn)定分析方法。

常用的概率分析方法主要有：蒙特卡洛法、解析法、近似法等。蒙特卡洛法[2-4]通過(guò)大量反復(fù)抽樣仿真來(lái)模擬電壓穩(wěn)定分析中節(jié)點(diǎn)功率、設(shè)備故障等不確定情況，但仿真次數(shù)較多、耗時(shí)較長(zhǎng)；解析法[2，5-7]是采用數(shù)學(xué)假設(shè)對(duì)所研究問(wèn)題進(jìn)行線性化處理，計(jì)算效率較高，其中半不變量法應(yīng)用較多；近似法[2，8-9]是根據(jù)已知隨機(jī)變量的概率分布，采用近似公式求取待求變量的統(tǒng)計(jì)特性，其中以點(diǎn)估計(jì)法和一次二階矩法為代表。以上這些概率分析方法均是在假定了不確定參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特征的前提下再進(jìn)行仿真計(jì)算，而不確定參數(shù)概率統(tǒng)計(jì)特征的準(zhǔn)確性會(huì)從根本上影響計(jì)算的結(jié)果。

本文提出對(duì)不確定參數(shù)進(jìn)行模糊模擬的可信性電壓穩(wěn)定概率評(píng)估方法。該方法不需要假定不確定參數(shù)的分布函數(shù)類型和參數(shù)，就可以對(duì)大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)后的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行分析。

1 可信性理論

在電力系統(tǒng)這個(gè)復(fù)雜的物理系統(tǒng)中，許多問(wèn)題同時(shí)包含了隨機(jī)性與模糊性2類不確定因素，應(yīng)進(jìn)行綜合性評(píng)估。而公理化的模糊性與隨機(jī)性的綜合評(píng)估方法就被稱為可信性理論[10]?？尚判岳碚撌?004年基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域完成的數(shù)學(xué)分支，它給出了基于測(cè)度論的模糊論的公理化體系，并提供了隨機(jī)性與模糊性綜合評(píng)估的嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

下面對(duì)可信性理論中的一些基本概念進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明。

給定一個(gè)論域Γ，P（Γ）是Γ的冪集，Pos是一個(gè)定義在P（Γ）上的集函數(shù)，被稱為一個(gè)可能性測(cè)度。若滿足下面的 2 個(gè)條件，則稱三元組（Γ，P（Γ），Pos）為可能性空間。

b.對(duì)于任意的 P（Γ）的子集｛Aii?I｝，其中 I是任意的指標(biāo)集，有。

基于可能性測(cè)度，文獻(xiàn)[11]定義了自對(duì)偶集函數(shù)Cr如下。

定義1 設(shè)三元組（Γ，P（Γ），Pos）是一個(gè)可能性空間。若定義集函數(shù)Cr為：

則稱Cr為事件A的可信性測(cè)度。其中，A′是集合A的補(bǔ)集。

三元組（Γ，P（Γ），Cr）稱為可信性空間[12]。

定義2[12]設(shè)三元組（Γ，P（Γ），Cr）是可信性空間。 若 ξ=（ξ1，ξ2，…，ξn）是從 Γ 到實(shí)數(shù)空間 Rn上的集函數(shù)，則稱ξ是定義在可信性空間上的模糊向量。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，ξ稱為模糊變量。

定義3[13]設(shè) ξ1、ξ2、…、ξn是定義在可信性空間（Γ，P（Γ），Cr）上的模糊變量。 若對(duì)于 P 上的任意子集 B1、B2、…、Bn滿足：

則認(rèn)為模糊變量 ξ1、ξ2、…、ξn相互獨(dú)立。 其中，γ 表示設(shè)定的某一事件。

在可信性測(cè)度基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]給出了模糊變量期望值算子的定義。若滿足：

則模糊變量ξi的期望值可以定義為式（4）所示。

并且，若滿足：

則稱模糊變量ξi的期望值是有限的。

參考文獻(xiàn)[14]，設(shè) ξ 是三角模糊變量（-1，2，3），計(jì)算 ξ的期望 E[ξ]。

對(duì)于任意的 0≤r＜2，有：

對(duì)于任意的 2≤r＜3，有：

對(duì)于任意的-1≤r＜0，有：

由模糊變量ξ的期望值定義可得：

由以上的計(jì)算過(guò)程可得，對(duì)于一般的三角模糊變量、梯形模糊變量的期望值，有如下的結(jié)論：

a.若 ξ是三角模糊變量（r1，r2，r3），則 ξ的期望值是；

b.若 ξ是梯形模糊變量（r1，r2，r3，r4），則 ξ的期望值是。

引理1[15]若 ξ、η 是定義在可能性空間（Γ，P（Γ），Pos）上期望值有限且相互獨(dú)立的模糊變量，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù) a和 b，有 E[aξ+bη]=aE[ξ]+bE[η]。

可信性理論的相關(guān)內(nèi)容可以參閱文獻(xiàn)[12，16]。

2 基于可信性理論的電壓穩(wěn)定概率評(píng)估

2.1 靈敏度分析法

電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析方法有很多，其中靈敏度分析法物理概念明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，在潮流計(jì)算的基礎(chǔ)上，只需少量的額外計(jì)算，便能得到所需的指標(biāo)，在電壓穩(wěn)定分析研究中得到了廣泛的應(yīng)用[17]。

線性化靜態(tài)系統(tǒng)功率-電壓方程可以表示為：

其中，ΔP為有功注入增量；ΔQ為無(wú)功注入增量；JPθ、JPU、JQθ、JQU為極坐標(biāo)下雅可比矩陣J的分塊矩陣；Δθ為電壓相角增量；ΔU為電壓幅值增量。

一般而言，系統(tǒng)的有功和無(wú)功變化都會(huì)影響系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，而因?yàn)橹返碾娍惯h(yuǎn)大于支路的電阻，所以母線電壓對(duì)無(wú)功注入Q的變化比對(duì)有功注入P的變化更為敏感。為簡(jiǎn)化計(jì)算，在每個(gè)運(yùn)行點(diǎn)上只考慮 Q 和 U 之間的關(guān)系[18]。 令式（10）中 ΔP=0，可得：

其中，JR=JQU-JQθJ-Pθ1JPU，稱為降階雅可比矩陣，它反映了母線電壓值的變化ΔU與無(wú)功注入的變化ΔQ間的線性關(guān)系。

JR矩陣中的第i個(gè)對(duì)角元素是節(jié)點(diǎn)i的U-Q靈敏度[19]。若JR矩陣的對(duì)角元素全為正且不是無(wú)窮大，則系統(tǒng)是電壓穩(wěn)定的；若JR矩陣的對(duì)角元素不全為正，則系統(tǒng)是電壓不穩(wěn)定的。

2.2 靜態(tài)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)

可信性理論在電力系統(tǒng)中已得到初步應(yīng)用[20]。接入風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)，其風(fēng)速的不確定性影響了靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。本文針對(duì)風(fēng)速不確定性，將可信性理論應(yīng)用到大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)后的的電力系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中。

根據(jù)靈敏度分析方法，應(yīng)用可信性理論，可建立在可信性意義下各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的穩(wěn)定指標(biāo)：

其中，ξ為風(fēng)速，f（ξ）為該風(fēng)速下JR矩陣的對(duì)角元素，風(fēng)速ξ即為本文設(shè)定的模糊向量。該靜態(tài)電壓穩(wěn)定指標(biāo)表示在可能出現(xiàn)的風(fēng)速為ξ情況下，JR矩陣的各個(gè)對(duì)角元素f（ξ）大于0且小于無(wú)窮大的可能性為L(zhǎng)。L的取值范圍為0～1，反映了不確定因素時(shí)JR矩陣對(duì)角元素的分布情況；L的值越大，表明對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定性越好；反之表明對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定性越差。若L=1，表示JR矩陣對(duì)角元素一定大于0。若系統(tǒng)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的L都為1，說(shuō)明整個(gè)系統(tǒng)具有較好的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。

2.3 基于可信性理論的電壓靜態(tài)穩(wěn)定分析計(jì)算步驟

對(duì)于接入風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)，設(shè)其風(fēng)速為不確定參數(shù)，則JR矩陣的對(duì)角元素即可表示為風(fēng)速的函數(shù)?；诳尚判岳碚摰撵o態(tài)電壓穩(wěn)定性分析的步驟如圖 1 所示[21]。 圖中，“∧”表示取小運(yùn)算；“∨”表示取大運(yùn)算；σ為連續(xù)取樣后各個(gè)相對(duì)時(shí)刻的離散風(fēng)速值；σ（θk）為 θk時(shí)刻的風(fēng)速離散值；ξ為風(fēng)速連續(xù)值；rr為對(duì)角元素最大值與最小值之間的一個(gè)任意數(shù)。

圖1 分析步驟流程圖Fig.1 Flowchart of analysis steps

3 算例分析

3.1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本文采用的第一個(gè)算例是對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行修改，在節(jié)點(diǎn)1接入一個(gè)等值風(fēng)電機(jī)組，該等值風(fēng)電機(jī)組代表一個(gè)30臺(tái)額定有功功率為2 MW的雙饋感應(yīng)風(fēng)電機(jī)組的風(fēng)電場(chǎng)（見圖2），其中C表示無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備。根據(jù)接入風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際情況，風(fēng)速具有極大不確定性，將風(fēng)速設(shè)定為不確定參數(shù)，根據(jù)風(fēng)速預(yù)測(cè)結(jié)果，確定其區(qū)間數(shù)形式。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值，無(wú)窮大取999[19]。采用MATLAB和PSAT電力系統(tǒng)分析軟件進(jìn)行靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析。

圖2 含風(fēng)電場(chǎng)的IEEE 14節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)Fig.2 IEEE 14-bus power system with wind farm

3.1.1 不同模糊隸屬度函數(shù)對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析的影響

分別采用三角隸屬度函數(shù)和梯形隸屬度函數(shù)來(lái)表征模糊數(shù)的分布，并計(jì)算在上述2種隸屬度函數(shù)假設(shè)下的對(duì)角元素的期望值和均方差，以及各節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定指標(biāo)。

表1給出了采用三角隸屬度函數(shù)和梯形隸屬度函數(shù)計(jì)算得到的基于可信性理論的JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差和各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定的可信性指標(biāo)。由于節(jié)點(diǎn)1連接了一臺(tái)表示風(fēng)電場(chǎng)的等值風(fēng)機(jī)，而風(fēng)速的變化使節(jié)點(diǎn)1的電壓穩(wěn)定性較其他節(jié)點(diǎn)略低些。節(jié)點(diǎn)1的電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)值分別為0.672和0.678，略小于其他節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)值，這與實(shí)際運(yùn)行是吻合的。從表1中可以看出，采用不同的隸屬度函數(shù)計(jì)算所得的對(duì)角元素期望值、均方差和電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)相差很小，可以忽略。因此，采用不同隸屬度函數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響不大。

表1 不同隸屬度函數(shù)所得JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差、電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)Table 1 Expectation and mean square error of diagonal elements of JRmatrix for different membership function types，and corresponding voltage stability credibility index

3.1.2 抽樣次數(shù)對(duì)結(jié)果的影響

為研究抽樣次數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，以三角隸屬度函數(shù)為例，分別對(duì)該算例進(jìn)行了9次、90次、900次抽樣計(jì)算。表2—4分別給出了不同抽樣次數(shù)計(jì)算所得的JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差及各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)。

表2 不同抽樣次數(shù)所得JR矩陣對(duì)角元素期望值Table 2 Expectation of diagonal elements of JR matrix for different sampling times

表3 不同抽樣次數(shù)所得JR矩陣對(duì)角元素均方差Table 3 Mean square error of diagonal elements of JR matrix for different sampling times

表4 不同抽樣次數(shù)所得電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)Table 4 Voltage stability credibility index for different sampling times

顯然，抽樣次數(shù)越多，均方差越小，即計(jì)算結(jié)果的精度越高。但也發(fā)現(xiàn)，對(duì)于該算例，抽樣次數(shù)達(dá)到90次時(shí)已經(jīng)與抽樣900次時(shí)的計(jì)算結(jié)果基本相等，所以抽樣次數(shù)可根據(jù)系統(tǒng)規(guī)模和計(jì)算精度進(jìn)行選取。

3.1.3 與其他方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

為驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法與兩點(diǎn)估計(jì)法、蒙特卡洛法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。其中，基于可信性理論方法選用三角隸屬度函數(shù)表征，抽樣90次；兩點(diǎn)估計(jì)法采用正態(tài)分布表征不確定參數(shù)風(fēng)速的分布；蒙特卡洛法進(jìn)行900次仿真計(jì)算。圖3—5分別給出了應(yīng)用本文方法、兩點(diǎn)估計(jì)法和蒙特卡洛法進(jìn)行仿真得到的JR矩陣對(duì)角元素特征根期望值、均方差及各節(jié)點(diǎn)的電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)的對(duì)比結(jié)果。

圖3 不同方法所得JR矩陣對(duì)角元素期望值Fig.3 Expectation of diagonal elements of JRmatrix for different methods

圖4 不同方法所得JR矩陣對(duì)角元素均方差Fig.4 Mean square error of diagonal elements of JRmatrix for different methods

圖5 不同方法所得的電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)Fig.5 Voltage stability credibility index for different methods

從圖3、圖4中可以看出，可信性理論法與蒙特卡洛法計(jì)算所得的JR矩陣對(duì)角元素期望值和均方差都非常接近。一般認(rèn)為蒙特卡洛法是較接近實(shí)際的[22]，所以認(rèn)為可信性理論較兩點(diǎn)估計(jì)法更接近實(shí)際結(jié)果。觀察圖5中3種方法得到的各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)可知：對(duì)于節(jié)點(diǎn)1的可信性指標(biāo)，蒙特卡洛法和可信性理論得到穩(wěn)定指標(biāo)分別為0.672和0.658，而兩點(diǎn)估計(jì)法得到的穩(wěn)定指標(biāo)為0.751，與其他2種方法相差較遠(yuǎn)，結(jié)果偏樂(lè)觀。

蒙特卡洛法需要通過(guò)大量反復(fù)抽樣，對(duì)抽樣值分別進(jìn)行仿真計(jì)算，工作量大，對(duì)于實(shí)際電力系統(tǒng)而言不可行，而兩點(diǎn)估計(jì)法雖然計(jì)算量最小，但其不確定參數(shù)分布類型的假設(shè)對(duì)結(jié)果的影響較大（見表5）。表5為分別以正態(tài)分布和Weibull分布表示風(fēng)速分布時(shí)得到的JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差和可信性指標(biāo)。而在2.1節(jié)所述可信性理論中采用不同隸屬度函數(shù)表征風(fēng)速時(shí)對(duì)結(jié)果的分布影響較小。因此，可信性理論法較兩點(diǎn)估計(jì)法能得到更為穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果。

表5 不同分布函數(shù)所得JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差和電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)Table 5 Expectation and mean square error of diagonal elements of JRmatrix for different distribution function types，and corresponding voltage stability credibility index

3.2 IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本文采用的第二個(gè)算例是對(duì)IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行修改，在節(jié)點(diǎn)3、9、12分別接入雙饋等值風(fēng)電機(jī)組、異步風(fēng)電機(jī)組和永磁風(fēng)電機(jī)組。這3個(gè)等值風(fēng)電機(jī)組分別代表由30臺(tái)額定有功功率為2 MW的雙饋感應(yīng)風(fēng)電機(jī)組組成的風(fēng)電場(chǎng)、30臺(tái)額定有功功率為1.5 MW的異步風(fēng)電機(jī)組組成的風(fēng)電場(chǎng)和30臺(tái)額定有功功率為2 MW的永磁同步發(fā)電機(jī)組組成的風(fēng)電場(chǎng)。

表6給出了采用三角隸屬度函數(shù)和梯形隸屬度函數(shù)計(jì)算得到的基于可信性理論的JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差和各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)。其中，連接了等值風(fēng)機(jī)組的節(jié)點(diǎn)3、9、12的電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)由于風(fēng)速的不確定性影響較其他節(jié)點(diǎn)略低些，這與IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真結(jié)果相同，與實(shí)際運(yùn)行是吻合的。通過(guò)對(duì)表1和表6中的各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)對(duì)比，可以看出隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大和接入風(fēng)電場(chǎng)容量的增加，整個(gè)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性得到了提高。從表6中可以看出，采用不同的隸屬度函數(shù)計(jì)算所得的對(duì)角元素期望值、均方差和電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)相差很小，所以采用不同隸屬度函數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響不大。

表6 不同隸屬度函數(shù)所得JR矩陣對(duì)角元素期望值、均方差、電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)Table 6 Expectation and mean square error of diagonal elements of JRmatrix for different membership function types，and corresponding voltage stability credibility index

為驗(yàn)證本文提出方法的有效性，同樣將IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真結(jié)果分別與兩點(diǎn)估計(jì)法、蒙特卡洛法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中，基于可信性理論方法選用三角隸屬度函數(shù)表征，抽樣90次；兩點(diǎn)估計(jì)法采用正態(tài)分布表征不確定參數(shù)風(fēng)速的分布；蒙特卡洛法進(jìn)行900次仿真計(jì)算。圖6、圖7分別給出了應(yīng)用本文方法、兩點(diǎn)估計(jì)法和蒙特卡洛法進(jìn)行仿真得到的JR矩陣對(duì)角元素特征根期望值、均方差及各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)的對(duì)比結(jié)果。

圖6 不同方法所得JR矩陣對(duì)角元素期望值Fig.6 Expectation of diagonal elements of JRmatrix for different methods

圖7 不同方法所得JR矩陣對(duì)角元素均方差Fig.7 Mean square error of diagonal elements of JRmatrix for different methods

從圖6、7中可以看出，可信性理論法與蒙特卡洛法計(jì)算所得的JR矩陣對(duì)角元素期望值和均方差都非常接近，而兩點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算所得的結(jié)果較上述2種方法有較大偏差。這與IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的結(jié)果相同，所以認(rèn)為可信性理論較兩點(diǎn)估計(jì)法更接近實(shí)際結(jié)果。

4 結(jié)論

本文將可信性理論引入含風(fēng)電場(chǎng)的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中。采用模糊數(shù)來(lái)表征不確定參數(shù)-風(fēng)速的變化，提出了基于可信性理論的靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析方法，可以得到收縮后的雅可比矩陣對(duì)角元素期望值、均方差和各節(jié)點(diǎn)電壓穩(wěn)定可信性指標(biāo)。最后通過(guò)與兩點(diǎn)估計(jì)法和蒙特卡洛仿真法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，說(shuō)明了本文方法的有效性和優(yōu)越性。