一種新的基于R-D分析的重力匹配輔助導(dǎo)航算法

王躍鋼，文超斌，2＊，郭志斌，楊家勝，左朝陽(yáng)

1第二炮兵工程大學(xué)304教研室，西安 710025

2中國(guó)人民解放軍96124部隊(duì)，通化 134000

1 引言

現(xiàn)有海洋重力場(chǎng)的分辨率已經(jīng)達(dá)到2′×2′，進(jìn)一步插值精細(xì)化處理可達(dá)1′×1′，重力異常精度達(dá)到3～8mGal，同時(shí)海洋重力儀的測(cè)量精度達(dá)到1mGal，這給高精度下實(shí)施重力輔助導(dǎo)航提供了可能性（王虎彪等，2012）.重力匹配是重力輔助慣性導(dǎo)航的核心技術(shù)，是重力輔助導(dǎo)航定位算法能否成功的關(guān)鍵，其基本思路就是通過(guò)某種策略實(shí)現(xiàn)由慣性導(dǎo)航系統(tǒng)指示的導(dǎo)航系統(tǒng)位置到導(dǎo)航系統(tǒng)真實(shí)位置的最優(yōu)逼近.目前重力匹配算法主要是借鑒較為成熟的地形匹配算法.按照算法設(shè)計(jì)原理可分為序列相關(guān)匹配方法和遞推濾波方法兩種，序列相關(guān)匹配方法主要包括最近等值線迭代算法（the Iterated Closest Contour Point，ICCP）、相關(guān)極值分析算法兩大類(lèi)，而遞推濾波方法以桑迪亞慣性地形輔助導(dǎo)航（SITAN）算法為典型代表，它們都有一定的局限性.基于相關(guān)極值分析的匹配算法往往采用全局遍歷搜索的搜索策略，在搜索區(qū)域較大的情況下運(yùn)算量較大，導(dǎo)致算法實(shí)時(shí)性較差，匹配時(shí)間較長(zhǎng)，不利于與慣導(dǎo)進(jìn)行組合（閆利等，2009；李?yuàn)檴櫟龋?011；Yuan etal.，2011）.基于最近等值線迭代算法和遞推濾波方法的匹配算法要求慣導(dǎo)測(cè)量位置與目標(biāo)對(duì)象已經(jīng)很接近，加之反復(fù)的全局變換運(yùn)算會(huì)大大提高計(jì)算量，影響匹配的實(shí)時(shí)性（Jiang etal.，2009；孫楓等，2009；Cheng etal.，2009）.所以本文針對(duì)實(shí)際慣導(dǎo)初始誤差較大的情況，提出一種基于徑、向分析的重力輔助導(dǎo)航算法，該算法充分利用慣導(dǎo)短時(shí)精度高的特點(diǎn)給出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的半徑和方向角匹配約束模型，然后通過(guò)對(duì)待匹配點(diǎn)相似性進(jìn)行度量，篩選求取最優(yōu)匹配參數(shù).算法精度、穩(wěn)定性、實(shí)時(shí)性大幅增強(qiáng).

2 基于徑、向分析的實(shí)時(shí)重力輔助導(dǎo)航匹配算法基本原理

徑、向分析匹配算法的流程分為：粗匹配、精匹配和跟蹤匹配.粗匹配的主要任務(wù)是在慣導(dǎo)誤差的估計(jì)范圍內(nèi)快速建立徑、向模型，從而獲取粗略的匹配結(jié)果，為精匹配提供可靠的初始匹配參數(shù)；精匹配是為了獲取更高精度的匹配結(jié)果；而跟蹤匹配是后續(xù)的實(shí)時(shí)匹配.其匹配流程如圖1所示.

2.1 算法粗匹配

圖1 徑、向匹配算法流程圖Fig.1 Flow chart of the R-D matching algorithm

根據(jù)重力導(dǎo)航基本理論，數(shù)據(jù)預(yù)處理得到等值點(diǎn).第一步：固定搜索區(qū)域.由于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)存在漂移，所以實(shí)際位置應(yīng)該在以慣導(dǎo)輸出為中心，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的漂移誤差的三倍為半徑的圓形搜索范圍內(nèi).這里分別以慣導(dǎo)進(jìn)入適配區(qū)后慣導(dǎo)系統(tǒng)指示的三個(gè)位置點(diǎn)（其中坐標(biāo)值表示測(cè)量點(diǎn)的經(jīng)緯度信息）為中心，在重力圖中下述經(jīng)緯度范圍內(nèi)進(jìn)行搜索：

上述（1）—（4）式中i＝1，2，3，round表示取整數(shù)運(yùn)算表示慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始誤差（°），δ1表示隨機(jī)常值漂移誤差（（°）／h），δ2表示隨機(jī)噪聲（°）.

第二步：尋找等值點(diǎn).利用導(dǎo)航系統(tǒng)重力傳感器輸出的重力實(shí)測(cè)值g（x，y）與重力圖分辨率為σ的搜索區(qū)域內(nèi)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的重力數(shù)據(jù)g（xk，yk）進(jìn)行比較確定等值點(diǎn)：同一個(gè)重力網(wǎng)格單元上的四個(gè)重力值都小于或者大于g（x，y）時(shí)，取網(wǎng)格中心點(diǎn)為等值點(diǎn)坐標(biāo)值；同一個(gè)重力網(wǎng)格單元邊上的重力值介于g（x，y）時(shí)線性插值得到等值點(diǎn)的坐標(biāo).這樣，每個(gè)搜索區(qū)域內(nèi)都可以找到多個(gè)重力等值點(diǎn)構(gòu)成相應(yīng)的等值點(diǎn)集，由于重力場(chǎng)在空間上具有連續(xù)性，所以在該等值點(diǎn)集中相對(duì)載體真實(shí)位置最近的等值點(diǎn)與載體真實(shí)位置點(diǎn)在同一個(gè)重力網(wǎng)格內(nèi)，也就是說(shuō)與載體真實(shí)位置最近的等值點(diǎn)距離誤差最大值不超過(guò)（σ為重力圖分辨率），用算式表示為：

第三步：建立徑、向匹配模型.如圖2所示，由二維笛卡兒坐標(biāo)平面上的三個(gè)不共線點(diǎn)可以求出其外接圓圓心、外接圓半徑r，而后以該外接圓圓心o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以P1點(diǎn)與o點(diǎn)的連線為極軸，可以建立極坐標(biāo)系（ρ，β）.這樣可定義：外接圓半徑r為三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的匹配半徑長(zhǎng)度；點(diǎn)和）在定義極坐標(biāo)系中的角度值分別為三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的匹配方向角θ、φ，于是有：

圖2 徑、向匹配模型圖Fig.2 Model of R-D matching

下面首先給出一種適合計(jì)算機(jī)編程，且可使程序結(jié)構(gòu)優(yōu)化、提高運(yùn)算效率的匹配半徑長(zhǎng)度r的求解方法.具體敘述如下：

利用點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合圓方程可得：

用（7）—（6），（8）—（6）消去r，并且簡(jiǎn)化得：

對(duì)（9）式進(jìn)一步分析化簡(jiǎn)，為求x0，y0，令

則（9）式可寫(xiě)為二元一次形式

解（11）式知：

所以P1，P2，P3對(duì)應(yīng)的匹配半徑長(zhǎng)度為：

接著，設(shè)二維笛卡兒坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）的橫、縱坐標(biāo)誤差均為Δ，由此橫、縱坐標(biāo)誤差引起的匹配半徑r的系統(tǒng)誤差設(shè)為Δr，引起的匹配方向角θ、φ的系統(tǒng)誤差分別設(shè)為Δθ、Δφ，根據(jù)誤差理論：

如圖2所示方法建立極坐標(biāo)系后，P1，P2，P3三點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為：P1（r，0），P2（r，θ）和P3（r，φ），所以P1，P2，P3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的原二維笛卡兒坐標(biāo)平面上的坐標(biāo)值為：P1（x0+r，y0），P2（x0+rcosβ，y0+rsinβ），P3（x0+rcosφ，y0+rsinφ），因而將x0，y0看成是關(guān)于x1、x2、x3、y1、y2、y3的復(fù)合函數(shù)，分別求（13）式中三個(gè)式子對(duì)x1、x2、x3、y1、y2、y3的各偏導(dǎo)數(shù)，而后結(jié)合（14）式以及（12）式兩個(gè)分式分別對(duì)x1、x2、x3、y1、y2、y3的各偏導(dǎo)數(shù)，并將笛卡兒坐標(biāo)值代入，可得：

同理根據(jù)誤差理論得：

由幾何關(guān)系，及余弦定理得：

先考慮π≤θ≤2π的情況，為公式推導(dǎo)方便，令

將R，r看 成 是 關(guān) 于x1、x2、x3、y1、y2、y3的 復(fù) 合 函數(shù)，分別求（17）式對(duì)x1、x2、x3、y1、y2、y3的偏導(dǎo)數(shù)，并將結(jié)果代入（17）式，而后進(jìn)一步求R關(guān)于x1，x2，y2的偏導(dǎo)數(shù)，并最終將點(diǎn)P1（x0+r，y0），P2（x0+rcosβ，y0+rsinβ），P3（x0+rcosφ，y0+rsinφ）對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值代入化簡(jiǎn)得：

同理知π≤θ≤2π時(shí)的情況：

結(jié)合（20）、（21）式知：

結(jié)合（15）式即：

同理由幾何關(guān)系，及余弦定理得：

按照相似推導(dǎo)過(guò)程可得：

設(shè)運(yùn)載體進(jìn)入適配區(qū)后依時(shí)間先后順序指示的三個(gè)不共線的實(shí)際軌跡位置點(diǎn)為A，B，C，按上述依時(shí)間先后順序?qū)⑵浞謩e視為笛卡兒坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），其中橫縱坐標(biāo)值表示經(jīng)緯度信息值，而后結(jié)合式（13）、（17）、（23）求解其對(duì)應(yīng)的匹配半徑記為rp，匹配方向角記為θp，φp，另外設(shè)A，B，C三點(diǎn)依次對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)軌跡為：Am，Bm，Cm，同理按上述依時(shí)間先后順序進(jìn)行處理，結(jié)合式（13）、（17）、（23）得到的測(cè)量點(diǎn)軌跡Am，Bm，Cm對(duì)應(yīng)的匹配半徑記為rm，匹配方向角記為θm，φm.由于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)短時(shí)間內(nèi)精度較高，所以可以認(rèn)為慣導(dǎo)系統(tǒng)短時(shí)間內(nèi)給出的測(cè)量位置的相對(duì)信息和慣導(dǎo)系統(tǒng)真實(shí)位置的相對(duì)信息無(wú)誤差，所以可利用測(cè)量位置的相對(duì)信息來(lái)代替描述載體真實(shí)位置的相對(duì)信息量，同時(shí)由于笛卡兒坐標(biāo)平面上的匹配半徑、匹配方向角均代表了空間位置點(diǎn)的相對(duì)信息，所以有：

于是，設(shè)由Am、Bm、Cm三點(diǎn)按重力導(dǎo)航數(shù)據(jù)預(yù)處理方法計(jì)算得到的等值點(diǎn)集為Ae、Be、Ce，在該三點(diǎn)集中依次取一點(diǎn)，按上述利用（13）、（17）、（23）式求其對(duì)應(yīng)的匹配半徑集合記為re（該集合元素記為re），匹配方向角集合記為θe（該集合元素記為θe）、φe（該集合元素記為φe）；在等值點(diǎn)集Ae、Be、Ce中分別距離A、B、C三點(diǎn)最近的等值點(diǎn)，也就是最佳粗匹配點(diǎn)記為、、，按上述利用（13）、（17）、（23）式求其對(duì)應(yīng)的匹配圓半徑，記為，匹配方向角記為、.

又令：（1）匹配半徑約束條件：

（2）匹配方向角約束條件1：

（3）匹配方向角約束條件2：

2.2 算法精匹配

第一步：篩選最優(yōu)匹配點(diǎn).將經(jīng)過(guò)2.1節(jié)所述得到的粗匹配點(diǎn)代入（32）式所示離散相似度模型函數(shù)，尋求相似度值最大的匹配等值點(diǎn)Aec，Bec，Cec作為本次匹配的結(jié)果.同時(shí)，相似度可以用來(lái)評(píng)價(jià)匹配算法的效果，從而決定繼續(xù)匹配還是返回粗匹配：

第二步：局部重力圖優(yōu)化.利用插值算法進(jìn)行重力圖局部精確化處理，建立局部連續(xù)重力場(chǎng)結(jié)構(gòu)，消除由于重力圖量化誤差引起的整個(gè)重力輔助慣性導(dǎo)航系統(tǒng)匹配誤差.具體的做法是在以匹配等值點(diǎn)Aec，Bec，Cec為中心，以一個(gè)重力圖分辨率大小σ為半徑的區(qū)間上通過(guò)高斯樣條函數(shù)二維逼近局部離散背景場(chǎng)，獲得連續(xù)背景場(chǎng)解析式G（x，y）.

第三步：建立優(yōu)化匹配模型.分別在以等值匹配點(diǎn)Aec，Bec，Cec為中心，以一個(gè)重力圖分辨率大小σ為半徑的連續(xù)場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)尋找，使下述（33）式所示相似度優(yōu)化匹配模型最大的匹配點(diǎn)作為最終的運(yùn)載體最優(yōu)匹配軌跡點(diǎn).由此將局部連續(xù)重力異常場(chǎng)的最優(yōu)匹配點(diǎn)搜索過(guò)程轉(zhuǎn)化為在非線性約束條件下的非線性多維函數(shù)尋優(yōu)過(guò)程.并且可以指標(biāo)函數(shù)的最大值大小判斷是否返回粗匹配還是繼續(xù)進(jìn)行下一步的跟蹤匹配.

其中g(shù)mA，gmB，gmC分別表示導(dǎo)航系統(tǒng)在A，B，C三點(diǎn)重力傳感器輸出重力值，gA，gB，gC表示連續(xù)場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)由連續(xù)背景場(chǎng)解析式G（x，y）計(jì)算得到的重力值，其他參數(shù)定義如前述.

2.3 算法跟蹤匹配

跟蹤匹配階段，每一步都沿用之前已經(jīng)確定的兩個(gè)匹配點(diǎn)的信息，只需要對(duì)新的慣導(dǎo)系統(tǒng)指示點(diǎn)進(jìn)行塊內(nèi)搜索匹配，最終尋找到使（33）式所示相似度優(yōu)化匹配模型最大的匹配點(diǎn)，作為本次最優(yōu)匹配軌跡點(diǎn)即可，具體搜索匹配方法和上述粗匹配、精匹的過(guò)程相同.同時(shí)在匹配過(guò)程中利用（33）式相似度函數(shù)，研究匹配是否繼續(xù)進(jìn)行還是返回粗匹配.

3 重力圖局部連續(xù)和優(yōu)化模型求解

3.1 重力圖局部連續(xù)

這里采用二維高斯基函數(shù)對(duì)局部離散格網(wǎng)重力異?；鶞?zhǔn)圖進(jìn)行逼近獲取其解析.設(shè)：G（x）＝e-x2／a2，設(shè)局部重力異?；鶞?zhǔn)圖等分格網(wǎng)點(diǎn)集合為｛（xi，yi，zi，j）｜i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n｝.則其x方向一維高斯基函數(shù)解析式為L(zhǎng)x＝Span｛Gx（（xxi）／σx）｝，y方向一維高斯基函數(shù)解析式為L(zhǎng)y＝Span｛Gy（（y-yi）／σy）｝，其中σx、σy為格網(wǎng)點(diǎn)分辨率，則x，y平面的二維高斯基函數(shù)可以寫(xiě)成Lx與Ly的張量積形式：

即得：

則（35）式可以簡(jiǎn)化為矩陣形式：

根據(jù)插值條件：

有如下線性方程：

已知X，Y均為非奇異矩陣，即（37）式有唯一解，解方程即得到系數(shù)矩陣C，將系數(shù)矩陣代入式（36）便得到該局部重力異?；鶞?zhǔn)圖二維高斯基函數(shù)逼近解析式.需要注意的是，參數(shù)a的取值對(duì)高斯基函數(shù)逼近效果影響很大，a過(guò)大或過(guò)小都將導(dǎo)致很大的逼近誤差，需要通過(guò)建立調(diào)優(yōu)模型并進(jìn)行解算獲取參數(shù)a的最優(yōu)值.限于篇幅，本文對(duì)參數(shù)a調(diào)優(yōu)過(guò)程不作介紹，最后仿真試算取a為2即可獲得較高的逼近精度（Xiao and Bian，2010；童余德等，2011；童余德等，2012）.

3.2 優(yōu)化模型求解

約束條件下最優(yōu)化模型求解問(wèn)題通常稱為無(wú)約束最優(yōu)化方法（Unconstrained Optimization Method）.一般來(lái)說(shuō)無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解是通過(guò)一系列的迭代算法來(lái)實(shí)現(xiàn)的.具體的迭代收斂算法很多：如牛頓法、梯度法、共軛方向法、擬牛頓法、方向加速法、步長(zhǎng)加速法等.從本質(zhì)上各種迭代收斂算法僅存在迭代方向矢量sk與長(zhǎng)度tk≥0的差別.本文采用擬牛頓法編程解決（33）式非線性模型求解問(wèn)題.擬牛頓法的迭代步驟為：

第一步：選取初始值x0，給出允許誤差ε＞0；并令k＝0；

第四步：進(jìn)行一維搜索求tk和xk+1，使得：求下一迭代點(diǎn)，令：返回第二步.

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本文采用我校慣性制導(dǎo)實(shí)驗(yàn)室研制開(kāi)發(fā)的軌跡生成器軟件生成仿真驗(yàn)證需要的真實(shí)航跡和慣導(dǎo)指示航跡.而重力異常數(shù)據(jù)使用渤海地區(qū)經(jīng)度范圍118°—119°，緯度范圍37°—38°的真實(shí)數(shù)據(jù)，該重力異常場(chǎng)的三維圖如圖4所示.重力圖分辨率為1′×1′，重力儀的實(shí)時(shí)量測(cè)數(shù)據(jù)是利用真實(shí)航跡在重力數(shù)據(jù)庫(kù)中的采樣獲取，運(yùn)載體質(zhì)量為5000kg，速度為60km／h，航跡的初始經(jīng)度為118.02°，緯度為37.24°，航行時(shí)長(zhǎng)60min，采樣時(shí)間為3min.慣導(dǎo)指示航跡的誤差源有慣導(dǎo)初始位置誤差、常值漂移和隨機(jī)噪聲3種，常值漂移誤差為0.01（°）／h；隨機(jī)噪聲為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.001的高斯分布白噪聲；本文分別分析了慣導(dǎo)初始誤差分別為0.01°和0.05°兩種情況下進(jìn)行的仿真，并對(duì)比分析了傳統(tǒng)ICCP算法、相關(guān)極值算法和本文新算法的匹配效果.

圖4為初始誤差為0.01°時(shí)經(jīng)緯度的匹配誤差.圖5為初始誤差為0.05°時(shí)經(jīng)緯度的匹配誤差.由于新算法充分利用了導(dǎo)航系統(tǒng)的相對(duì)位置信息，在匹配過(guò)程當(dāng)中加入了判斷機(jī)制，每步匹配過(guò)程中分粗、精匹配兩個(gè)步驟進(jìn)行匹配參數(shù)尋優(yōu)，在粗匹配階段利用位置信息結(jié)合誤差理論建立門(mén)限值進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，而在精匹配階段融入了重力圖局部插值連續(xù)化理論和優(yōu)化模型求解理論.由圖可見(jiàn)新算法顯著提高了導(dǎo)航的精度.在初始誤差較小時(shí)新算法的精度高于ICCP算法和相關(guān)極值算法，三類(lèi)算法都能夠正常工作；初始誤差較大時(shí)新算法的精度仍然高于ICCP算法和相關(guān)極值算法，在這種情況下，ICCP算法誤差明顯增大，新算法的精度高于傳統(tǒng)匹配算法的特點(diǎn)明顯顯露出來(lái)，說(shuō)明新算法的粗匹配、精匹配在整個(gè)重力匹配過(guò)程中發(fā)揮了非常大的作用，說(shuō)明了上述理論結(jié)果的正確性.

圖3 重力異常場(chǎng)三維圖Fig.3 3Dmap of gravity anomaly field

圖4 較小誤差時(shí)算法仿真結(jié)果（a）經(jīng)度誤差；（b）緯度誤差.Fig.4 Simulation results of the algorithm for small initial errors（a）Longitudinal errors；（b）Latitudinal errors.

圖5 較大誤差時(shí)算法仿真結(jié)果（a）經(jīng)度誤差；（b）緯度誤差.Fig.5 Simulation results of the algorithm for large initial errors（a）Longitudinal errors；（b）Latitudinal errors.

表1 三種算法仿真誤差對(duì)比Table 1 Comparison of simulation errors of three algorithms

表1給出了2次仿真對(duì)應(yīng)三種算法的平均匹配誤差，由表可知無(wú)論慣導(dǎo)初始為0.01°還是0.05°，徑、向匹配算法的匹配誤差都能夠保持在0.001°～0.003°（約110～330m）左右；相關(guān)極值能夠保持在0.01°～0.025°（約1100～2750m）左右；ICCP算法只有在慣導(dǎo)初始誤差為0.01°的情況下匹配誤差接近0.016°（大約一個(gè)重力圖分辨率），在慣導(dǎo)初始誤差為0.05°的情況下經(jīng)度匹配誤差超過(guò)0.1°（大約11000m）.總體來(lái)看，新算法可以在0.01°到0.05°的初始誤差情況下將慣導(dǎo)經(jīng)緯度誤差降至隨機(jī)漂移（0.01°）的20%左右.

5 結(jié)論

本文研究傳統(tǒng)ICCP、相關(guān)極值、（SITAN）等重力輔助慣性導(dǎo)航匹配算法基礎(chǔ)上，提出了基于徑向分析的重力輔助導(dǎo)航新算法，給出了一種重力輔助慣性導(dǎo)航匹配算法中尋求等值點(diǎn)的方法，基于該方法的研究成果從誤差分析角度入手進(jìn)行建模，得出了新匹配算法所應(yīng)遵循的匹配門(mén)限條件，定義了新算法匹配相似度函數(shù)，為了進(jìn)一步提高和完善新算法，從重力圖局部?jī)?yōu)化和模型優(yōu)化求解兩個(gè)方面進(jìn)行了相關(guān)研究.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于徑向分析的重力輔助導(dǎo)航新算法，可以在慣導(dǎo)初始誤差較大的情況下進(jìn)行精確、快速、高效的導(dǎo)航匹配，極大地克服了慣性導(dǎo)航設(shè)備由于時(shí)間推移誤差積累的問(wèn)題.

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