基于GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法精確反演地球重力場(chǎng)

鄭偉，許厚澤，鐘敏，員美娟

1中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430077

2武漢科技大學(xué)理學(xué)院，武漢 430081

1 引言

21世紀(jì)是利用衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星技術(shù)（SST）和衛(wèi)星重力梯度技術(shù)（SGG）提升對(duì)“數(shù)字地球”認(rèn)知能力的新紀(jì)元.重力衛(wèi)星CHAMP（CHAllenging Minisatellite Payload）、GRACE（Gravity Recovery and Climate Experiment）和GOCE（Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer）的成功升空以及GRACE Follow-On的即將發(fā)射昭示著人類將迎來(lái)一個(gè)前所未有的衛(wèi)星重力探測(cè)時(shí)代.CHAMP、GRACE和GOCE衛(wèi)星各有所長(zhǎng)，它們的相繼發(fā)射不是相互競(jìng)爭(zhēng)而是互相補(bǔ)充.CHAMP是衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃成功實(shí)施的先行者，GRACE的優(yōu)越性體現(xiàn)于可高精度探測(cè)地球重力場(chǎng)的中長(zhǎng)波信號(hào)及時(shí)變（2≤L≤120階），而GOCE擅長(zhǎng)于感測(cè)地球中短波靜態(tài)重力場(chǎng)（120＜L≤250階）（鄭偉等，2011a），因此聯(lián)合求解GRACE和GOCE的衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)有利于反演高精度、高空間分辨率和全頻段的地球重力場(chǎng).基于GRACE衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃高精度探測(cè)地球中長(zhǎng)波靜態(tài)和長(zhǎng)波時(shí)變重力場(chǎng)的巨大貢獻(xiàn)（Jekeli，1999；Reigber etal.，2005；張捍衛(wèi)等，2004；沈云中等，2005；Tapley etal.，2005；Zheng etal.，2005，2011，2012a，2012b；程蘆穎和許厚澤，2006；鄭偉等，2006，2008，2009a，2009b，2009c；周旭華等，2006；Xu，2008），美國(guó)宇航局（NASA）提出了下一代專用于地球中短波靜態(tài)和中長(zhǎng)波時(shí)變重力場(chǎng)精密探測(cè)的GRACE Follow-On衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃.GRACE Follow-On雙星預(yù)期采用近圓、近極和超低軌道設(shè)計(jì)，利用激光干涉測(cè)距系統(tǒng)高精度測(cè)量星間距離和星間速度，利用高軌GPS（Global Positioning System）衛(wèi)星對(duì)低軌雙星精密跟蹤定位，利用非保守力補(bǔ)償系統(tǒng)（DFACS）高精度消除雙星受到的非保守力，利用恒星敏感器精密測(cè)量衛(wèi)星和載荷的空間三維姿態(tài).由于激光具有超短波長(zhǎng)和極好的波長(zhǎng)穩(wěn)定性，因此利用GRACE Follow-On星載激光干涉測(cè)距系統(tǒng)獲得的星間距離和星間速度精度至少比GRACE星載K波段測(cè)距系統(tǒng)精度高1個(gè)數(shù)量級(jí).

目前國(guó)內(nèi)外科研機(jī)構(gòu)均基于衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星高低／低低（SST-HL／LL）觀測(cè)原理開展了GRACE Follow-On地球重力場(chǎng)的需求論證和反演研究（Stephens etal.，2006；Flechtner etal.，2009；Loomis，2009，2012；Zheng etal.，2009；鄭偉等，2010，2012）.由于GRACE Follow-On雙星系統(tǒng)相當(dāng)于基線長(zhǎng)為星間距離50km的一維水平重力梯度儀，因此利用GRACE Follow-On衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)能否獲得更高精度的地球中高頻重力場(chǎng)信息是當(dāng)前衛(wèi)星重力反演領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.Rummel等（1993）利用扭稱原理測(cè)量了GRACE重力梯度儀的精度；Keller和Heβ（1998）開展了GRACE衛(wèi)星重力梯度測(cè)量的原理研究；Keller和Sharifi（2005）圍繞GRACE雙星加速度差的線性近似、三次方近似、改進(jìn)的線性近似、以及線性和三次方混合近似等方法開展了GRACE衛(wèi)星重力梯度反演的論證研究，但在建立的衛(wèi)星觀測(cè)方程中直接將衛(wèi)星受到的合外力等效為地球引力，而未考慮保守力（日月引力，地球固體潮、海潮、大氣潮、極潮汐力，以及相對(duì)論效應(yīng)等）和非保守力（大氣阻力、太陽(yáng)光壓、地球輻射壓、軌道高度和姿態(tài)控制力等）對(duì)GRACE衛(wèi)星系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)性影響.不同于前人已有研究，本文首次將地球引力加速度差按照泰勒展開進(jìn)而獲得地球引力位的二階張量，并在衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程中加入保守力和非保守力的綜合影響，進(jìn)而精確和快速反演了120階GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度地球重力場(chǎng).

GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法的優(yōu)點(diǎn)如下：由于SST-HL／LL模式主要感測(cè)地球重力場(chǎng)的中長(zhǎng)波信號(hào)，SGG模式敏感于地球重力場(chǎng)的中短波信號(hào)，因此，其旨在聯(lián)合SST-HL／LL和SGG模式的優(yōu)點(diǎn)，有利于進(jìn)一步提高全頻段地球重力場(chǎng)的反演精度；缺點(diǎn)如下：由于GRACE Follow-On雙星僅相當(dāng)于基線長(zhǎng)為星間距離的一維水平重力梯度儀（Vxx），無(wú)法同時(shí)獲得垂向和徑向（Vyy和Vzz）的重力梯度信息，因此其對(duì)地球重力場(chǎng)中高頻信號(hào)的靈敏度低于當(dāng)前GOCE重力梯度衛(wèi)星.綜上所述，由于下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星重力計(jì)劃仍采用SST-HL／LL模式，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法有利于適當(dāng)彌補(bǔ)SST-HL／LL模式的缺陷，有望成為下一代高精度、高空間分辨率和全頻段地球重力場(chǎng)模型建立的優(yōu)選方法.

2 方法

2.1 衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程建立

如圖1所示，地心慣性坐標(biāo)系OI-XIYIZI的原點(diǎn)OI位于地球的質(zhì)心，XI軸的正方向指向歷元的平春分點(diǎn)，ZI軸的正方向指向地球的北極，YI軸和XI、ZI軸成右手螺旋法則關(guān)系.星體坐標(biāo)系的原點(diǎn)分別位于雙星

圖1 GRACE Follow-On雙星系統(tǒng)的星間距離、星間速度和星間加速度的測(cè)量原理Fig.1 Measurement principles of intersatellite range，intersatellite range-ratand intersatellite rangeaccelerationfrom the twin GRACE Follow-On satellites

在地心慣性系OI-XIYIZI中，GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間距離ρ12表示如下：

在（1）式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，可得GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間速度

在（4）式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，可得GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間加速度ρ··12

其中，T1和T2分別表示GRACE Follow-On-A／B雙星的地球擾動(dòng)位梯度.在GRACE Follow-On-A衛(wèi)星質(zhì)心處將GRACE Follow-On-B衛(wèi)星的擾動(dòng)位梯度ΔT2按泰勒展開（取零階和一階項(xiàng)）

將（9）式代入（8）式可得

聯(lián)合（1）、（3）、（5）、（6）、（7）和（10）式，GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程表示如下：

本文基于預(yù)處理共軛梯度迭代法（鄭偉等，2011b）精確和快速求解了GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程（11）.預(yù)處理共軛梯度迭代法是目前求解大規(guī)模線性超定方程組最有效的迭代方法之一.另外，據(jù)數(shù)值模擬計(jì)算可知：由于本文反演地球重力場(chǎng)的階數(shù)截?cái)嘀?20階，正規(guī)方陣病態(tài)性對(duì)地球重力場(chǎng)精度影響較小，因此本文在解算GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程（11）時(shí)未采用正則化方法（如Kaula、Tikhonov等）抑制地球重力場(chǎng)高頻誤差.

2.2 地球擾動(dòng)位的一階梯度

在球坐標(biāo)系中，地球擾動(dòng)位T（r，θ，λ）表示如下：

其中，r，θ和λ分別表示衛(wèi)星的地心半徑、地心余緯度和地心經(jīng)度，表示地球平均半徑；（cosθ）表示規(guī)格化的Legendre函數(shù)，l表示階數(shù)，m表示次數(shù)；和表示待求的規(guī)格化地球引力位系數(shù).

地球擾動(dòng)位梯度ΔT在球坐標(biāo)系 （r，θ，λ）和直角坐標(biāo)系（x，y，z）中的轉(zhuǎn)換關(guān)系表示如下：

初值表示如下：

系數(shù)表示如下：

初值表示如下：

2.3 地球擾動(dòng)位的二階梯度

地球擾動(dòng)位的二階梯度表示如下：

其中，

初值表示如下：

（21）式可改寫為：

2.4 星間加速度

基于Newton-Gregory插值模型，星間距離ρ12的泰勒展開表示如下：

其中，9點(diǎn)Newton-Gregory插值公式表示如下：

3 結(jié)果

3.1 衛(wèi)星軌道模擬

在衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)方程（11）建立之后，本文首先利用9階Runge-Kutta線性單步法結(jié)合12階Adams-Cowell線性多步法數(shù)值積分公式分別模擬了當(dāng)前GRACE-A／B和下一代GRACE Follow-On-A／B雙星的軌道位置和軌道速度，軌道模擬參數(shù)如表1所示.圖2表示GRACE Follow-On-A衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系OI-XIYIZI（圖1）中XIYI平面內(nèi)的軌跡投影.

3.2 衛(wèi)星重力梯度反演

如圖3所示，十字線表示德國(guó)波茲坦地學(xué)研究中心（GFZ）公布的120階EIGEN-GRACE02S地球重力場(chǎng)模型的實(shí)測(cè)精度，在120階處累計(jì)大地水準(zhǔn)面精度為1.893×10-1m；虛線和實(shí)線分別表示基于GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法，利用衛(wèi)星軌道參數(shù)（表1）和關(guān)鍵載荷精度指標(biāo)（表2），反演地球重力場(chǎng)的模擬精度，在120階處累計(jì)大地水準(zhǔn)面精度分別為1.708×10-1m和9.331×10-4m；在各階處的累計(jì)大地水準(zhǔn)面精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示.研究結(jié)果表明：

圖2 GRACE Follow-On-A衛(wèi)星在XIYI平面內(nèi)的軌跡圖（1天）Fig.2 One-day tracks of the GRACE Follow-On-A satellite in the XIYI-plane

圖3 基于GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法反演累計(jì)大地水準(zhǔn)面精度對(duì)比Fig.3 A comparison of cumulative geoid height errors based on the GRACE and GRACE Follow-On satellite gravity gradiometry method

表1 GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星軌道模擬參數(shù)Table 1 Simulation parameters of the GRACE and GRACE Follow-On satellite orbits

第一，據(jù)圖3中十字線和虛線對(duì)比可知，在120階內(nèi)，通過(guò)GRACE衛(wèi)星重力梯度法反演地球重力場(chǎng)精度較EIGEN-GRACE02S模型精度平均提高72%.主要原因分析如下：由于當(dāng)前的動(dòng)力法、能量法、加速度法等均基于SST觀測(cè)模式解算GRACE地球重力場(chǎng)，而GRACE衛(wèi)星重力梯度法通過(guò)聯(lián)合SST和SGG觀測(cè)模式的優(yōu)點(diǎn)反演地球重力場(chǎng)，因此有利于進(jìn)一步提高地球重力場(chǎng)的解算精度.

第二，據(jù)圖3中十字線和實(shí)線對(duì)比可知，基于下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星重力計(jì)劃解算地球重力場(chǎng)精度較當(dāng)前GRACE計(jì)劃平均提高61倍，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法是建立下一代高精度和高空間分辨率地球重力場(chǎng)模型的有效途徑.主要原因分析如下：（1）GRACE Follow-On（200～300km）衛(wèi)星軌道高度低于GRACE（400～500km）.GRACE衛(wèi)星采用加速度計(jì)實(shí)時(shí)測(cè)量非保守力，在數(shù)據(jù)后處理中再扣除非保守力.由于非保守力隨著衛(wèi)星軌道高度降低而急劇增加，因此GRACE衛(wèi)星無(wú)法采用超低軌道設(shè)計(jì).GRACE Follow-On衛(wèi)星將采用非保守力補(bǔ)償系統(tǒng)精確屏蔽作用于衛(wèi)星的非保守力，因此可實(shí)質(zhì)性降低衛(wèi)星軌道高度，進(jìn)而有效抑制地球重力場(chǎng)信號(hào)隨軌道高度的衰減.（2）GRACE Follow-On衛(wèi)星關(guān)鍵載荷測(cè)量精度高于GRACE.GRACE衛(wèi)星采用K波段測(cè)距系統(tǒng)測(cè)量星間距離（10μm）和星間速度（1μm／s），利用加速度計(jì)測(cè)量衛(wèi)星受到的非保守力（10-10m·s-2）.GRACE Follow-On衛(wèi)星基于激光干涉測(cè)距系統(tǒng)高精度測(cè)量星間距離（10～1000nm）和星間速度（1～100nm／s），通過(guò)非保守力補(bǔ)償系統(tǒng)消除作用于衛(wèi)星的 非保守 力 （10-11～10-13m·s-2）效應(yīng).（3）GRACE Follow-On星間距離短于GRACE.適當(dāng)增加星間距離有利于提高地球長(zhǎng)波重力場(chǎng)的精度，適當(dāng)縮短星間距離有利于提高地球短波重力場(chǎng)的精度.GRACE Follow-On（50～100km）衛(wèi)星較GRACE（220km）縮短了星間距離，進(jìn)一步提高了地球中高頻重力場(chǎng)的感測(cè)精度.

表2 當(dāng)前GRACE和下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星關(guān)鍵載荷精度指標(biāo)Table 2 Statistics of the measurement accuracies of key payloads from the current GRACE and next-generation GRACE Follow-On satellites

表3 GRACE和GRACE Follow-On累計(jì)大地水準(zhǔn)面精度統(tǒng)計(jì)Table 3 Statistics of cumulative geoid height errors from GRACE and GRACE Follow-On

4 結(jié)論

基于當(dāng)前GRACE衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃對(duì)相關(guān)學(xué)科（大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、海洋學(xué)、水文學(xué)、冰川學(xué)等）的卓越貢獻(xiàn)和固有局限性（軌道高度無(wú)法降低、載荷精度無(wú)法提高等），國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者正在積極尋求下一代更高時(shí)空分辨率的衛(wèi)星重力測(cè)量計(jì)劃.基于以上原因，本文通過(guò)聯(lián)合星間距離、星間速度、星間加速度、以及地球引力位二階張量數(shù)據(jù)精確和快速反演了120階GRACE Follow-On地球重力場(chǎng).研究結(jié)果顯示：基于將來(lái)GRACE Follow-On衛(wèi)星反演地球重力場(chǎng)精度較當(dāng)前GRACE衛(wèi)星至少提高10倍，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法有利于建立下一代高精度和高空間分辨率的地球重力場(chǎng)模型.

致謝 感謝匿名評(píng)審專家和編輯對(duì)本文的幫助.感謝美國(guó)宇航局（NASA）提供了GRACE Follow-On衛(wèi)星的相關(guān)資料.

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