基于單程波偏移算子的地表相關(guān)多次波成像

葉月明，趙昌壘，莊錫進(jìn)，郭書(shū)娟，錢進(jìn)

1中國(guó)石油杭州地質(zhì)研究院，杭州 310023

2中國(guó)石化石油物探技術(shù)研究院，南京 211103

3中國(guó)科學(xué)院海洋研究所，青島 266071

1 引言

地震波成像的目標(biāo)就是將地表接收到的反射波反向歸位至產(chǎn)生它的反射點(diǎn)上，并由此得到地下構(gòu)造特征.多數(shù)地震偏移成像算法是基于所有散射能量在地下界面僅反射一次的假設(shè)，而實(shí)際上，聲波在向地表返回過(guò)程中會(huì)有部分發(fā)生二次或多次反射，形成多次波.由于海水面存在著強(qiáng)的波阻抗差異，所以多次波在海洋地震資料中尤為嚴(yán)重.多次波的出現(xiàn)經(jīng)常使地震剖面上主要目的層反射難以解釋，特別是沿潛在油氣儲(chǔ)層的微小變化將被多次波嚴(yán)重干擾，所以，長(zhǎng)期以來(lái)多次波一直被視為噪音并從地震數(shù)據(jù)中去除（郭科等，2010；石穎和邢小林，2011；陳小宏和劉華鋒，2012；石穎等，2012；趙昌壘等，2013），以免在之后的地震資料解釋中造成誤解.

事實(shí)上，多次波也是眾多地震信號(hào)中的一種，像一次波一樣，多次波也包含了地下界面信息.在復(fù)雜地下構(gòu)造的情況下，有的區(qū)域一次反射波難以照明，而多次波卻可以通過(guò)多次反射而照明，包含了一次波所沒(méi)有的地下信息，所以，近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者都在利用多次波方面做了一系列的研究.

將多次波轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮尾ㄔ侔凑諅鹘y(tǒng)偏移方法進(jìn)行成像是多次波成像方法之一，Shan等 （2003）提出了將含有多次波的數(shù)據(jù)進(jìn)行互相關(guān)變換為準(zhǔn)一次波，基于雙平方根方程，在炮點(diǎn)-檢波點(diǎn)域進(jìn)行多次波疊前深度偏移.Shan和Guitton（2004）等通過(guò)一次波與多次波的互相關(guān)得到準(zhǔn)一次波，在炮集實(shí)現(xiàn)了多次波疊前深度偏移，并應(yīng)用Sigsbee2B模型進(jìn)行了測(cè)試，取得了一定的效果.He等 （2007）提出了地震干涉成像法對(duì)自由表面多次波進(jìn)行成像，并在VSP數(shù)據(jù)中得到了較好的應(yīng)用.Jiang（2006）利用層間多次波對(duì)VSP資料進(jìn)行成像，前提是需要有較強(qiáng)產(chǎn)生層間多次波的界面才能夠較好的對(duì)層間多次波進(jìn)行識(shí)別和成像.Vasconcelos等（2008）也利用地震干涉法對(duì)墨西哥灣鹽下構(gòu)造進(jìn)行VSP數(shù)據(jù)的目標(biāo)成像，成像結(jié)果與傳統(tǒng)地面地震成像結(jié)果一致.Berkhout和Verschuur（2006）提出了可以先通過(guò)SRME預(yù)測(cè)出地表相關(guān)多次波，再將多次波轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮尾?，然后再進(jìn)行多次波成像.（Muijs and Holliger 2005，Muijs etal.，2007）首先將波場(chǎng)分解為上行波場(chǎng)與下行波場(chǎng)，然后再進(jìn)行基于單程波的下行波場(chǎng)和上行波場(chǎng)延拓，最后通過(guò)多維成像得到成像結(jié)果，這種方法的缺點(diǎn)是在前期需要進(jìn)行波場(chǎng)分離.Brown和Guitton（2005）提出了一種多次波和一次波聯(lián)合成像的方法，稱為多次波和一次波最小二乘法聯(lián)合成像，這種方法利用模型正則化算子將一次波與多次波分離，結(jié)合一次波與多次波的信息來(lái)提高信號(hào)的保真度.

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展，逆時(shí)偏移得到了一定程度的應(yīng)用，Liu等（2011）將逆時(shí)偏移震源波場(chǎng)用地震記錄來(lái)替代、記錄波場(chǎng)用預(yù)測(cè)出的多次波來(lái)替代實(shí)現(xiàn)了基于逆時(shí)偏移的多次波成像，取得了較好的效果，然而由于逆時(shí)偏移本身的特點(diǎn)，這種計(jì)算方法也是比較耗時(shí)的.Zhang和Schuster（2014）提出了基于最小二乘的多次波逆時(shí)偏移方法，通過(guò)多次迭代運(yùn)算，改善了逆時(shí)多次波偏移方法的成像質(zhì)量，在照明均衡和縱向成像分辨率方面都有了明顯的提高.Wang等（2014）提出了一種不需要預(yù)先預(yù)測(cè)多次波的方法，以脈沖震源與原始記錄為下行延拓初始波場(chǎng)，以原始記錄為初始上行波場(chǎng)，避免了多次波預(yù)測(cè)所增加的誤差.郭書(shū)娟等（2011，2012）提出了基于廣義的炮偏移方法實(shí)現(xiàn)地表多次波和一次波的聯(lián)合成像，該方法是將包含有震源的記錄波場(chǎng)做為下行波場(chǎng)，多次波為上行波場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)一次波與多次波的聯(lián)合成像，由于震源子波包含在記錄波場(chǎng)中，如果子波能量太小，一次波成像比重就較小，如果子波能量太強(qiáng)，多次波成像比重就掩蓋了一次波成像，所以在確定震源子波能量上存在一定的困難.

在前人研究的基礎(chǔ)上，本文系統(tǒng)闡述了多次波在基于單程波疊前深度偏移中的影響，并提出了基于單程波偏移算子的多次波成像方法.該方法在輸入數(shù)據(jù)上采取了多次波逆時(shí)偏移類似的做法，將輸入的下行波場(chǎng)用包含多次波的記錄來(lái)替代，輸入的上行波場(chǎng)用預(yù)測(cè)的表層相關(guān)多次波來(lái)替代，采用基于波動(dòng)方程的單程波偏移算子來(lái)實(shí)現(xiàn)多次波成像，具有較高的計(jì)算效率.為了應(yīng)用多次波成像結(jié)果來(lái)彌補(bǔ)一次波成像的不足，通過(guò)基于二范式的能量匹配原則將多次波與一次波成像結(jié)果匹配疊加，實(shí)現(xiàn)一次波與多次波的聯(lián)合成像，避免了廣義炮偏移聯(lián)合成像中子波能量難以確定的缺點(diǎn)的同時(shí)也具有較高的計(jì)算效率.簡(jiǎn)單模型驗(yàn)證了多次波成像方法的正確性，Sigsbee2B模型進(jìn)行的一次波與多次波聯(lián)合成像結(jié)果取得了明顯的改善，尤其是多次波發(fā)育的鹽丘邊界構(gòu)造成像質(zhì)量得到了明顯提高.

2 多次波在單程波疊前深度偏移中的影響

在密度恒定的各向同性完全彈性介質(zhì)中，假設(shè)地震波震源是t＝0時(shí)刻激發(fā)的脈沖，則地震波的傳播可以用如下時(shí)間-空間域的二維標(biāo)量聲波方程表示為

其中，U（x，z）為空間波場(chǎng)，v（x，z）為介質(zhì)的速度.

基于擬微分算子理論，假設(shè)光滑介質(zhì)中層間多次反射非常弱，或者認(rèn)為多次波被視為噪聲已經(jīng)提前濾除，不考慮地震波的反射和透射得到解耦的單程波方程在頻率域表示為（張關(guān)泉，1993；Zhang etal.，2005）

其中，UU（x，z；w）與UD（x，z；w）分別代表了分裂出的下行波場(chǎng)與上行波場(chǎng)，w為頻率，算子Λ＝稱為擬微分算子，從（2）式就可以推導(dǎo)出分步傅里葉與傅里葉有限差分等經(jīng)典的單程波的波場(chǎng)延拓算子（Stoffa etal.，1990；Ristow and Rūhl，1994）.

圖1是多次波傳播的路徑圖，其中US是震源波場(chǎng)，在地下R處發(fā)生第一次反射，UP是接收到的一次反射波場(chǎng)，一次反射波場(chǎng)在地表被接收后又被反射回地下，在R1處產(chǎn)生二次反射波，返回地表形成一階多次波UM1，類似地產(chǎn)生一系列多次波，最大階為N階多次波UMN.在常規(guī)疊前深度偏移中，輸入下行波場(chǎng)是震源子波，輸入的上行波場(chǎng)是地表接收到的地震記錄，一般認(rèn)為多次波已經(jīng)在前期預(yù)處理中被衰減掉，按照Claerbout教授的入射波的初至與反射波的產(chǎn)生時(shí)間相同的成像原則（Claerbout，1971），當(dāng)不存在多次波時(shí)，單程波偏移方法成像條件可寫(xiě)為

圖1 多次反射波傳播路徑Fig.1 Propagation paths of reflective multiples

其中，wmin與wmax代表最小與最大頻率，U＊S（x，z；w）為下行震源波場(chǎng)在頻率域的復(fù)共軛，UP（x，z；w）為一次反射波，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，以下公式中波場(chǎng)的表示都省略 （x，z；w），當(dāng)存在多次反射波時(shí)，單程波偏移方法實(shí)際成像為

其中，第Ⅰ項(xiàng)為一次反射波得到的真實(shí)構(gòu)造成像部分，第Ⅱ項(xiàng)為多次波與震源波場(chǎng)互相關(guān)而產(chǎn)生的構(gòu)造假象，由于多次波一般成周期性規(guī)律出現(xiàn)，所以第Ⅱ項(xiàng)低階多次波部分與震源互相關(guān)成像結(jié)果會(huì)在有效構(gòu)造區(qū)域產(chǎn)生構(gòu)造假象，影響解釋人員對(duì)構(gòu)造的判斷；由于高階多次波產(chǎn)生時(shí)間較長(zhǎng)，高階多次波與震源互相關(guān)而形成的構(gòu)造假象一般出現(xiàn)在較深部位，容易判斷.由上述可知，在基于單程波的疊前深度偏移之前，應(yīng)該盡可能多的在疊前炮集處理中去除多次波.

3 基于單程波偏移算子的多次波成像

基于波動(dòng)方程的單程波疊前深度偏移方法相對(duì)于射線類的Kirchhoff積分法偏移可以適應(yīng)速度場(chǎng)的強(qiáng)橫向變化，相對(duì)于全波逆時(shí)偏移具有較高的計(jì)算效率和較低的速度依賴性.本文采取類似于劉伊克（2011）提出的逆時(shí)偏移多次波成像方法的邊界條件，首先采用地表相關(guān)多次波預(yù)測(cè)的方法，預(yù)測(cè)出地表相關(guān)多次波；其次用含有多次波的地震記錄作為單程波偏移中的輸入下行波場(chǎng)UD，用預(yù)測(cè)出的地表相關(guān)多次波作為單程波偏移中的輸入上行波場(chǎng)UU；最后用式（5）互相關(guān)成像條件成像，公式為

在時(shí)間域相關(guān)的兩個(gè)信號(hào)，在頻率域是一個(gè)信號(hào)與另一個(gè)信號(hào)復(fù)共軛的標(biāo)量積.式（5）中的復(fù)共軛項(xiàng)代表了下行波場(chǎng)的正向外推，非復(fù)共軛項(xiàng)代表了上行波場(chǎng)的反向外推.整個(gè)多次波成像由三部分構(gòu)成，第一部分Ⅲ項(xiàng)是多次波真實(shí)構(gòu)造成像部分，認(rèn)為地表接收到的第N-1階多次波UM（N-1）為震源波場(chǎng)，經(jīng)地層界面RN反射后，在地表接收到的第N階多次波為該源產(chǎn)生的記錄波場(chǎng)UMN，上、下行波場(chǎng)通過(guò)互相關(guān)成像得到RN位置的成像值，根據(jù)第Ⅲ項(xiàng)，依次可以得到R1，R2…，RN-1位置處的成像；第二部分Ⅳ項(xiàng)是多次波偏移中產(chǎn)生的噪音，成像條件中的UM（N-2）和UMN分別是下行波場(chǎng)與上行波場(chǎng)，雖然能夠成像，但是所成的像是偏移假象或噪音，因?yàn)樵赨M（N-2）與UMN之間還有一次波場(chǎng)的往返，而單程波疊前深度偏移并沒(méi)有考慮到這種往返，還是按照單程波場(chǎng)延拓的方式來(lái)延拓波場(chǎng)，在比實(shí)際反射層更深的地層處相關(guān)成像，產(chǎn)生偏移假象或噪音；第三部分Ⅴ是不能夠產(chǎn)生成像值的，以UMN·U＊MN為例，因?yàn)橄滦胁▓?chǎng)UMN的正向延拓意味著波前面時(shí)間在變長(zhǎng)，而上行波場(chǎng)UMN的反向延拓意味著波前面時(shí)間在變小，兩者隨著波場(chǎng)延拓是不可能相遇并相關(guān)成像的，由于沒(méi)有偏移噪音產(chǎn)生，這部分對(duì)偏移成像影響不大.

4 最小二范式一次波與多次波成像匹配疊加

對(duì)于構(gòu)造成像來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是最大限度的利用地

下信息來(lái)獲取真實(shí)構(gòu)造特征.廣義一次波與多次波聯(lián)合成像方法（郭書(shū)娟等，2011）將同時(shí)含有表層多次波的炮記錄與脈沖震源之和作為下行延拓波場(chǎng)，但是，脈沖震源的能量與炮記錄存在能量差，如果脈沖震源能量太強(qiáng)，聯(lián)合成像結(jié)果主要表現(xiàn)為一次波對(duì)成像的貢獻(xiàn)；如果脈沖震源能量太弱，那么聯(lián)合成像的結(jié)果主要表現(xiàn)為多次波對(duì)成像的貢獻(xiàn)，需要權(quán)衡脈沖子波的能量是該方法的一個(gè)缺陷.本節(jié)采取的思路是先分別得到一次波成像結(jié)果Io（x，z）與多次波成像結(jié)果Im（x，z），然后再基于最小二乘能量匹配原則，求取匹配因子，進(jìn)行匹配疊加，一次波與多次波成像結(jié)果的優(yōu)勢(shì)得到互補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合成像.這樣做既利用多次波成像結(jié)果補(bǔ)充了一次波對(duì)一些構(gòu)造照明的不足，又避免了廣義一次波多次波聯(lián)合成像方法中震源子波在輸入波場(chǎng)中能量難以確定的缺點(diǎn).最小誤差能量匹配疊加的關(guān)鍵因素在于匹配因子的求取，本文采取基于最小二范式的匹配濾波方法來(lái)求取匹配因子，使得多次波成像結(jié)果與一次波成像結(jié)果數(shù)量級(jí)一致，聯(lián)合成像結(jié)果Iom（x，z）可以表示為

其中，a（x，n）是匹配因子，N是信號(hào)的長(zhǎng)度，匹配因子由式（7）的Toeplitz矩陣決定，可以通過(guò)Levinson快速遞推算法求解為

其中，K是匹配因子的長(zhǎng)度，K＜N.ψmm（x，z）是多次波成像結(jié)果Im（x，z）的自相關(guān)，ψo(hù)m（x，z）是一次波成像結(jié)果與多次波成像結(jié)果的互相關(guān)，公式為

5 模型試算

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，本文首先對(duì)三層模型進(jìn)行了基于波動(dòng)方程的一次波疊前深度偏移試處理和多次波成像，最后對(duì)Sigsbee2b模型進(jìn)行了一次波與多次波聯(lián)合成像試處理，取得了一定的效果.

5.1 三層簡(jiǎn)單模型試算

該三層模型的速度場(chǎng)如圖3a所示，第一層、第二層和第三層速度分別是1500m·s-1、2500m·s-1和3500m·s-1.圖2是正演模擬單炮記錄，中間放炮，151道接收，道間距20m，記錄時(shí)間3s，采樣率4ms.其中圖2a是含有多次波的單炮記錄，D1是直達(dá)波，R1和R2分別是第一層和第二層的一次反射波，能量較弱的I1反射同相軸是第一層與第二層間的一階層間多次波，M11和M21分別是第一層界面和第二層界面對(duì)應(yīng)的地表相關(guān)一階多次波，P1是微屈多次波，M11和M21分別是第一層界面和第二層界面對(duì)應(yīng)的地表相關(guān)二階多次波.去除出多次波后得到包含直達(dá)波的一次反射波記錄如圖2b所示，預(yù)測(cè)出的地表相關(guān)多次波如圖2c所示.

圖3b是應(yīng)用去除多次波后的記錄（圖2b）做的單程波疊前深度偏移，第一反射層界面L1與第二個(gè)反射層界面L2都得到了正確的成像，而且偏移噪音很小.應(yīng)用包含多次波炮集數(shù)據(jù)進(jìn)行單程波疊前深度偏移的結(jié)果如圖3c所示，雖然可以正確成像L1與L2層界面，但是，由于多次波的存在產(chǎn)生了嚴(yán)重的偏移假象，其中，I是由震源子波延拓的下行波場(chǎng)與層間多次波延拓的上行波場(chǎng)I1產(chǎn)生的偏移假象；M1與M2分別是震源延拓的下行波場(chǎng)與第一層界面和第二層界面對(duì)應(yīng)的地表相關(guān)一階多次波M11和M12延拓的上行波場(chǎng)產(chǎn)生的偏移假象.圖3d是應(yīng)用本文方法得到的多次波成像結(jié)果，其中，N1是層間多次波I1與第一個(gè)反射層的一階地表相關(guān)多次波M11得到的偏移假象；N2是第二層的反射波R2與第一反射層的一階地表相關(guān)多次波M11得到的偏移假象；L1是實(shí)際反射層的成像，它的成像貢獻(xiàn)來(lái)自多個(gè)上、下行延拓波場(chǎng)的相關(guān)疊加，包括第一層的反射波R1與第一層的一階地表相關(guān)多次波M11的相關(guān)成像、第二層的反射波R2與第二層的一階地表相關(guān)多次波M21的相關(guān)成像、第一層的一階地表相關(guān)多次波與第一層的二階地表相關(guān)多次波的相關(guān)成像、第二層的一階地表相關(guān)多次波與第二層的二階地表相關(guān)多次波的相關(guān)成像等，也就是式（5）中的第Ⅲ部分.類似地，L2層的成像由第二層的一次反射R2與第二層的一階多次波、第二層的一階多次波與第二層的二階多次波等相關(guān)成像得到，這就是為什么多次波相對(duì)于一次波具有很廣照明范圍的原因，明顯的表現(xiàn)就是圖3d中L1層成像范圍大廣于一次波對(duì)L1層成像（圖3c）的原因.N3、N4和N5都是偏移假象，如式（5）中的第Ⅳ部分所示.

圖2 三層模型正演記錄（a）包含多次波的單炮記錄；（b）一次波記錄；（c）多次波記錄.Fig.2 Forward shot gathers of a three-Layer velocity model（a）Single shot gather with multiples；（b）Primaries；（c）Multiples.

圖3 簡(jiǎn)單模型和偏移結(jié)果（a）簡(jiǎn)單模型速度場(chǎng)；（b）一次波疊前深度偏移；（c）包含多次波的記錄疊前深度偏移；（d）多次波成像.Fig.3 Simple velocity model and migration（a）Simple velocity model；（b）Migration of primaries；（c）Migration with records including primaries and multiples；（d）Imaging with multiples.

圖4 Sigsbee2B模型速度場(chǎng)與單炮記錄（a）速度-深度模型；（b）包含多次波的單炮記錄；（c）去除地表相關(guān)多次波后的單炮記錄；（d）地表相關(guān)多次波.Fig.4 Sigsbee2Bvelocity model and single shot record（a）Velocity-depth model；（b）Single shot record including multiples；（c）Single shot record after multiples elimination；（d）Surface-related multiples.

圖5 Sigsbee2B模型疊前深度偏移結(jié)果（a）一次波疊前深度偏移；（b）多次波疊前深度偏移；（c）一次波與多次波成像結(jié)果匹配疊加.Fig.5 Pre-stack depth migration results of Sigsbee2Bmodel（a）Pre-stack depth migration with primaries；（b）Pre-stack depth migration with multiples；（c）Matched stack of pre-stack depth migration of primaries and multiples.

圖6 匹配濾波因子Fig.6 Filter operator for matching

圖7 Sigsbee2B模型鹽丘邊界處疊前深度偏移（a）速度模型；（b）一次波疊前深度偏移；（c）多次波疊前深度偏移；（d）一次波與多次波成像結(jié)果匹配疊加.Fig.7 Salt boundary pre-stack depth migration of Sigsbee2Bmodel（a）Velocity model；（b）Pre-stack depth migration of primaries；（c）Pre-stack depth migration of multiples；（d）Matched stack of pre-stack depth migration of primaries and multiples.

5.2 Sigsbee2B模型試算

為了測(cè)試本方法對(duì)復(fù)雜模型的適用性，下面對(duì)國(guó)際上通用的多次波數(shù)據(jù)處理測(cè)試模型，Sigsbee2B進(jìn)行試算.該模型的主要特點(diǎn)是存在起伏的海底和高陡鹽丘構(gòu)造（圖4a），圖4b是含有多次波的記錄，圖4c是不含有地表相關(guān)多次波的記錄，圖4d是地表相關(guān)多次波記錄，共3495炮，每炮348道，記錄長(zhǎng)度12s.圖5a是對(duì)炮集數(shù)據(jù)基于單程波偏移算子傳統(tǒng)疊前深度偏移結(jié)果，整體構(gòu)造得到了較好的成像，但是在鹽下及鹽丘邊界處由于初至反射波照明不足以及鹽丘的遮擋屏蔽作用，使得成像質(zhì)量差，成像能量弱.圖5b是基于本文的方法得到的多次波成像結(jié)果，由于地表相關(guān)多次波主要發(fā)育在具有強(qiáng)速度差的地方，也就是鹽丘構(gòu)造存在的地方，所以多次波成像的主要貢獻(xiàn)就是在鹽丘邊界處，多次波成像使得鹽丘邊界得到了較好的刻畫(huà).對(duì)于不存在鹽丘的地方（圖4a左邊部分），不存在強(qiáng)速度差，地表相關(guān)多次波不發(fā)育，所以多次波成像能量非常弱（圖5b左邊部分），這也說(shuō)明了只有在多次波發(fā)育的地方，多次波對(duì)構(gòu)造成像的貢獻(xiàn)才比較大.為了利用多次波對(duì)鹽下構(gòu)造成像的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)匹配疊加的方式，進(jìn)行一次波與多次波聯(lián)合成像.圖6是該匹配濾波因子，匹配因子的長(zhǎng)度是49，匹配疊加后的結(jié)果如圖5c所示.圖7b、圖7c和圖7d分別是傳統(tǒng)單程波偏移、多次波成像和聯(lián)合成像結(jié)果在鹽下高陡構(gòu)造處的局部放大，箭頭所指地方結(jié)果多次波成像后得到了明顯改善和提高.

6 結(jié)論

基于單程波偏移算子的疊前深度偏移方法可以適應(yīng)速度場(chǎng)強(qiáng)橫向變化的同時(shí)具有較高的計(jì)算效率，本文對(duì)多次波在疊前深度偏移中的影響做了詳細(xì)的分析，修改了單程波疊前深度偏移的初始條件，地震記錄替代震源子波，預(yù)測(cè)得到的地表相關(guān)多次作為上行波場(chǎng)而實(shí)現(xiàn)了基于單程波偏移算子的地表相關(guān)多次波成像，發(fā)揮了多次波能夠?qū)Φ叵聵?gòu)造多次照明的優(yōu)勢(shì).使用了基于最小二范式一次波與多次波成像匹配疊加的方法，使得多次波的成像結(jié)果較好的彌補(bǔ)一次波成像的不足，尤其是高陡鹽下構(gòu)造邊界這些一次波照明不足的地方成像效果得到了顯著的改善.該項(xiàng)技術(shù)研究使我們意識(shí)到多次波這類“噪音”也是攜帶地下構(gòu)造信息的信號(hào)，地球物理工作者可充分發(fā)揮其對(duì)地下構(gòu)造多次照明的優(yōu)勢(shì)，最大限度的提取地下信息.

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