用于光刻系統(tǒng)仿真的多邊形處理算法*

呂 楠， 史 崢， 羅凱升， 耿 臻

(浙江大學(xué) 超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)研究所，浙江 杭州 310027)

0 引 言

近幾年間，半導(dǎo)體主流制造技術(shù)從90，65 nm轉(zhuǎn)移到40，28 nm及以下，這意味著更小的特征尺寸(critical dimension,CD)需要更先進(jìn)的制造工藝和更精確的制造流程，因此，要盡一切可能減少誤差和制造成本。

當(dāng)集成電路制造工藝在0.18μm以下時，其特征尺寸也相應(yīng)地隨之減小。由于此時用于光刻的光源波長為193nm，會產(chǎn)生干涉、衍射等現(xiàn)象，使得光刻圖形質(zhì)量產(chǎn)生嚴(yán)重下降，與掩模圖形存在較大誤差，比如出現(xiàn)拐角圓化、線端縮短等現(xiàn)象，將其稱為光學(xué)鄰近效應(yīng)(optical proximity effect,OPE)。最終導(dǎo)致的后果是使芯片性能得不到保證，并影響產(chǎn)品的成品率。為此，業(yè)內(nèi)提出了若干改進(jìn)分辨率的方法，即所謂的分辨率增強(qiáng)技術(shù)[1](resolution enhancement technique,RET)，比如應(yīng)用掩模補(bǔ)償技術(shù)，其中一種為相移掩模[2,3](phase-shift mask,PSM)，即在原有掩?；A(chǔ)上添加一層相位轉(zhuǎn)移模。其他重要的技術(shù)還有光學(xué)鄰近校正(optical proximity correction,OPC)技術(shù)、離軸照明(off axis illumination,OAI)技術(shù)[4]、反向光刻技術(shù)[5](inverse lithography technology,ILT)等。上述技術(shù)的使用，能夠使芯片減小由光學(xué)鄰近效應(yīng)造成的影響，達(dá)到縮小尺寸，提高成品率的目的[6]。

目前應(yīng)用最廣的分辨率增強(qiáng)技術(shù)為OPC技術(shù)[7]，其主要原理是對掩模圖形進(jìn)行修正進(jìn)而達(dá)到補(bǔ)償由于衍射等其他光學(xué)因素帶來失真的目的。在同樣的制造環(huán)境下，通過OPC技術(shù)，可以使光刻機(jī)制造出擁有更小特征尺寸的集成電路芯片。為更好地估算出晶圓上的圖形，并為后續(xù)OPC技術(shù)的介入做鋪墊，光刻仿真[8]顯得尤為重要。精準(zhǔn)的光刻成像模型是OPC技術(shù)實(shí)施的先決條件[9]。隨著集成電路規(guī)模的逐漸擴(kuò)大，僅一層版圖的數(shù)據(jù)量已達(dá)千兆字節(jié)以上。此時，光刻成像模型的計(jì)算效率也就相應(yīng)地成為了重要因素之一。20世紀(jì)30～50年代，Van Cittert,Zernike和Hopkins等人在傅里葉分析基礎(chǔ)上創(chuàng)立了光學(xué)部分相干理論，來定量地描述準(zhǔn)單色部分相干場的傳播和成像。由于可應(yīng)用快速傅里葉變換(FFT)算法進(jìn)行高效求解，所以，在此基礎(chǔ)上建立的光刻模型也會有較高的計(jì)算效率[10]。

在部分相干理論中，主要的理論基礎(chǔ)為Hopkins方程，本文即是在Hopkins方程基礎(chǔ)上對光刻成像的仿真，并提出二種多邊形拆分算法，提高運(yùn)算效率。

1 光刻成像理論

光刻成像模擬問題實(shí)際是部分相干光在帶有像差的孔徑系統(tǒng)中的投影成像問題。圖1勾畫出了光刻系統(tǒng)的各個組成部分。首先，照明系統(tǒng)由光源與會聚透鏡組構(gòu)成，而照明系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中均使用科勒照明[11]的方式，即將光源放置在會聚透鏡組的前焦面上，光源發(fā)出的光經(jīng)由會聚透鏡組變成平面波并到達(dá)掩模，所帶來的好處是得到了掩模上照度的一致性。在通過掩模后平面波攜帶了掩模的調(diào)制信息，再經(jīng)投射透鏡組，將掩模上的版圖信息最終成像在晶圓上。

圖1 部分相干光成像示意圖

光學(xué)成像系統(tǒng)的輸入、輸出分別為：

1)輸入：掩模上的集成電路版圖；

2)輸出：晶圓表面的圖形。

圖2表示了光學(xué)成像系統(tǒng)的輸入—輸出圖。

圖2 成像系統(tǒng)流程圖

為獲取在給定光學(xué)參數(shù)下，掩模的光學(xué)成像結(jié)果可以利用部分相干光的Hopkins公式計(jì)算得出。具體公式為[12]

(1)

I(x,y)=F-1{I(f,g)}.

(2)

式(1)是在頻域上表示的Hopkins公式，式(2)是對式(1)進(jìn)行二維傅里葉反變換，得到空間域的光強(qiáng)信息。F(f,g)為掩模透射函數(shù)F(x,y)的二維傅里葉變換；T(f′,g′,f′,g′)為光學(xué)成像系統(tǒng)的透射交叉系數(shù)(transmission cross coefficient,TCC)，它是一個四維函數(shù)，與掩模形狀完全不相關(guān)的。TCC描述了從光源到像平面中包括照明、成像系統(tǒng)在內(nèi)的整個光學(xué)系統(tǒng)的作用。對同一個光學(xué)系統(tǒng)而言，TCC僅需計(jì)算一次即可，因此，進(jìn)行光學(xué)成像時可對不同的掩模重復(fù)使用。其具體表達(dá)式為[13]

(3)

其中，J(f,g)為成像光源的互強(qiáng)度函數(shù)；K(f,g)為成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，又稱光瞳函數(shù)，一般為圓形孔徑，K*為K的共軛函數(shù)。當(dāng)光源為科勒光源時，J(f,g)為常數(shù)，其半徑大小與部分相干系數(shù)σ有關(guān)，具體表達(dá)式如下

(4)

(5)

其中,σ的取值范圍在[0，1]之間，當(dāng)σ=0時,為完全相干成像;當(dāng)σ=1時,為完全不相干成像。λ為入射光的波長，NA稱為數(shù)值孔徑，M為放大系數(shù)。

從式(4)、式(5)可以得出，互強(qiáng)度函數(shù)J(f,g)在頻域上是一個圓，其圓心為(0，0)，半徑為σ×NA/λ；頻率響應(yīng)函數(shù)K(f,g)與其共軛函數(shù)K*(f,g)分別是以(f′,g′)和(f″,g″)為圓心，以NA/(λM)為半徑的2個圓。

J,K(f,g)與K*(f,g)三者具體關(guān)系由圖3所示，當(dāng)計(jì)算每一個TCC的值時即轉(zhuǎn)換為計(jì)算圖中3個圓相交區(qū)域的面積積分問題。

圖3 TCC矩陣示意圖

2 光刻仿真系統(tǒng)

光學(xué)仿真系統(tǒng)主要分為兩部分:一部分為表示光學(xué)成像系統(tǒng)特性的TCC矩陣，衡量其的主要參數(shù)也是輸入?yún)?shù)為光源波長λ，部分相干系數(shù)σ，和放大系數(shù)M。通過上節(jié)所描述的公式即可計(jì)算出TCC矩陣；另一部分就是對空間點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算，可由TCC矩陣與版圖進(jìn)行傅里葉變換后的結(jié)果進(jìn)行卷積，得到頻域上的光強(qiáng)信息，最后進(jìn)行傅里葉反變換得到空間域上的光強(qiáng)值[14～16]。由此獲得指定區(qū)域內(nèi)采樣點(diǎn)的光強(qiáng)值，光刻仿真的具體流程如圖4所示。

圖4 光學(xué)成像仿真流程

所以，在一塊掩模圖形中，應(yīng)先選取一塊用于計(jì)算空間點(diǎn)光強(qiáng)的區(qū)域，通常截取的區(qū)域形狀為矩形，該區(qū)域內(nèi)的圖形對中心點(diǎn)的光強(qiáng)均有影響，設(shè)該圖形的透射率為1，矩形其他區(qū)域的透射率為0。在選取的矩形區(qū)域中，會包含多個復(fù)雜多邊形，如對整體進(jìn)行傅里葉變換，運(yùn)算難度大，運(yùn)行時間長，不利于大型版圖的處理，對今后的集成電路制造產(chǎn)生了極大的阻礙作用。

3 多邊形切分算法

為提高運(yùn)算效率，降低運(yùn)算復(fù)雜度，提出了二種多邊形切分算法。

具體算法如下：任意多邊形均可表示為若干有限單元圖形的組合。由于卷積運(yùn)算具有分配律的特性，所以,先對整個掩模圖形進(jìn)行傅里葉變換，再與TCC矩陣進(jìn)行卷積，將版圖圖形拆分成若干單元分別與TCC矩陣卷積再求和得到的結(jié)果是相同的。

基于掩模圖形自身的特性，任意形狀的掩模圖形均可用矩形和帶45°角的三角形進(jìn)行加減得到，且頂點(diǎn)數(shù)與組合圖形的個數(shù)一致，這就給計(jì)算掩模圖形傅里葉變換時提供了便利，大大降低了運(yùn)算難度。

算法1：如圖5所示，在圖中標(biāo)識了截取的一矩形版圖區(qū)域，其中包含了多邊形的幾何信息，陰影區(qū)域?yàn)閱卧獔D形，在此為矩形。以多邊形頂點(diǎn)數(shù)為處理對象，并以順時針方向依次處理多邊形各頂點(diǎn)，且以左上角頂點(diǎn)為起始點(diǎn)，以當(dāng)前頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別向水平、豎直方向作垂線，得到一矩形區(qū)域，對此區(qū)域進(jìn)行傅里葉變換。以第一點(diǎn)為例，分別向水平、豎直方向作垂線相交于矩形區(qū)域邊緣，得到圖5中第一個陰影區(qū)域，但該區(qū)域并不在版圖圖形內(nèi)部，所以,透射率為-1，即在圖中用(-)號表示。同樣地，當(dāng)處理第二點(diǎn)時，因?yàn)榈玫降年幱皡^(qū)域中有版圖圖形的有用信息，所以，透射率為1，用(+)號表示。后面各點(diǎn)以此類推，透射率呈正負(fù)交替。圖形有6個頂點(diǎn)，所以，一共分解為6個矩形區(qū)域，分別于上節(jié)提到的TCC矩陣進(jìn)行卷積求和，最終可得到版圖的光強(qiáng)信息。

圖5 復(fù)雜圖形拆分為基本圖形示意圖1

算法2:如圖6所示，即同樣以順時針方向進(jìn)行遍歷多邊形頂點(diǎn)，但與算法1不同的是，以相鄰兩點(diǎn)坐標(biāo)連成的線段為邊，作為分析對象，向下作垂線至與矩形區(qū)域相交為止。若與圖形運(yùn)行軌跡方向一致，則向下作垂線得到的陰影區(qū)域始終在線段的右側(cè)，包含了部分多邊形區(qū)域，所以，將透射率設(shè)為1，即在圖中用(+)號表示；若陰影區(qū)域在線段的左側(cè)，不包含多邊形區(qū)域，則透射率設(shè)為-1，在圖中用(-)號表示。圖6中的多邊形一共有3條非豎直的邊，所以，可將其分解為3個陰影區(qū)域，同樣地，每個陰影區(qū)域與TCC卷積再求和從而可得到完整的版圖光強(qiáng)信息。

算法2較之算法1來說，在基本單元數(shù)量上變得更為精簡，使運(yùn)算時間進(jìn)一步縮短，且可對具有斜邊的更為復(fù)雜圖形進(jìn)行處理，在計(jì)算時間和計(jì)算復(fù)雜度上均得到了保證。

圖6 復(fù)雜圖形拆分為基本圖形示意圖2

4 仿真結(jié)果

表1是對1 μm×1 μm到5 μm×5 μm的90 nm工藝版圖進(jìn)行多次仿真得到的結(jié)果。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

由表1可知，算法1與算法2對版圖尺寸適應(yīng)性很強(qiáng)，且對同一版圖，算法2較之算法1用時更少。

圖7(a)是采用算法1所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，所用版圖大小為3 μm×3 μm；而圖7(b)則是采用算法2得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其版圖尺寸同樣為3 μm×3 μm。

圖8(a),(b)分別是原始版圖與仿真結(jié)果的對照，同樣為90 nm工藝，從圖中可看出:仿真結(jié)果的輪廓線與原始版圖相比，誤差較小，仿真效果良好。

圖8 原始版圖與仿真結(jié)果

上述實(shí)驗(yàn)均是在波長為193 nm，數(shù)值孔徑NA為0.7，部分相干系數(shù)σ為0.5，計(jì)算機(jī)環(huán)境為單核處理器，主頻為2.1 GHz的條件下進(jìn)行。

5 結(jié) 論

本文提出的多邊形處理算法，在對版圖進(jìn)行精確仿真基礎(chǔ)上，提高了光刻仿真的效率，縮短了仿真時間，為后續(xù)傳感器芯片的版圖修改工作提供了便利，保證了傳感器系統(tǒng)芯片的穩(wěn)定性。并可在此基礎(chǔ)上，添加離焦(defocus)、光源形狀等數(shù)據(jù)參數(shù)，模擬更為先進(jìn)工藝的光刻系統(tǒng)。

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