基于雙圓弧曲線優(yōu)化的玻璃切割系統(tǒng)

何發(fā)富，張李超

（華中科技大學(xué) 材料成形與模具技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074）

1 動(dòng)機(jī)與雙圓弧的定義

1.1 曲線擬合在加工中的重要性

伺服電機(jī)與驅(qū)動(dòng)器組成的半閉環(huán)控制系統(tǒng)，應(yīng)用極其廣泛。由于該半閉環(huán)控制系統(tǒng)不完全反饋功能會(huì)導(dǎo)致加工輪廓局部失真[1]。為滿足加工精度要求，必然要設(shè)置額定加工速度、加速度等加工參數(shù)來限定加工。傳統(tǒng)數(shù)控加工系統(tǒng)采用直線段逼近曲線會(huì)造成輪廓曲線的不連續(xù)和波動(dòng)[1]，輪廓的局部曲率過大也會(huì)導(dǎo)致機(jī)床抖動(dòng)加劇、加工誤差增大等現(xiàn)象發(fā)生。因此二維輪廓的平滑處理可以提高加工質(zhì)量以及增加機(jī)床設(shè)備工作的平穩(wěn)性。一些研究者基于尖點(diǎn)、切點(diǎn)、敏感點(diǎn)及可擬合點(diǎn)對(duì)曲線進(jìn)行分段處理，重構(gòu)優(yōu)化加工輪廓以消除敏感點(diǎn)對(duì)加工質(zhì)量的負(fù)面影響[2]。從實(shí)際應(yīng)用方面來看，G1曲線的路徑可以降低刀具的過切情況、降低高速加工中機(jī)床震動(dòng)及提高產(chǎn)品成形表面質(zhì)量[3]。本文對(duì)分段后的輪廓進(jìn)行雙圓弧曲線擬合，保證曲線的G1連續(xù)性及控制曲線的局部曲率。改善高速加工中不平穩(wěn)的問題，并滿足曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的要求。

分段圓弧樣條曲線[4]是工程應(yīng)用的常規(guī)方法。本文的目的是使用一系列的圓弧曲線來插補(bǔ)輪廓，并保證圓弧曲線位于指定的容差帶內(nèi)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)：易保證曲線一階連續(xù)、降低原始輪廓微小波動(dòng)產(chǎn)生的干擾、減少原始輪廓數(shù)據(jù)量。根據(jù)雙圓弧公共點(diǎn)相切的特性，指定曲線通過的節(jié)點(diǎn)的切線方向，即可保證擬合的雙圓弧曲線一階連續(xù)；當(dāng)原始輪廓波動(dòng)的振幅小于容差帶的允許誤差時(shí)，干擾波動(dòng)可以被消除；可以使用較少的雙圓弧曲線擬合輪廓，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮。

1.2 雙圓弧曲線的構(gòu)造

根據(jù)Bolton[5]的定義，雙圓弧是一對(duì)首尾相連并且連接點(diǎn)切線方向相同的圓弧。楊旭靜[6]對(duì)它的幾何計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)。如圖1，平面上任意兩點(diǎn)Ps和Pe以及過這兩點(diǎn)的單位矢量Ts和Te，存在多條首尾分別過Ps和Pe兩點(diǎn)且首尾端單位切矢分別為Ts和Te的雙圓弧，這些雙圓弧形成一個(gè)雙圓弧族。圖1所示為雙圓弧族中的一個(gè)雙圓弧，Pc為連接點(diǎn)，V為Ps到 Pe的向量，θ1、θ2分別為 V 到 Ts、Te的夾角（順時(shí)針方向?yàn)檎粗疄樨?fù)），ω1為Ts到PsPc的夾角，ω2為 PcP2到 PcPe的夾角，l=||PsPe||，ρ=||P1Pc||。設(shè) k=||P1Pc||/||P1P2||為 Pc分割 P1P2的比例參數(shù)（0

設(shè) ns=PsO1、ne=PeO2，圓心可表示為：

圖1 雙圓弧幾何模型

給定參數(shù)條件k，利用上述方程便可以確定雙圓弧方程及相關(guān)的幾何數(shù)據(jù)信息，楊旭靜[6]已經(jīng)證明參數(shù)條件k與圓弧曲線的曲率是單調(diào)關(guān)系。那可通過k的取值方法不同，找出符合使用者自定義的最優(yōu)條件的雙圓弧。

根據(jù)行業(yè)習(xí)慣，如果θ1、θ2的符號(hào)相同，構(gòu)造曲線為S型雙圓弧，反之構(gòu)造C型雙圓弧。

1.3 雙圓弧擬合算法的發(fā)展

基于容差帶擬合雙圓弧曲線，容差帶直接決定了曲線的擬合精度及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。M.Held[7]提出基于輪廓生成的四邊形、扇形、扇盤形組成的k-dops的容差帶算法，它維持曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)穩(wěn)定。為消除在輪廓“瓶頸”處容差帶重疊可能會(huì)導(dǎo)致曲線自交現(xiàn)象，需要對(duì)重疊的k-dops進(jìn)行緊縮處理，這一處理導(dǎo)致容差帶過渡緊縮及算法性能問題。后來M.Held[8]再提出基于V圖的生成方法計(jì)算非對(duì)稱的容差帶，這雖然保證了生成的曲線不會(huì)發(fā)生自相交的情況及在輪廓“瓶頸”處容差帶過渡緊縮現(xiàn)象，但生成V圖復(fù)雜性[9]使它不適用于大數(shù)據(jù)量處理及實(shí)時(shí)性要求較高的系統(tǒng)；楊旭靜提出基于曲線偏置的局部實(shí)時(shí)容差帶，但曲線的偏置本身就是一個(gè)復(fù)雜的過程，加之檢測(cè)曲線與曲線的位置關(guān)系的復(fù)雜性使它存在計(jì)算復(fù)雜的缺點(diǎn)。本文提出一種快速生成非勻稱的容差帶算法，使輪廓擬合的切線連續(xù)雙圓弧曲線位于容差帶內(nèi)，并對(duì)容差帶進(jìn)行優(yōu)化處理，解決容差帶過渡緊縮及曲線自相交擬合錯(cuò)誤的問題。

2 雙圓弧擬合算法的實(shí)現(xiàn)

2.1 非勻稱容差帶的定義

對(duì)給定的平面輪廓（平面多邊形或折線）P，根據(jù)M.Held的定義[7]，包含P的區(qū)域C，如果其邊緣到P的單向 Hausdorff距離 h（p，C）p∈P等于常數(shù) ε，稱 C為P的容差帶，ε為P的容差帶容差。對(duì)于折線，其容差帶需要去掉首尾端的半圓形區(qū)域。如果一個(gè)包含P的條形區(qū)域C，其邊緣到P的單向Hausdorff距離 h（p，C）p∈P小于等于常數(shù) ε2大于等于常數(shù) ε1，稱區(qū)域 C 為 P 的非勻稱容差帶，區(qū)間（ε1，ε2）為 P 的非勻稱容差帶容差，圖2b為圖2a對(duì)應(yīng)的非勻稱容差帶。

圖2 輪廓P容差帶

容差帶的邊緣輪廓由線段和相對(duì)較小的圓弧組成，圓弧的數(shù)量與線段的數(shù)量一致。對(duì)計(jì)算機(jī)來說，圓弧的處理復(fù)雜程度是線段的幾倍甚至上百倍，這將消耗很多的計(jì)算機(jī)資源。本文提出了一種解決方法。稱去掉小圓弧的容差帶為準(zhǔn)容差帶，相應(yīng)的，稱去掉小圓弧的非勻稱容差帶為準(zhǔn)非勻稱容差帶，圖2a對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)非勻稱容差帶如圖2c。大量的實(shí)際結(jié)果表明，準(zhǔn)容差帶與容差帶對(duì)雙圓弧曲線的約束效果一致，因此在下文將使用準(zhǔn)容差帶來代替容差帶。

定義1：線段端點(diǎn)沿線段法向的偏移距離為線段的端點(diǎn)容差距離εe，線段端點(diǎn)沿端點(diǎn)切線法向上的偏移距離為線段端點(diǎn)法向容差距離εv。輪廓P一般容差帶的線段端點(diǎn)容差距離εe等于容差ε，非均勻容差帶的線段端點(diǎn)容差距離εe與容差區(qū)間（ε1，ε2）滿足關(guān)系式：ε1≤εe≤ε2。

2.2 非均勻準(zhǔn)容差帶的生成

基于李敏[2]對(duì)多邊形或折線輪廓的預(yù)處理方法，將輪廓分割為多段可擬合的輪廓段。一段可擬合的輪廓段P，其離散點(diǎn)Pi（i=1，2，…，n），設(shè)P的一般容差帶容差為ε，非均勻容差帶的容差ε1=0.5ε、ε2=ε，其非均勻準(zhǔn)容差帶的計(jì)算方法如下：

（1）計(jì)算節(jié)點(diǎn)Pi的切矢Ti（1≤i≤n）。非封閉的輪廓端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)切矢使用G.H.Liu[10]的方法構(gòu)造。取端點(diǎn)及相鄰點(diǎn) P1、P2、P3，令 A=P2-P1，B=P1-P2，C=A×B，那么 P1的單位切矢T1=D×C/‖D×C‖，其中 D=（‖A‖2（B×C）+‖B‖2（C×A））/2‖C‖2，非端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)使用平行向量法[11]求其單位切矢；

（2）如圖3，預(yù)測(cè)相鄰節(jié)PiPi+1生成雙圓弧的形狀，確定線段PiPi+1的非均勻容差帶的容差帶。已知節(jié)點(diǎn) Pi、Pi+1及曲線切矢 Ti、Ti+1，可預(yù)測(cè)雙圓弧曲線類型。如果為C型雙圓弧曲線，則緊縮曲線凹側(cè)的端點(diǎn)容差距離，如緊縮后的端點(diǎn)容差距離為ε1，凸側(cè)端點(diǎn)容差距離不變。如果為S型雙圓弧曲線，則根據(jù)切矢與線段的夾角比例系數(shù) k（k=min（|θ1/θ2|，|θ2/θ1|），0

（3）整合所有輪廓線段的容差帶，得到最終的容差帶。對(duì)于節(jié)點(diǎn)Pi（i=2，3，…，n），其非均勻端點(diǎn)法向容差距離分別在線段Pi-1Pi和線段PiPi+1的容差帶中計(jì)算了兩次，由于兩次計(jì)算的值不可能完全一致，這必然導(dǎo)致線段Pi-1Pi和線段PiPi+1的容差帶在節(jié)點(diǎn)Pi處出現(xiàn)斷裂。為了消除這種斷裂現(xiàn)象，本文將取端點(diǎn)法向容差距離較大的值來重新計(jì)算容差帶的坐標(biāo)，得到輪廓的一個(gè)連續(xù)非均勻容差帶。

圖3 節(jié)點(diǎn)Pi、Pi+1的生成的容差帶d1=ε1<ε2=d2，（ε1，ε2） 為輪廓 P 的非勻稱容差帶容差區(qū)間

2.3 雙圓弧曲線擬合

可擬合的輪廓P，其離散點(diǎn)Pi（i=1，2，…,，n）。取P0Pn進(jìn)行擬合，如果擬合的雙圓弧曲線包含于輪廓P的容差帶，擬合結(jié)束，否則將對(duì)P0P（n/2）和 P（n/2）Pn進(jìn)行擬合，直到擬合成功。如果這個(gè)過程中存在某兩相鄰節(jié)點(diǎn)PiPi+1（1≤i

圖4 容差帶的整合，取節(jié)點(diǎn)處εv較大的值作為目標(biāo)距離。

2.4 容差帶的優(yōu)化

如圖5所示，輪廓存在一些所謂“瓶頸”的現(xiàn)象，“瓶頸”處的容差帶出現(xiàn)重合，在曲線擬合時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)曲線自交現(xiàn)象，改變輪廓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這在工程中是致命的錯(cuò)誤，這直接使加工件報(bào)廢甚至?xí)p壞機(jī)床。為了避免這輪廓“瓶頸”處的擬合錯(cuò)誤，本文將提出一種有效的解決方法。

圖5 容差帶去重疊-擬合曲線與原始輪廓拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致

曲線自交的必要條件是容差帶的重疊，那么解決曲線自交的有效辦法就是消除容差帶的重疊現(xiàn)象，也即是對(duì)容差帶進(jìn)行去重疊化處理。簡(jiǎn)單而有效的方法就是把重疊區(qū)域從中間分割，這樣容差帶永遠(yuǎn)只可能相接而不會(huì)重合，根據(jù)擬合中曲線必須在容差帶內(nèi)的這一條件，保證了擬合后的曲線不會(huì)發(fā)生自相交的情況。如圖6a是去容差帶去重疊化后的擬合結(jié)果。

3 在玻璃切割系統(tǒng)中的應(yīng)用

本文提出的基于輪廓非均勻容差帶的雙圓弧擬合算法，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)并集成到玻璃切割系統(tǒng)的二維輪廓優(yōu)化處理模塊中，在南京燁拓自動(dòng)化設(shè)備有限公司的自動(dòng)化球面玻璃切割設(shè)備中成功應(yīng)用。使設(shè)備的加工速度由原來的6.5m/min提高到10m/min，加工面的粗糙度也明顯得到改善。

圖6 容差帶去重疊-擬合曲線與原始輪廓拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致

3.1 玻璃切割設(shè)備及加工輪廓要求

由于水刀玻璃切割適合厚板慢速切割[12]，常規(guī)玻璃都采用金剛石刀頭進(jìn)行切割。由于玻璃易碎、硬度高等特性，決定了其加工過程中不能有太大的震動(dòng)，否則刀具容易被損壞，同時(shí)加工面將很粗糙甚至產(chǎn)品報(bào)廢；再者，刀具與毛坯表面的接觸力要均勻且適中，接觸力過小會(huì)導(dǎo)致割痕淺，以至后續(xù)加工失敗，接觸力過大產(chǎn)生的深割痕難以在后續(xù)加工中去除，影響加工質(zhì)量。由此，為減小報(bào)廢率，玻璃切割設(shè)備必須運(yùn)行平穩(wěn)，切割輪廓路徑需平滑。

為了達(dá)到輪廓平滑的要求及設(shè)計(jì)方便，玻璃切割輪廓一般由直線、圓弧及Nurbs樣條曲線組成。在玻璃切割領(lǐng)域，輪廓基本是根據(jù)需要反求而來，這個(gè)過程容易導(dǎo)致輪廓在曲線與曲線的連接處切線微小的不連續(xù)，極大的限制了加工速度及加劇了機(jī)床的震動(dòng)，這就需要在后續(xù)進(jìn)行平滑重構(gòu)處理。

3.2 輪廓的平滑化重構(gòu)

目前數(shù)控系統(tǒng)不支持Nurbs樣條曲線，通常的方法是使用線段來插補(bǔ)樣條。本文采用線段來插補(bǔ)輪廓，然后再使用雙圓弧來擬合線段輪廓，由于擬合后的雙圓弧曲線G1連續(xù)，即可實(shí)現(xiàn)重構(gòu)后的輪廓平滑。圖7展示了重構(gòu)后局部輪廓的平滑效果，圖7a中圓圈處輪廓存在微小的不連續(xù)，這些不連續(xù)很微小，重構(gòu)后的曲線在鏈接處切線連續(xù)，實(shí)現(xiàn)消除原始輪廓微小切線不連續(xù)的缺陷。

圖7 重構(gòu)消除了原始輪廓的不平滑

重構(gòu)的另一個(gè)方面可以大大的減少輪廓的數(shù)據(jù)量，原始的方法是使用短線段及圓弧來標(biāo)示輪廓，從局部上來看，在誤差允許范圍內(nèi)，多條線段可以使用一個(gè)圓弧來表示，使用雙圓弧重構(gòu)的方法是可以極大限度的使用最少的圓弧數(shù)量來表示原始輪廓，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮。圖8所示輪廓的原始線段和圓弧的數(shù)量為554，重構(gòu)后的圓弧數(shù)量為31，圖中輪廓上的小黑點(diǎn)為圓弧與圓弧之間的連接點(diǎn)。大量的實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)表明重構(gòu)對(duì)原始輪廓的數(shù)據(jù)壓縮比例約為1%～20%。

圖8 重構(gòu)后圓弧數(shù)量大大減少

重構(gòu)的穩(wěn)定性也可以通過容差帶的去重疊化處理得到保證。重構(gòu)后的輪廓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)保持與原始輪廓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致，保證重構(gòu)后的在輪廓“瓶頸”處不會(huì)發(fā)生自相交情況。容差帶在輪廓“瓶頸”處發(fā)生重疊，擬合的曲線雖然都在輪廓對(duì)應(yīng)的容差帶內(nèi)，但不能保證曲線在容差帶的重疊區(qū)域放生自交，改變輪廓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明算法可以有效的把重疊區(qū)域相對(duì)平均的分配給競(jìng)爭(zhēng)區(qū)域，實(shí)現(xiàn)容差帶相鄰而不重疊，保證擬合曲線不會(huì)出現(xiàn)自交擬合錯(cuò)誤，保證擬合曲線與原始輪廓拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致。

對(duì)有n個(gè)離散節(jié)點(diǎn)的輪廓，算法計(jì)算節(jié)點(diǎn)切矢、準(zhǔn)非勻稱的容差帶的時(shí)間復(fù)雜度分別為O（n）、O（2n）。假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)的雙圓弧曲線都在容差帶內(nèi)，最壞情況下，算法擬合曲線的時(shí)間復(fù)雜度為O（log2n），總時(shí)間復(fù)雜度為O（log2n+3n）。表1顯示了算法在擬合曲線的各個(gè)階段的時(shí)間消耗，從表中數(shù)據(jù)顯示，算法的復(fù)雜度為線性的，對(duì)處理數(shù)據(jù)量比較大的輪廓也非?？?，重構(gòu)不會(huì)成為系統(tǒng)處理輪廓的瓶頸。

表1 時(shí)間消耗

表中時(shí)間時(shí)間t（單位為ms），擬合n個(gè)節(jié)點(diǎn)輪廓的雙圓弧曲線，輪廓的容差帶容差為（0.05,0.1）。合計(jì)的時(shí)間包括了輪廓節(jié)點(diǎn)的前期處理。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)：Windows NT系統(tǒng)，intel 1.7GHz處理器，4GB內(nèi)存。

3.3 加工質(zhì)量

經(jīng)使用雙圓弧擬合技術(shù)進(jìn)行平滑重構(gòu)后的2D輪廓，投影到球面上的三維加工路徑依然是一階連續(xù)的。應(yīng)用平滑處理技術(shù)后，原來的玻璃切割設(shè)備的加工效率得到大大的提高，在沒有使用雙圓弧擬合技術(shù)前，當(dāng)加工速度超過6.5m/min時(shí)，機(jī)床會(huì)發(fā)生明顯的震動(dòng)及加工質(zhì)量下降問題，使用雙圓弧擬合技術(shù)平滑處理輪廓后，加工速度可以提高到10m/min，加工質(zhì)量也明顯得到改善，圖9展示使用雙圓弧擬合技術(shù)前后的加工件質(zhì)量。

圖9 雙圓弧擬合平滑處理，改善加工質(zhì)量

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)伺服控制器加電機(jī)的半閉環(huán)控制加工設(shè)備，為解決存在的運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)、加工質(zhì)量粗糙問題，提出并實(shí)現(xiàn)了一種對(duì)二維輪廓重構(gòu)優(yōu)化的平滑處理技術(shù)。采用一種基于輪廓容差帶控制曲線擬合誤差的雙圓弧擬合算法對(duì)可擬合輪廓段進(jìn)行平滑處理，并滿足擬合曲線與原始輪廓拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一致，有效的控制曲線擬合誤差，實(shí)現(xiàn)了加工輪廓的G1連續(xù)。通過加工對(duì)比試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：二維輪廓經(jīng)平滑處理后，加工效率顯著提高，零件質(zhì)量顯著改善，輪廓更加光順，誤差更小，很好地解決了機(jī)床抖動(dòng)頻繁影響運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的問題，驗(yàn)證了本文提出的平滑處理算法是合理可行的。

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