深入理解失效率和返修率?

張德晶 馮興樂 王孟婕

（長安大學(xué)信息工程學(xué)院 西安 710064）

1 引言

失效率是可靠性工程中一個(gè)重要的參數(shù)，深入理解這個(gè)參數(shù)的概念對(duì)可靠性的學(xué)習(xí)具有重要意義。然而在可靠性領(lǐng)域，對(duì)這個(gè)參數(shù)的理解還較為模糊，導(dǎo)致了許多人無法將可靠性參數(shù)與工程應(yīng)用聯(lián)系起來。因此本文通過論述失效率與返修率及平均無故障時(shí)間（Meantime Between Failures，MTBF）與返修率的關(guān)系，將這個(gè)可靠性參數(shù)與市場(chǎng)層面的返修率聯(lián)系起來。并通過簡(jiǎn)單的公式推導(dǎo)，論述了瞬時(shí)失效率、平均失效率及返修率的本質(zhì)含義。

文中涉及的各種實(shí)例，目的是讓讀者能更清晰的理解各參數(shù)的內(nèi)在含義，在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中并不一定適用。

2 失效率

2.1 失效率與單位時(shí)間

失效率指的是在某時(shí)刻尚未發(fā)生故障的產(chǎn)品在該時(shí)刻后單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生失效的概率［9］。但是失效率有多種表現(xiàn)形式，區(qū)別在于單位時(shí)間不同。

按照國際量綱，單位時(shí)間單位為秒，失效率是每一秒鐘的失效比例。但一方面，1s的時(shí)間不足以有效觀察失效狀態(tài)，因此，將單位時(shí)間擴(kuò)展為1h，且假設(shè)在1h 內(nèi)，產(chǎn)品的各種失效參數(shù)不變，因此，業(yè)界常用失效率（10-nh）來表示元器件產(chǎn)品的可靠性，即元器件工作1h內(nèi)的失效率。

另一方面，由于電子產(chǎn)品的失效率很低，若采用少量樣本，在一小時(shí)內(nèi)，可能1 例失效都沒有，為了觀察到至少1例失效，需要大量的樣本。

在可靠性工程中，失效率的單位是菲特（FIT），表示每十億產(chǎn)品小時(shí)內(nèi)的失效數(shù)。“產(chǎn)品小時(shí)”指產(chǎn)品數(shù)量和觀測(cè)時(shí)間的乘積。上述分析表明:由于電子產(chǎn)品的失效率很低，為了得到較為準(zhǔn)確的失效率，需要樣本數(shù)*試驗(yàn)時(shí)間較大，樣本數(shù)和試驗(yàn)時(shí)間可以互換。但前提是在此間隔內(nèi)，失效率為常數(shù)。

例如，對(duì)于失效率很低的鉭電容，若采用1h 的試驗(yàn)時(shí)間，需要龐大的不能接受的樣本數(shù)，但鉭電容的單價(jià)較高，不能無限地增加樣本數(shù)，且鉭電容的失效參數(shù)較穩(wěn)定，因此，通常標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)試時(shí)間為1000hrs，這就是為什么鉭電容的基礎(chǔ)失效率以0.5%/1000hrs 來表示，而并不是用5*10-6/hrs 表示。這就是通過擴(kuò)展時(shí)間間隔，降低所需樣本數(shù)。

2.2 平均失效率與瞬時(shí)失效率［1～2］

回顧一下美軍標(biāo)338，定義失效率 λ(t)為t1～t2時(shí)間間隔（Δt）內(nèi)發(fā)生故障的概率，并假設(shè)時(shí)刻t1之前未發(fā)生失效。計(jì)算公式如下:

該失效率即為平均失效率，需要注意的一點(diǎn)是在t1 時(shí)刻之前沒有發(fā)生故障，即可靠度R(t1)始終是從1開始的。

假設(shè)用N0臺(tái)設(shè)備進(jìn)行試驗(yàn)，在某時(shí)刻t，產(chǎn)品失效了r(t)，有Ns個(gè)產(chǎn)品仍然完好。則任意時(shí)刻t的可靠度R(t)為

將R(t)帶入失效率式（1）可得:

瞬時(shí)失效率指的是每一時(shí)刻的失效率，在實(shí)際工程中我們無法測(cè)量某一時(shí)刻，嚴(yán)格意義上的瞬時(shí)失效率不存在，只能說是很短的一個(gè)時(shí)間段的失效率。具體來講，先求一段時(shí)間內(nèi)的平均失效率，然后讓時(shí)間間隔趨向于零，即Δt 趨向于0，可得:

根據(jù)不可靠度F（t）與可靠度R（t）的關(guān)系，可得到:

根據(jù)失效密度函數(shù)的公式可以得到:

瞬時(shí)失效率的另一公式為

該公式與式（3）沒有太大區(qū)別，式（3）指的是第一個(gè)失效區(qū)間，即在時(shí)刻t 之前未發(fā)生失效。

由此關(guān)系式我們可以得到，失效率h(t)是以失效密度函數(shù) f(t)為求解基礎(chǔ)的，可靠度增大失效率降低。

下面由一個(gè)例子來具體說明。

抽取80 個(gè)樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，失效時(shí)間和相應(yīng)的失效數(shù)量整理見下表，共有8 個(gè)試驗(yàn)時(shí)間區(qū)間，每個(gè)區(qū)間為400h。

表1 各時(shí)間段產(chǎn)品失效數(shù)

解:失效密度函數(shù)的公式為

瞬時(shí)失效率的計(jì)算公式為

平均失效率的公式為

將數(shù)值帶入可得

f1（400）=3/（80×400）=9.38×10-5f2（400）=18/（80×400）=5.63×10-4……

f7（400）=2/（80×400）=6.25×10-5f8（400）=1/（80×400）=3.13×10-5瞬時(shí)失效率:

λ（400）=3/（80×400）=9.38×10-5λ（800）=18/（77×400）=5.84×10-4……

λ（2800）=2/（3×400）=1.67×10-3λ（3200）=1/（1×400）=2.5×10-3

平均失效率:

m（400）=3/（400×80）=9.38×10-5m（800）=21/（800×80）=3.28×10-4……

m（2800）=79/2 800×80=3.52×10-5

m（3200）=80/3 200×80=3.13×10-4

由此可見，t＝0 時(shí)刻開始的首個(gè)試驗(yàn)區(qū)間，失效率λ（t）和失效密度f（t）的計(jì)算結(jié)果是一致的。瞬時(shí)失效率是在單位時(shí)間內(nèi)失效產(chǎn)品在剩余產(chǎn)品中所占比例，而失效密度是在單位時(shí)間內(nèi)，失效產(chǎn)品在總產(chǎn)品中所占比例，因此無論區(qū)間范圍如何選擇，同一區(qū)間的瞬時(shí)值（瞬時(shí)失效率）必大于區(qū)間平均值（失效密度）。平均失效率和瞬時(shí)失效率沒有本質(zhì)上的區(qū)別，只要選取的時(shí)間區(qū)間不影響觀察結(jié)果即可，因此嚴(yán)格意義上來說沒有瞬時(shí)失效率。

圖1 故障率、可靠度和密度函數(shù)曲線

由圖1 可直觀地反應(yīng)失效密度函數(shù)在耗損期先增大后減小，這是因?yàn)樵诤膿p期的早期產(chǎn)品失效數(shù)驟增，失效密度函數(shù)急劇增大，而在耗損期后期，未失效產(chǎn)品所剩無幾，失效個(gè)數(shù)減少，失效密度函數(shù)減小。

相反，平均失效率的另一公式為

當(dāng)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布的時(shí)候，平均失效率與瞬時(shí)失效率是相等的，即λ(t)=λ，這是因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布時(shí)其失效率為一常數(shù)，可得:

由于除指數(shù)分布外的其他分布的失效率λ為t的函數(shù)，因此嚴(yán)格意義上來說，每一刻的失效率并不是固定不變的，這樣不便于實(shí)際工程的應(yīng)用，因此，在實(shí)際工程中經(jīng)常用平均失效率。

3 返修率

3.1 返修率與失效率的關(guān)系

對(duì)于已投入市場(chǎng)的定型產(chǎn)品，通常使用售后服務(wù)部門提供的返修率表示產(chǎn)品的故障比例和產(chǎn)品質(zhì)量，這里的年返修率就是單位時(shí)間為一年的平均失效率，而不關(guān)心其具體失效時(shí)刻。年返修率=一年內(nèi)返修的產(chǎn)品個(gè)數(shù)/投入市場(chǎng)的總產(chǎn)品數(shù)。

由此可見，返修率反應(yīng)的是產(chǎn)品的失效比例，而失效率是表示元件或系統(tǒng)下一時(shí)間失效的概率，二者沒有必然聯(lián)系，但若是產(chǎn)品不間斷的連續(xù)工作，年返修率即為一年內(nèi)失效率的累積。

下面由一個(gè)例子來說明。

500個(gè)樣品同時(shí)進(jìn)行2000h的測(cè)試，發(fā)現(xiàn)失效2個(gè)，假設(shè)該產(chǎn)品一直處于偶然失效期，且服從指數(shù)分布。預(yù)計(jì)每個(gè)該產(chǎn)品投入市場(chǎng)，且無間斷運(yùn)行3年的返修個(gè)數(shù)。

解:由所給條件:

那么這批樣品“每一個(gè)”運(yùn)行3 年的返修個(gè)數(shù)是為:

上述例子只是為了說明了理論上連續(xù)工作的產(chǎn)品的返修率與瞬時(shí)失效率的關(guān)系，但在實(shí)際工程中，返修率是建立在大樣本條件下的，無法具體到每個(gè)產(chǎn)品，且實(shí)際外界環(huán)境與實(shí)驗(yàn)環(huán)境存在一定的差異，所以預(yù)計(jì)值與實(shí)際值存在一定差異。

3.2 返修率與MTBF的關(guān)系［3～4］

為了體現(xiàn)可修復(fù)產(chǎn)品的時(shí)間質(zhì)量，經(jīng)常用平均無故障間隔時(shí)間（Meantime Between Failures，MTBF）來描述產(chǎn)品在規(guī)定時(shí)間內(nèi)保持功能的能力［13］。在不考慮存儲(chǔ)和閑置時(shí)間的情況下，年返修率=（1/MTBF）*365*24。

因此，預(yù)計(jì)一個(gè)產(chǎn)品的MTBF 是為了告訴用戶該產(chǎn)品可用多少年不出故障，并可由此預(yù)計(jì)產(chǎn)品年返修率。顯然，在實(shí)際工程中產(chǎn)品一般都是不連續(xù)工作，這就導(dǎo)致返修率預(yù)計(jì)值一般大于實(shí)際值。

需要指出的是，利用MTBF 值預(yù)計(jì)年返修率需要考慮產(chǎn)品是否連續(xù)工作，例如:某種產(chǎn)品100 個(gè)，每天工作24h，一年中壞了5個(gè)，如果按實(shí)際工作時(shí)間來算，MTBF=24*365*100/5。另外一種產(chǎn)品100個(gè)，每天工作12h，一年中壞了5 個(gè)，按實(shí)際工作時(shí)間來算，MTBF=12*365*100/5。明顯兩種產(chǎn)品的返修率一樣，但MTBF卻不一樣。

因此MTBF 的預(yù)計(jì)有時(shí)也需要考慮是否連續(xù)運(yùn)行的情況，有的MTBF 通過連續(xù)運(yùn)行，得出失效率計(jì)算得到；有的MTBF 需要通過模擬實(shí)際運(yùn)行（比如4h 運(yùn)行，4h 閑置），得出失效率計(jì)算得出（一般要分別計(jì)算運(yùn)行狀態(tài)和非運(yùn)行狀態(tài)的MTBF）。比如說開關(guān)，正常連續(xù)通電基本不會(huì)壞，有相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)會(huì)指定它連續(xù)通電多少小時(shí)就算可靠；開關(guān)最主要的性能是通斷，通斷壽命是其主要的性能，因此，其MTBF 就不按小時(shí)來計(jì)算，而是按通斷次數(shù)來算，那么計(jì)算MTBF 多少次的時(shí)候，可能就5s 通電5s斷電來計(jì)算。

下面通過一個(gè)例子來理解MTBF。

對(duì)于一可修復(fù)產(chǎn)品，其MTBF=5 年（43800h）。我們可以將其理解為

1）每個(gè)這樣的產(chǎn)品的工作時(shí)間達(dá)到43800h 的概率為

P=e-t/MTBF 當(dāng)t=MTBF

=e-1

=0.3677 or 36.8%

2）若在市場(chǎng)中投入100 個(gè)產(chǎn)品，則每個(gè)產(chǎn)品的MTBF 為438h，也可以理解為100 個(gè)產(chǎn)品不出現(xiàn)故障所能維持的時(shí)間為438hr，438hr后就會(huì)有個(gè)別產(chǎn)品出現(xiàn)故障，43800hr 后有63.2%（1-36.8%）的產(chǎn)品會(huì)發(fā)生一次或多次故障。

3）該產(chǎn)品的年平均故障率為20%（產(chǎn)品返修后繼續(xù)投入市場(chǎng)，5 年后每個(gè)產(chǎn)品的故障次數(shù)可能為多次）。

4）但是我們不能說該產(chǎn)品的壽命為5 年或該產(chǎn)品在五年內(nèi)不發(fā)生故障。

由此可見，產(chǎn)品運(yùn)行時(shí)間超出預(yù)計(jì)的MTBF 值后，還有36.8%的產(chǎn)品完好，其失效率不變，除非其壽命達(dá)到耗損期。例如，對(duì)于指數(shù)分布的產(chǎn)品，MTBF為10年意思就是累積用10年壞1個(gè)，每年有十分之一的產(chǎn)品會(huì)壞，運(yùn)行時(shí)間超過十年就是說每年少于十分之一的產(chǎn)品會(huì)壞。

4 結(jié)語

在可靠性基本知識(shí)的學(xué)習(xí)中，大部分人都無法將失效率的概念聯(lián)系到實(shí)際應(yīng)用。本文通過論述失效率，返修率及MTBF 三者的關(guān)系，將技術(shù)層面的可靠性參數(shù)與市場(chǎng)層面的返修率聯(lián)系起來，以期讀者能更清晰地理解這幾個(gè)參數(shù)的實(shí)際含義。