均值不等式在物理中的應(yīng)用兩例

李志邊

不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式：均值不等式.具體公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）.這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要，在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

因此，兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

例2（2010年重慶理綜）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為34d，重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.（1）求繩斷時球的速度大小v1，和球落地時的速度大小v2.（2）問繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

解析（1）設(shè)繩段后球飛行時間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律，有豎直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d，由圓周運(yùn)動向心力公式

（3）設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大推力不變，有T-mg=mv23l，得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l，即l=d2時，x有極大值，xmax=233d.

審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析，找到相應(yīng)的知識，對癥下藥，巧妙地選取運(yùn)動過程，使問題得到簡化，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型，是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint

不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式：均值不等式.具體公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）.這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要，在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

因此，兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

例2（2010年重慶理綜）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為34d，重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.（1）求繩斷時球的速度大小v1，和球落地時的速度大小v2.（2）問繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

解析（1）設(shè)繩段后球飛行時間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律，有豎直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d，由圓周運(yùn)動向心力公式

（3）設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大推力不變，有T-mg=mv23l，得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l，即l=d2時，x有極大值，xmax=233d.

審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析，找到相應(yīng)的知識，對癥下藥，巧妙地選取運(yùn)動過程，使問題得到簡化，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型，是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint

不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式：均值不等式.具體公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）.這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要，在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

因此，兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

例2（2010年重慶理綜）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為34d，重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.（1）求繩斷時球的速度大小v1，和球落地時的速度大小v2.（2）問繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

解析（1）設(shè)繩段后球飛行時間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律，有豎直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d，由圓周運(yùn)動向心力公式

（3）設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大推力不變，有T-mg=mv23l，得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l，即l=d2時，x有極大值，xmax=233d.

審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析，找到相應(yīng)的知識，對癥下藥，巧妙地選取運(yùn)動過程，使問題得到簡化，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型，是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint