考慮固液界面作用的表觀滲透率分形模型

婁 鈺，朱維耀，宋洪慶，黃小荷，王小鋒，張雪齡

（北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083）

0 引言

低滲透和致密油氣藏特點是孔喉尺寸很小，孔隙中流體受到固體壁面的強烈影響，大比表面和狹窄孔喉導(dǎo)致固體表面附近流體性質(zhì)發(fā)生改變［1-3］，因此研究固液界面作用下的滲流機理對低滲透和致密油氣藏開發(fā)具有重要意義.考慮固液界面分子間作用下的液體微管流動的研究結(jié)果表明，微流動的表觀黏度與流體黏性系數(shù)有差別，并且表觀黏度與微管的形態(tài)和微管直徑有密切關(guān)系［4-10］.多孔介質(zhì)具有復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)和表面特征，研究證實多孔介質(zhì)的孔隙空間具有良好分形特征，因此分形幾何學(xué)被廣泛應(yīng)用到多孔介質(zhì)的表征，進而研究多孔介質(zhì)中流體的輸運特性和規(guī)律［11-15］.

筆者考慮固液界面作用對微流動影響，推導(dǎo)流體在固液界面作用影響下的流速分布表達式及流量方程；然后基于具有分形特征的多孔介質(zhì)，推導(dǎo)在固液界面作用影響下流體在多孔介質(zhì)中的運動方程，得到考慮固液界面作用影響的表觀滲透率表達式.該表達式參數(shù)意義明確，并綜合考慮固液作用和多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)特征的影響.

1 微流動流量方程

固液分子間的作用力影響液體黏性，固液界面作用對壁面附近流體黏性系數(shù)的影響很大，其大小取決于壁面材料和流體的分子間作用力，并且隨著離開壁面距離增加，表觀黏度迅速衰減［9-10］.假設(shè)流體在半徑為R的微納米尺度圓管內(nèi)流動，y表示距離軸心的徑向距離，考慮固液界面作用的表觀黏度［16］可表示為

式中：μ、μ0分別為固液界面作用下液體表觀黏度及流體黏度；γ、n分別為表征固液界面作用變化參數(shù)，與固體材料性質(zhì)和流體性質(zhì)有關(guān).其中參數(shù)γ表征固液界面作用對表觀黏度的影響程度，參數(shù)n表征表觀黏度隨壁面距離增加的衰減速度，可通過微流動實驗確定2個參數(shù).

基于Navier-Stokes運動方程，在圓管中柱坐標下的運動方程為

積分求解得到考慮界面作用的圓管中流速分布為

對流速分布積分，并利用分部積分法化簡，可得微管內(nèi)平均流速為

將平均流速乘以截面積，得到考慮固液界面作用的流量q表達式為

式中：λ為微管直徑；L為微管長度；Δp為微管兩端壓差.當(dāng)z＝y(tǒng)／R時，有

定義函數(shù)G（λ，γ，n）為固液界面作用對微管內(nèi)流體流動影響的界面因子.由式（5）可知，界面因子G越大，即固液界面作用影響越大，流量越小.由微管管徑及固液界面作用參數(shù)決定界面因子.當(dāng)固液界面作用參數(shù)γ＝0時，G＝0，流量q方程退化為

即泊肅葉定律.

2 分形滲流模型

設(shè)Le為彎曲毛細管有效長度，假設(shè)彎曲毛細管曲線是分形［17］的，則

式中：δ為迂曲分維.

考慮迂曲度，流量方程式（5）可改寫［18］為

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設(shè)最大孔喉直徑和最小孔喉直徑分別為λa和λi，根據(jù)分形特征可得直徑大于λ的毛管累計數(shù)為

式（10-11）中：D為管徑分維.

根據(jù)滲流速度定義，流速v是通過多孔介質(zhì)單位橫截面的體積流量，則

將式（9）和式（11）代入式（12），可得考慮固液界面作用的運動方程為

式（13）可簡化為

式中：H為表征固液界面作用對滲流影響大小的系數(shù)，其值依賴于多孔介質(zhì)分形特征和式（6）界面因子G，

K0為不受固液界面作用影響的滲透率，

定義固液界面作用影響下表觀滲透率K為

由孔隙結(jié)構(gòu)和固液界面作用綜合決定H.當(dāng)界面因子G＝0時，可得H＝0，K＝K0，即不考慮固液界面作用的滲透率.

分形多孔介質(zhì)中的參數(shù)計算：

（1）單元橫截面積A及長度L計算表達式［17］分別為

式（20-21）中：rp為多孔介質(zhì)顆粒的平均粒徑；φ為孔隙度.

（2）最大孔喉直徑表達式［17］為

3 結(jié)果與分析

可以通過微管流動實驗獲得固液界面作用參數(shù)γ和n.固液界面作用大小與流體的分子性質(zhì)和壁面的自由能有關(guān)［16］.選用水作為流體介質(zhì)，利用式（5-6）對去離子水微流動實驗數(shù)據(jù)［6］進行擬合獲取參數(shù)，分析固液界面作用的影響.固液界面作用參數(shù)取為n＝1，γ＝10-7.可利用掃描電鏡測量或壓汞法獲得多孔介質(zhì)分形特征參數(shù).多孔介質(zhì)分形參數(shù)取為：孔徑分布的分形維度D為1.8，迂曲度δ為1.1，顆粒粒徑為0.01mm，最小孔喉直徑為0.1μm.

固液界面作用影響下微管中流速隨壓力梯度變化關(guān)系見圖1，微管半徑為10μm.參數(shù)γ＝0時，為泊肅葉方程計算結(jié)果.由圖1可知，考慮固液界面作用影響時，流速低于泊肅葉方程預(yù)測值；參數(shù)γ越大，流速越小，表明固液界面作用對流速影響越大.

單管中固液作用影響下界面因子G隨微管直徑λ變化見圖2，界面因子G由式（6）定義，表征固液界面作用對流速的影響程度.由圖2可知，固液界面作用影響的大小與微管直徑λ有密切聯(lián)系.隨著微管直徑λ減小，界面因子G逐漸增加，當(dāng)微管直徑小于某個臨界值時，界面因子G呈非線性迅速增加.臨界微管直徑與固液界面作用大小有關(guān)，參數(shù)越小，臨界微管直徑越小.

固液界面作用影響下分形多孔介質(zhì)的表觀滲透率K隨著孔隙度φ變化見圖3.由圖3可知，參數(shù)γ＝0時，固液界面作用沒有影響，表觀滲透率最大；考慮固液界面作用影響，表觀滲透率明顯下降，參數(shù)γ越大，表觀滲透率越低，表明固液界面作用對滲流影響越大.隨著孔隙度增加，表觀滲透率增大.

不同孔隙度下表觀滲透率隨著固液作用參數(shù)γ變化見圖4.由圖4可知，在相同孔隙度下，隨著參數(shù)γ增加，固液界面作用增大，而表觀滲透率K下降.當(dāng)參數(shù)γ＜0.5×10-6時，表觀滲透率K隨著固液界面作用的增大呈非線性迅速下降，隨著參數(shù)γ的進一步增大，K的下降速度減緩.這說明固液界面作用的微小變化對流體滲流有顯著影響.

4 結(jié)論

（1）考慮固液界面作用力對微流動的影響，引入界面因子，建立綜合考慮微流動固液界面作用和復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)特征的滲流數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值計算分析固液界面作用對流體在微圓管和多孔介質(zhì)中流動的影響.

（2）考慮固液界面作用，流速低于泊肅葉方程的預(yù)測值，固液界面作用越大，偏離越明顯.

（3）微管直徑越小，界面因子越大，說明固液界面作用影響增大；當(dāng)微管直徑小于臨界管徑時，界面因子呈非線性迅速增加.

（4）考慮固液界面作用，表觀滲透率下降.當(dāng)固液作用參數(shù)γ≤0.5×10-6時，表觀滲透率呈非線性迅速下降；當(dāng)固液作用參數(shù)γ≥0.5×10-6時，表觀滲透率下降趨于平緩.固液界面作用的變化對滲流有顯著影響.

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