具有未知死區(qū)的SⅠSO非仿射非線性系統(tǒng)間接自適應模糊控制

周衛(wèi)東，廖成毅，鄭 蘭，程 華

(1.哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱;2.齊齊哈爾市建華機械有限公司，161006黑龍江 齊齊哈爾)

在工業(yè)過程中經(jīng)常遇到死區(qū)現(xiàn)象，其非線性特性會嚴重影響控制系統(tǒng)的性能，甚至可能導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此，許多學者對具有未知死區(qū)非線性輸入的系統(tǒng)作了大量研究，并取得了一定的成果［1-13］.文獻［1-2］針對一類具有死區(qū)環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)提出構造死區(qū)反函數(shù)來補償死區(qū)環(huán)節(jié)對系統(tǒng)帶來的影響，但是該方法中不光滑的反函數(shù)可能會導致系統(tǒng)發(fā)生抖振現(xiàn)象.Zhou J.等通過設計光滑的死區(qū)反函數(shù)避免了抖振問題［3-4］.文獻［5-6］分別針對運動控制系統(tǒng)和直流電機系統(tǒng)提出了模糊設計方法，即根據(jù)專家經(jīng)驗設計基于模糊邏輯系統(tǒng)的死區(qū)補償器，利用模糊方法構造控制器，然而該方案會過度地依賴于專家經(jīng)驗，當找不到合適的描述死區(qū)非線性特性的模糊規(guī)則時，不能利用這種方法處理死區(qū)問題.在文獻［7-9，11-13］中，死區(qū)被分解為一個線性項和一個有界的擾動類似項，然后利用魯棒控制技術設計控制器，取得了理想的控制效果.上述研究均是針對仿射非線性系統(tǒng)，而大多數(shù)實際系統(tǒng)如飛控系統(tǒng)、化學反應控制系統(tǒng)等都是非仿射系統(tǒng)，近年來非仿射非線性系統(tǒng)的研究取得了很多成果［14-17］，遺憾的是針對非仿射非線性系統(tǒng)的研究，幾乎沒有人考慮含有死區(qū)輸入的情況.

本文針對一類具有未知死區(qū)輸入環(huán)節(jié)的SISO非仿射非線性系統(tǒng)，給出了一種間接自適應模糊控制方法.當系統(tǒng)狀態(tài)可測時，采用模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù)，構造了間接自適應模糊控制器.當系統(tǒng)狀態(tài)不可測時，設計觀測器估計跟蹤誤差，基于估計得到的狀態(tài)設計間接自適應模糊輸出反饋控制器.最后利用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了跟蹤誤差收斂到零的某一鄰域，同時保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界.

1 問題描述

考慮如下一類SISO非仿射系統(tǒng)

其中:u∈R為系統(tǒng)輸入量，y∈R為系統(tǒng)輸出量，x=［x1，…，xn］T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，d(t)為外界干擾且存在常數(shù) d 滿足 |d(t)|≤ d，F(xiàn)(x，D(u))為光滑的未知函數(shù)，D(u)為參數(shù)未知的死區(qū)輸入．

控制目的:設計控制器使得系統(tǒng)輸出y跟蹤指定期望軌跡yd，同時閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界．

假設1 對于任意x∈Ωx?Rn，存在大于零的常數(shù)g使得函數(shù)，滿足條件g＜g(x)≤成立，其中Ωx為系統(tǒng)的可控域．

假設2 yd(t)及其對時間導數(shù)y(i)d(t)為有界的光滑函數(shù)，i=1，2，…，n．

假設3 對于任意x∈Ωx?Rn存在常數(shù)gr使得|·g(x)|≤gr成立．

輸入為u輸出為D(u)的死區(qū)模型描為

死區(qū)模型滿足條件:1)死區(qū)輸出D(u)不可測;2)死區(qū)參數(shù)未知，滿足0≤br≤br，0≤bl≤bl，0＜ml≤ml，0＜mr≤mr．

將未知死區(qū)轉(zhuǎn)化為

2 自適應模糊控制器設計

首先利用中值定理將非仿射非線性形式轉(zhuǎn)化為仿射非線性形式，有

其中:f(x)=F(x，0)，λ ∈［0，D(u)］，

結(jié)合式(2)，系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)換為

其中:d0=g(x)β(t)+d(t)，則存在大于零的常數(shù)0使得 |d0|≤0．

針對經(jīng)轉(zhuǎn)化得到的仿射非線性系統(tǒng)，分系統(tǒng)狀態(tài)可測與不可測兩種情況進行分析.

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)可測

根據(jù)模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近特性［18］，存在最優(yōu)逼近參數(shù)分別滿足

估計誤差為

定義最優(yōu)逼近誤差為

定義跟蹤誤差e=yd-y，則誤差向量e=［e，，…，e(n-1)］T．

由式(3)有系統(tǒng)跟蹤誤差方程為

式中:B=［0…01］T，

選擇向量 K= ［kn，kn-1，…，k1］T使得 sn+k1sn-1+k2sn-2+kn為Hurwitz多項式．因此A1=A-BKT為穩(wěn)定的矩陣，即給定一個正定對稱矩陣P，存在正定矩陣Q滿足Lyapunov方程

定理1 對于系統(tǒng)(1)，采用如下控制律與自適應律，可以使得系統(tǒng)輸出跟蹤給定期望信號，同時保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界.

控制律為

自適應律為

其三，巡檢工作不到位。在城市燃氣管道投入運行之后，城市燃氣管道相關單位承擔著管道運行維護的責任，它們需要組織人員對管道日常運行進行巡檢，及時發(fā)現(xiàn)并排除一些潛在的安全隱患或是突發(fā)問題，這樣可以最大程度的避免燃氣泄露事故的發(fā)生。然而在實際工作中，管道運行巡檢工作不到位的情況十分常見，這也為燃氣泄露埋下了隱患。

證明 取如下Lyapunov候選函數(shù)

對V求時間的導數(shù)并結(jié)合(5)、(6)可得

將控制律式(7)、(8)以及自適應律式(9)～(12)代入式(14)整理可得

根據(jù)假設1和假設3，利用不等式性質(zhì)整理式(15)有

其中:μ0=，選取 η3使得 η3-＞0．

由式(16)可得

2.2 系統(tǒng)狀態(tài)不可測

在實際工程中，通常只有系統(tǒng)輸出可測，而系統(tǒng)狀態(tài)通常是不可測量的，即y可測，=［x2，…，xn］T不可測．此時只能利用狀態(tài)的估計=［1，…，n］T設計間接自適應模糊控制器．

跟蹤誤差向量為e=［e，，…，e(n-1)］T，定義

參數(shù)誤差為

定義f(x)和g(x)的最優(yōu)逼近誤差為

由式(4)可得系統(tǒng)跟蹤誤差方程為

設計誤差觀測器為

式中:C=［1，0，…，0］T為反饋增益為觀測器增益，選擇K0、Kc分別使A-、A-KcCT為穩(wěn)定矩陣．

假設4 正定矩陣P1和P2分別滿足方程

由式(18)、(19)可得

定理2 對于系統(tǒng)(1)，當系統(tǒng)狀態(tài)不可測時，采用如下控制律和自適應律，可以使得系統(tǒng)輸出跟蹤給定期望信號，同時保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界.

控制律

自適應律

構造如下Lyapunov候選函數(shù)

求V1關于時間的導數(shù)

將式(20)、(21)代入式(31)有

整理可得

假設存在常數(shù) M、N、?分別滿足不等式|u|≤M，|υ|≤N，‖θg‖2≤?．將自適應律式(25)～(28)代入式(32)整理有

對式(33)兩端求積分有

3 仿真結(jié)果

考慮如下非仿射非線性系統(tǒng)

仿真目的是驗證所設計控制器能使系統(tǒng)的輸出y跟蹤期望軌跡yd=sin(t)．仿真實驗將分系統(tǒng)狀態(tài)可測與不可測兩種情況進行．其中死區(qū)D(u)定義為

模糊隸屬度函數(shù)選取分別為

狀態(tài)可測時，參數(shù)取值:γ1=0.01、γ2=0.01、γ3=0.01、γ4=0.01、η1=0.08、η2=0.08、η3=0.08、η4=0.08、K=［2510］T、P=．仿真過程中初值設定(0)=0.1(0)= ［0.1…0.1］1×49、x1(0)=1、=［0.1…0.1］1×49、x2(0)=0．仿真時間為30 s，仿真結(jié)果如圖1～3所示．

狀態(tài)不可測時，參數(shù)取值:γ21=0.01、γ22=0.01、γ23=0.01、γ24=0.01、η21=0.001、η22=0.001、η23=0.001、η24=0.001、K0=［104］T、Kc=［45］T、P1=．仿真初值設定:［0.1…0.1］1×49(0)=［10］T．仿真時間取為30 s，結(jié)果如圖4～6所示.

由圖1和圖4可以觀察到系統(tǒng)輸出跟蹤期望信號的軌跡，結(jié)合跟蹤誤差圖2和圖5，可以得出結(jié)論，利用本文所設計的控制器，可以使得系統(tǒng)完成跟蹤任務，即跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.圖3和圖6則分別給出了兩種情況下系統(tǒng)控制輸入的軌跡曲線.經(jīng)上述分析，本文給出的控制器能夠使得系統(tǒng)輸出跟蹤給定軌跡，并同時保證了跟蹤誤差收斂以及控制輸入有界.

圖1 狀態(tài)可測時期望輸出與實際跟蹤曲線

圖2 狀態(tài)可測時跟蹤誤差曲線

圖3 狀態(tài)可測時系統(tǒng)控制輸入曲線

圖4 狀態(tài)不可測時期望輸出與實際跟蹤曲線

圖5 狀態(tài)不可測時跟蹤誤差曲線

圖6 狀態(tài)不可測時系統(tǒng)控制輸入曲線

5 結(jié) 論

1)研究了一類含有未知死區(qū)輸入環(huán)節(jié)的SISO非仿射非線性系統(tǒng)控制器設計問題，給出了在系統(tǒng)狀態(tài)可測與不可測兩種情況下的控制器設計方案.

2)通過Lyapunov定理證明了具有未知死區(qū)的SISO非仿射非線性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，跟蹤誤差收斂，同時保證了所有系統(tǒng)均有界.

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