一種五自由度混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析

高云峰，呂明睿，周 倫，李瑞峰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人研究所，150001哈爾濱)

隨著工業(yè)化的發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人在先進(jìn)制造技術(shù)中扮演著重要的角色.其中，混聯(lián)工業(yè)機(jī)器人以其剛度和運(yùn)動靈活性上的卓越性能被廣泛運(yùn)用到復(fù)雜曲面加工領(lǐng)域.就結(jié)構(gòu)而言，德國DMG公司的著名五軸聯(lián)動機(jī)床DMC165加工中心［1］采用了3個方向的平動軸構(gòu)成的龍門加雙擺頭［2］的串聯(lián)結(jié)構(gòu);傘紅軍等［3］開發(fā)了一種五軸串并聯(lián)機(jī)器人;李菊等［4］研制了五軸混聯(lián)機(jī)器人.本文所研究的五自由度機(jī)器人為一種3P-2R的新型結(jié)構(gòu)機(jī)器人.由于該機(jī)器人一次作業(yè)只對上半曲面進(jìn)行加工，而不需考慮底面加工，故五自由度可以滿足作業(yè)位姿靈活度要求.與傳統(tǒng)的5R串聯(lián)結(jié)構(gòu)相比，該機(jī)器人的剛度得到了很大提高［5-8］.

本文研究的五自由度混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)滿足Pieper準(zhǔn)則［9］，通過分析各關(guān)節(jié)對于末端執(zhí)行器的位姿影響，根據(jù)Paul逆變換方法［10］中齊次矩陣元素的物理意義選取有效等式得到逆運(yùn)動學(xué)封閉解.利用基于映射關(guān)系的曲面包絡(luò)法描述局部關(guān)節(jié)的工作空間.由于J4、J5關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的特殊性，通過歸納的方法分析了該結(jié)構(gòu)的作業(yè)姿態(tài)靈巧性.根據(jù)保證一點(diǎn)作業(yè)姿態(tài)靈巧性的充要條件，利用包絡(luò)曲面疊加法［11］規(guī)劃出完整的機(jī)器人靈巧工作空間模型.

1 結(jié)構(gòu)分析

如圖1～3所示，本文討論的機(jī)器人共有6個軸.J1、J2和 J3軸為絲杠，分別由 M1、M2和 M3驅(qū)動，進(jìn)行直線進(jìn)給運(yùn)動．J4、J5軸為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)．J6為末端執(zhí)行器的轉(zhuǎn)軸．絲杠S1、S2上各有一對鉸接滑塊．跨接兩邊的連桿以滑塊A、B連線的中點(diǎn)為軸帶動轉(zhuǎn)臺在一定角度內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角度取決于A、B的行程差．桿L3隨轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動而擺動．轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的同時可以沿著兩邊絲杠對稱軸上的長直導(dǎo)軌在基礎(chǔ)坐標(biāo)系O0的X軸方向移動．M3驅(qū)動絲杠S3使L3能在O1的Z軸方向移動．xA、xB、xC分別表示滑塊A、B、C在絲杠上的行程．

圖1 機(jī)器人上半部分結(jié)構(gòu)簡圖(俯視)

圖2 機(jī)器人下半部分結(jié)構(gòu)簡圖(正視)

圖3 機(jī)器人立體結(jié)構(gòu)圖

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)通常通過建立D-H坐標(biāo)系并列出D-H參數(shù)表后得到［8］.建立圖4所示D-H坐標(biāo)系.基礎(chǔ)坐標(biāo)系O0固連在J1軸上，X0軸與J1重合，Z0軸豎直向下．坐標(biāo)系O1位于L3與J3交點(diǎn);坐標(biāo)系O3位于J4與J5軸的交點(diǎn)，X3軸垂直于T平面向外;坐標(biāo)系O4位于J5與J6的交點(diǎn)，X4軸垂直于T平面向內(nèi)．轉(zhuǎn)臺以下部分初始位于T平面內(nèi)．

圖4 機(jī)器人D-H坐標(biāo)系示意圖

對于關(guān)節(jié)1和2，可以直接通過空間變化關(guān)系得到坐標(biāo)變換矩陣.對關(guān)節(jié)3～5列D-H參數(shù)表，見表1.

表1 關(guān)節(jié)3～5的D-H參數(shù)

2 運(yùn)動學(xué)正解

對于本機(jī)器人，各相鄰坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換矩陣如下(注:s φ =sin φ，c φ =cos φ):

Aii+1為從坐標(biāo)系Oi到Oi+1的坐標(biāo)變換;L1～L5為圖1和圖2中各桿的設(shè)計(jì)長度;φ1～φ5分別為J1、J2、J3、J4、J5轉(zhuǎn)動角度;e為 J6軸距 O3點(diǎn)水平方向距離，p為螺距．

末端執(zhí)行器位姿矩陣為(Φ =(4π2L21+(φ1-φ2)2p2)1/2):

式中:

3 運(yùn)動學(xué)逆解

本文所討論機(jī)器人結(jié)構(gòu)滿足Pieper準(zhǔn)則，可直接以代數(shù)法求逆運(yùn)動學(xué)封閉解解析式.矩陣逆變換等式左右兩邊都是有特定幾何意義的，故本文針對每一步矩陣逆變換找出影響其矩陣特定項(xiàng)的關(guān)節(jié)變量，列出所需的全部有效方程［12］.

由前述結(jié)構(gòu)分析可知，O4的姿態(tài)只由φ5決定，O1在Z2軸方向的距離只由xC決定．根據(jù)，選擇表示姿態(tài)的矩陣項(xiàng)TL(3，1)=TR(3，1)，TL(3，2)=TR(3，2)和表示位置的矩陣項(xiàng)TL(4，3)=TR(4，3)(TL、TR分別表示等式左邊和右邊的變換陣)，可得

O4在 O1中的位置由 α(xA，xB)、φ4決定．根據(jù)選擇表示位置的矩陣項(xiàng)TL(1，4)=TR(1，4)和TL(2，4)=TR(2，4)，可得

聯(lián)立(4)、(5)，可得

X3在O0中的指向由 α(φ1，φ2)、φ4決定．根據(jù)，選擇表示X3指向的矩陣項(xiàng)TL(1，1)=TR(1，1)和TL(2，1)=TR(2，1)，可得

將(1)、(2)代入(7)、(8)，可得

O3在 O0中的位置由 α(φ1，φ2)、φ4確定．選擇 TL(1，4)=TR(1，4)，可得

將(9)代入(6)，得到

式(10)左邊括號內(nèi)值的正負(fù)與M同，得

又有聯(lián)立式(4)、(11)，可得

由式(3)可得

由M、N可得

由式(2)可得

由此得到全部關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角φ1～φ5．

根據(jù)逆運(yùn)動學(xué)封閉解解析式，代入機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)(表2)，規(guī)定機(jī)器人按照以下兩種方式連續(xù)運(yùn)動:

表2 五自由度機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

1)從［-470，200，600］(初始位置點(diǎn))沿直線運(yùn)動到點(diǎn)［0，0，800］，同時不斷調(diào)整姿態(tài)至 Z4軸與水平面夾角為45°.

2)到達(dá)后以原姿態(tài)繞點(diǎn)［0，0，800］旋轉(zhuǎn)半周.

本文所述的逆運(yùn)動學(xué)逆解算法無理論誤差.在CPU為Inter Core i3 M350的計(jì)算機(jī)上MATLAB運(yùn)行仿真實(shí)驗(yàn)1 000次，總共消耗時間為17.922 ms，平均仿真一次獲得φ1～φ5角度值所用的時間為18 μs，完全符合計(jì)算機(jī)控制的實(shí)時性要求，得到的仿真結(jié)果見圖5～8.可以看出關(guān)節(jié)角度及絲杠行程變化平穩(wěn)，無突變.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的快速性和有效性.

圖5 行程隨計(jì)算步的變化

圖6 關(guān)節(jié)角隨計(jì)算步的變化

圖7 位置跟蹤

圖8 姿態(tài)跟蹤(姿態(tài)以歐拉角α、β、γ表示)

4 工作空間分析

機(jī)器人的工作空間分為最大工作空間和靈巧工作空間.前者指執(zhí)行器末端點(diǎn)可以至少一種姿態(tài)到達(dá)的最大范圍;后者指執(zhí)行器可以任意姿態(tài)到達(dá)的工作范圍，邊界曲面是包絡(luò)所有靈巧工作點(diǎn)的空間包絡(luò)曲面［8］.本文先研究 J4、J5聯(lián)動時形成的包絡(luò)面，后導(dǎo)出工作空間中一點(diǎn)為靈巧工作點(diǎn)的充要條件，由此得到靈巧工作空間范圍［13-14］．

4.1 求解J4、J5聯(lián)動時形成的包絡(luò)面

設(shè)執(zhí)行器末端點(diǎn)P在O4坐標(biāo)系中坐標(biāo)為P(xp，yp，zp)，P 點(diǎn)在 O4坐標(biāo)系中的位置方程為

J5轉(zhuǎn)動時，由知空間曲線:

Σ繞J4軸旋轉(zhuǎn)，即 {Σ}=Rot(z2，φ5)·Σ，得空間曲線簇{Σ}:

消去式(12)中φ4、φ5，得到包絡(luò)面方程:

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同時，對應(yīng)的包絡(luò)面形態(tài)如圖9～11所示.

圖9 J4、J5聯(lián)動時形成包絡(luò)面(e＝30，Lp＝80)

圖10 J4、J5聯(lián)動時形成的包絡(luò)面(e＝10，Lp＝80)

圖11 J4、J5聯(lián)動時形成的包絡(luò)面(e＝0，Lp＝10)

可見結(jié)構(gòu)參數(shù)e和Lp直接影響包絡(luò)面形態(tài)．e決定包絡(luò)面底部孔的尺寸，Lp決定包絡(luò)面高度h和開口大?。甃p較小時，調(diào)整J5轉(zhuǎn)角，配合J1～J4的微小動作即可改變一點(diǎn)的作業(yè)姿態(tài)．對于e=0，Lp=0的極限情況，包絡(luò)面收縮為空間中的一點(diǎn)．此時，只調(diào)整J5轉(zhuǎn)角，J1～J4保持原位置就可改變作業(yè)姿態(tài)．機(jī)器人的這個特點(diǎn)使得加工復(fù)雜曲面的效率大為提高．

等式兩邊對z2求導(dǎo)，令，得，則包絡(luò)面截面圓半徑最大值

定義包絡(luò)面半徑最大截面的圓心為包絡(luò)面的中心Q．

4.2 局部點(diǎn)靈巧性

由于所討論的五自由度機(jī)器人末端執(zhí)行器指向與Z4軸同，所以可以通過分析T04中ax、ay、az項(xiàng)來研究末端執(zhí)行器姿態(tài)．事實(shí)上，可從式(10)看出:ox+ax≤1，即機(jī)器人末端只能在一定范圍內(nèi)達(dá)到任意姿態(tài)，這是機(jī)器人的結(jié)構(gòu)限制導(dǎo)致的．故定義此類工作點(diǎn)為“有限靈巧工作點(diǎn)”，即末端執(zhí)行器能在一定范圍內(nèi)以任意姿態(tài)指向目標(biāo)點(diǎn)，該范圍已經(jīng)能滿足機(jī)器人作業(yè)需要．

建立如圖12所示的球坐標(biāo)系來描述末端執(zhí)行器姿態(tài)［8］.

圖12 以執(zhí)行器末端點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)成的球坐標(biāo)系

θ(方向)表示執(zhí)行器在XPY平面的投影與X軸夾角，γ(緯度)表示執(zhí)行器與XPY平面夾角．可以用θ和γ兩個參數(shù)描述上半球面執(zhí)行器的任意一種指向．其中:

設(shè)空間中的一點(diǎn)P位于某個由J4、J5軸聯(lián)動形成的包絡(luò)面上．它將同時位于以該點(diǎn)為圓心，Rz為半徑的一系列包絡(luò)面的同等高度的圓截面上．注意到Rz=Rz(φ5)，如果當(dāng)φ5從 -π ～π變化時，γ可以取到0～π/2之間的任意值，且對于該范圍內(nèi)的任一γ，可以通過改變包絡(luò)面的幾何中心Q的位置使θ取到0～2π任意值，則該點(diǎn)為有限靈巧工作點(diǎn)．

進(jìn)行坐標(biāo)平移變換.β表示O2O0連線與X0軸夾角．當(dāng)β從-π到π變化，生成一系列包含P(Px，Py，Pz)點(diǎn)的 包絡(luò) 面．取P(0，0，0)．由［Px，Py，Pz，1］'=對應(yīng)項(xiàng)相等得到方程組:

由式(13)得

等式(14)表示以φ5、β為基構(gòu)成的φ4解空間．這樣的一組φ4、φ5、β能使執(zhí)行器末端點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)．當(dāng)β從-π到π變化時，φ4總是從某個值開始增加2π，遞增起點(diǎn)取決于φ5值．將φ4解空間的所有φ4代回A04=A02T23T34，分別算得A04中的ax、ay、az，得

圖13 和圖14 表示 φ5、β、γ、θ之間的關(guān)系．從圖13可以看出，γ與β無關(guān)，只由φ5取值決定，即緯度γ與φ5存在一一映射關(guān)系．從圖14可以看出，θ關(guān)于φ5與β兩個變量的三維圖像為一復(fù)雜的高低不平的連續(xù)曲面，且對于任意φ5(即對任意緯度γ)，方向θ總能取到0～2π之間的任意值．

圖14 φ5、β和θ之間的關(guān)系

綜上所述，可以得到結(jié)論:工作空間中某一點(diǎn)為有限靈巧工作點(diǎn)的充分必要條件是由J4、J5軸聯(lián)動形成的包含該點(diǎn)的所有包絡(luò)面中心Q連結(jié)成的曲面是完整的(見圖15)．

圖15 位姿有限靈巧點(diǎn)投影示意圖

4.3 靈巧工作空間規(guī)劃

基于4.2的結(jié)論，結(jié)合最大工作空間范圍規(guī)劃出機(jī)器人的靈巧工作空間.按照表2中的結(jié)構(gòu)參數(shù)，運(yùn)用第2節(jié)中得到的正運(yùn)動學(xué)解析式，通過MATLAB仿真得到機(jī)器人的最大工作空間，見圖16.

圖16 可達(dá)工作空間仿真結(jié)果(俯視)

圖16兩端收縮的原因?yàn)?當(dāng)滑塊A或B中一個位于行程終點(diǎn)或起點(diǎn)，另一滑塊向終點(diǎn)或起點(diǎn)靠近時，轉(zhuǎn)臺沿中線保持前進(jìn)或后退狀態(tài)．此時桿L3向中線擺動(因?yàn)榛瑝KA與B的行程差減小)，使末端點(diǎn)P(Px，Py，Pz)的Py減小，則P靠近中線．兩端形態(tài)不同的原因?yàn)?當(dāng)滑塊A或B一個位于起點(diǎn)，另一個前進(jìn)時，轉(zhuǎn)臺沿中線前進(jìn)，前進(jìn)的速度為A或B中點(diǎn)的移動速度v1與L3擺動在X方向的速度分量v2之差，故左端收縮距離長;當(dāng)滑塊A或B任意一個位于終點(diǎn)，另一個前進(jìn)時，轉(zhuǎn)臺沿中線前進(jìn)，前進(jìn)的速度為A或B中點(diǎn)的移動速度v1與L3擺動在X方向的速度分量v2之和，故右端收縮距離短．

在俯視圖上，只需要沿可達(dá)工作空間的外輪廓向內(nèi)推進(jìn)2rmax的距離就可以得到其靈巧工作空間投影，見圖17;正視圖上，只需距可達(dá)工作空間的外緣上下各推進(jìn)一個包絡(luò)面的高度值h，左右各推進(jìn)rmax就可以得到機(jī)器人的靈巧工作空間投影，見圖18．

圖17 可達(dá)和靈巧工作空間示意圖(俯視)

圖18 可達(dá)和靈巧工作空間示意圖(正視)

5 結(jié)論

1)分析了一種五自由度機(jī)器人的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動特點(diǎn).提出了根據(jù)齊次矩陣元素的物理意義選取有效等式的分析方法進(jìn)行矩陣逆變換求得運(yùn)動學(xué)逆解.求得的逆運(yùn)動學(xué)解析表達(dá)式形式簡潔，無理論誤差.

2)研究了該機(jī)器人作業(yè)局部點(diǎn)的靈巧性.根據(jù)可達(dá)工作空間規(guī)劃出了完整的靈巧工作空間模型，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動控制奠定了基礎(chǔ).

3)本文研究的五自由度工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)剛性大，位姿改變快速靈巧，作業(yè)效率高.配合不同的末端執(zhí)行器，可以完成弧焊、鉆孔、去毛刺、拋光、銑削等復(fù)雜曲面加工，應(yīng)用前景廣泛.

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