Berthelot方程在空氣中比熱容比的研究

陳 漓，陳志福，黃彩敏

(百色學(xué)院物理與電信工程系，廣西 百色 533000)

準(zhǔn)確測(cè)定氣體的比熱容比在熱力學(xué)理論及工程技術(shù)的應(yīng)用中起著重要的作用，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量氣體比熱容比的方法種類較多，絕熱膨脹法和振動(dòng)法是主要的兩種方法［1-2］.方法雖然簡(jiǎn)單但誤差較大，且運(yùn)用的范圍很有限，結(jié)果只適用于常溫常壓，較高壓強(qiáng)難以運(yùn)用.

氣體的比熱容比可以運(yùn)用聲速法進(jìn)行測(cè)定，用聲學(xué)共振干涉法可以準(zhǔn)確測(cè)出聲速的數(shù)值［3］.通過(guò)聲速的精確測(cè)量，運(yùn)用相關(guān)的熱力學(xué)關(guān)系式，可以較精確地導(dǎo)出氣體的比熱容比.國(guó)內(nèi)外大多數(shù)文獻(xiàn)基本上在這方面運(yùn)用理想氣體狀態(tài)方程的聲速公式推出氣體的比熱容比與聲速的關(guān)系［2-5］.文獻(xiàn)［2］運(yùn)用vdW 氣體研究比熱容比與聲速的關(guān)系，在中低壓范圍內(nèi)能較好地與實(shí)測(cè)值相適應(yīng).本文運(yùn)用實(shí)際氣體的Berthelot狀態(tài)方程的Virial形式來(lái)推導(dǎo)氣體比熱容比和聲速的關(guān)系式，與實(shí)驗(yàn)值相比較的結(jié)果具有較高的準(zhǔn)確性，這說(shuō)明用Berthelot氣體比熱容比關(guān)系式來(lái)描述實(shí)際氣體比熱容比的特性，具有比理想氣體和vdW氣體更強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

氣體比熱容比與聲速的關(guān)系可運(yùn)用氣體傳播特性來(lái)推導(dǎo).氣體在介質(zhì)中傳播過(guò)程可視為可逆絕熱過(guò)程，即等熵過(guò)程［6］.聲速可用下式表示.

式中:υ為聲速，p為壓強(qiáng)，ρ是物質(zhì)的密度，S是熵.

運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系式可得:

上式即為比熱容比與聲速的熱力學(xué)關(guān)系式，式中γ=Cp/CV為比熱容比，V為摩爾體積，Mm為氣體的摩爾質(zhì)量.

1 Berthelot氣體比熱容比與聲速關(guān)系的推導(dǎo)

對(duì)于(1)式，我們可通過(guò)熱力學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出一些結(jié)論.引入壓縮因子Z=，則(1)式可寫為:

把Virial方程以Berlin型展開(kāi)，則有:

Z(T，p)=1+B'(T)·p+C'(T)·p2+D'(T)·p3+ …這樣我們可以得到Berthelot equation of state

的一個(gè)等效的Berlin型Z表達(dá)式.

代入(2)式，在壓強(qiáng)不太高的情況下上式中壓強(qiáng)的高次項(xiàng)可忽略，因而有

上式即為Berthelot氣體的比熱容比與聲速的關(guān)系式.

把理想氣體狀態(tài)方程代入(1)式，我們可以得到理想氣體的比熱容比與聲速關(guān)系式

表1 壓強(qiáng)p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的空氣比熱容比γ數(shù)值

2 數(shù)據(jù)分析

為了對(duì)比理想氣體和Berthelot氣體的比熱容比，我們以空氣作為研究的對(duì)象，溫度和壓強(qiáng)范圍分別是100～100 0 K和0.101 3 MPa～1 MPa，把溫度和壓強(qiáng)的數(shù)值分別代入(3)、(4)式得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)給出的比熱容比進(jìn)行比較.在(3)、(4)式中，Mm、R和 a、b為常量，聲速 υ的值來(lái)自文獻(xiàn)［7］所提供的數(shù)據(jù).

表1是在壓強(qiáng)分別為p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的狀況下分別用理想氣體的方法和Berthelot氣體的方法對(duì)空氣的比熱容比計(jì)算得到的結(jié)果，并與實(shí)驗(yàn)值相互比較.在此我們應(yīng)用Matlab軟件，對(duì)表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理并繪制γ-T圖，如圖1、圖2所示.

圖1 壓強(qiáng)p=0.101 3MPa下的空氣比熱容比γ與溫度T的關(guān)系圖

圖2 壓強(qiáng)p=1.0 MPa下的空氣比熱容比γ與溫度T的關(guān)系圖

對(duì)表1的理論值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較，在壓強(qiáng)為p=0.101 3 MPa時(shí)，理想氣體狀態(tài)方程得到的空氣比熱容比平均誤差為0.99﹪，Berthelot氣態(tài)狀態(tài)方程得到的空氣比熱容比平均誤差為0.12﹪.在壓強(qiáng)為p=1.0 MPa時(shí)，理想氣體狀態(tài)方程得到的空氣比熱容比平均誤差為6.63﹪，Berthelot氣體狀態(tài)方程得到空氣比熱容比平均誤差為1.68﹪.

從表1以及圖1、圖2分析可以得到:在溫度T≥250 K時(shí)，理想氣體和Berthelot氣體都能較好地與實(shí)驗(yàn)值相吻合;當(dāng)溫度T≤250 K時(shí)，理想氣體偏差很大，尤其是當(dāng)壓強(qiáng)增大時(shí).而Berthelot氣體依然能較好體現(xiàn)出空氣比熱容比的實(shí)際情況.與文獻(xiàn)［2］比較，Berthelot氣體比熱容比與實(shí)驗(yàn)值的誤差也小于vdW氣體.

3 結(jié)論

從上述結(jié)果可以看出，Berthelot氣體比熱容比的變化規(guī)律與實(shí)際氣體比熱容比的變化相關(guān)性較好.實(shí)際氣體在相當(dāng)大的壓強(qiáng)范圍內(nèi)，更近似地遵守Berthelot狀態(tài)方程，無(wú)論是在低溫還是在壓強(qiáng)較高的情況下，Berthelot的比熱容比的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)值的誤差更小，曲線吻合的程度更好，這可以由表1、圖1和圖2反映出來(lái).由此我們認(rèn)為，這是Berthelot氣體在考慮分子引力項(xiàng)時(shí)引入了與溫度T的函數(shù)關(guān)系，這更能準(zhǔn)確反映出氣體狀態(tài)變化的特性.

［1］Chamberlain，Jeff.Determination of the specific heat ratio of a gas in a plastic syringe［J］.The Physics Teacher，2010(4):233-235.

［2］陳漓.vdW氣體比熱容比與音速關(guān)系的理論研究［J］.文山學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(6):56-60.

［3］Tsutomu Hozumi，Haruki Sato，Koichi Watanabe.Speed of sound in gaseous difluoromethane［J］.J.Chem.Eng.Data，1994，39:493-495.

［4］Bohn D A.Enviromental effects on the speed of sound［J］.Journal of the Audio Engineering Society，1988，36:223-231.

［5］George S K，Wong Tony，Embleton F W.Variation of specific heats and of specific heat ratio in air with hu-midity［J］.J Acoust Soc Am，1984，76(2):555-559.

［6］陳漓.理想氣體與vdW氣體聲速的研究［J］.百色學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(6):80-84.

［7］Lemmon E W，Penoncello S G，F(xiàn)riend D G，et al.Thermodynamic properties of air and mixtures of Nitrogen，Argon，and Oxygen from 60 to 2000 K at pressures to 2000 MPa［J］.Journal of Physical and Chemical Reference Data，2000(3):331-385.