N維陣研究及其地學(xué)應(yīng)用

2014-09-21 19:21:37申維

地球科學(xué)與環(huán)境學(xué)報(bào) 2014年2期

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41172302,40672196)

摘要：提出了N維陣的概念和常用的幾種定義和運(yùn)算，包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積，給出了其性質(zhì)及相應(yīng)的說(shuō)明；指出立體陣是N維陣的一個(gè)特例。N維陣方法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)多維數(shù)據(jù)表示更加簡(jiǎn)潔，理論分析較方便。最后，通過(guò)江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究和浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè)，說(shuō)明了N維陣在實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中的方法及步驟。N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)方面有著重要的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)地質(zhì)；N維陣；方括號(hào)乘法；Hadamard積；立體陣；元素組合；成礦預(yù)測(cè)

中圖分類號(hào)：P628；O189.12文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Study of Ndimensional Matrices and Its Application in Geology

SHEN Wei

(State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of

Geosciences, Beijing 100083, China)

Abstract: A new basic concept of Ndimensional matrices was presented by the cubic matrices conception. The definition and arithmetic （including addsubtract, bracket multiplication and Hadamard product） of Ndimensional matrices were studied and proved. The cubic matrices was a special case of Ndimensional matrices. The multidimensional data were expressed more brief and facility in theoretical analysis by the method of Ndimensional matrices. The geological examples, which included the research on CuZnAbAgSnAs element combination anomalies in the middlewest of JiangshanShaoxing matching belt and the metallogenic prediction of copper polymetallic ore in the western of Zhejiang, were given to illustrate the method and procedure of Ndimensional matrices in geological application.The method of Ndimensional matrices is considered as a good tool in exploration and forecast.

Key words: mathematical geology; Ndimensional matrices; bracket multiplication; Hadamard product; cubic matrices; element combination; metallogenic prediction

0引言

在地學(xué)研究中，經(jīng)常遇到多維數(shù)據(jù)，例如對(duì)于許多復(fù)雜的地質(zhì)現(xiàn)象，要考慮全局范圍各個(gè)方向的平穩(wěn)性，即區(qū)別各向同性或各向異性分布規(guī)律，同時(shí)它們包含多個(gè)因變量和層次，每個(gè)因變量和層次具有不同的統(tǒng)計(jì)特征，必須用多變量與多個(gè)參數(shù)（即多維數(shù)據(jù)信息）來(lái)描述，才能全面刻畫其特征。在礦床預(yù)測(cè)研究中經(jīng)常遇到以下難題：礦質(zhì)運(yùn)移及其空間展布具有多維性；礦床演變與控礦構(gòu)造具有多層次、多階段性等［19］。目前，對(duì)于地質(zhì)模型研究常用方法有非線性邏輯回歸模型、多維對(duì)數(shù)線性模型、多維標(biāo)度法和數(shù)量化理論等［1011］，但這些方法主要用于處理二維數(shù)據(jù)，因此，提出和研究處理多維數(shù)據(jù)的新方法是非常必要的［12］。N維陣概念的提出和應(yīng)用，為研究多維數(shù)據(jù)提供了一個(gè)有力的工具。筆者提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和運(yùn)算，包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積，同時(shí)研究了其性質(zhì)，認(rèn)為N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)中有重要應(yīng)用前景。

1N維陣的定義

定義1.1稱r1×r2×…×rn的n維數(shù)組S為N維陣，S=(si1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

例如，當(dāng)n=4時(shí)，i4、i3分別表示橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)（或經(jīng)緯度），i2表示高度（或高程），si1i2i3i4表示第i1種地球化學(xué)元素（如金）在三維坐標(biāo)(i2,i3,i4)處的數(shù)值，i1=1，2，…，r1。

定義1.2設(shè)S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣，定義S與T之和（差）為S±T=(si1i2…in±ti1i2…in) ，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

例如，當(dāng)n=4時(shí)，si1i2i3i4+ti1i2i3i4表示兩類地質(zhì)變量數(shù)據(jù)（如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù)）si1i2i3i4與ti1i2i3i4在三維坐標(biāo)(i2,i3,i4)處的數(shù)值之和，i1=1，2，…，r1。

定義1.3設(shè)A為m×r1階矩陣，S為r1×r2×…×rn的N維陣，定義A與S的方括號(hào)乘法T=［A］［S］為一個(gè)m×r2×…×rn的N維陣，即tsi2i3…in=∑r1 k=1askski2i3…in，1≤s≤m，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，…，1≤in≤rn。

特別地，當(dāng)n=4時(shí)，當(dāng)A等于a，為一個(gè)r1維向量時(shí)，T=［A］［S］為r2×r3×r4的三維陣，即ti2i3i4=∑r1 k=1akski2i3i4，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，1≤i4≤r4。例如，a=（a1，a2，…，ar1），其中，ak是權(quán)數(shù)，∑r1 k=1ak=1，ti2i3i4表示r1種地球化學(xué)元素（如金）si1i2i3i4在三維坐標(biāo)（i2,i3,i4）處的加權(quán)數(shù)值之和，i1=1，2，…，r1。

方括號(hào)乘法的基本性質(zhì)為

［A±B］［S］=［A］［S］±［B］［S］（1）

［A］［S±T］=［A］［S］±［A］［T］（2）

式中：A、B為m×r1階矩陣。

定義1.4設(shè)S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣，定義S與T的Hadamard積ST=(si1i2…in·ti1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

Hadamard積的基本性質(zhì)為

ST=TS（3）

（ST）U=S（TU）（4）

（S+T）U=SU+TU（5）

式中：S、T、U均為r1×r2×…×rn的N維陣。

定義1.5設(shè)k為一個(gè)常數(shù)，S為r1×r2×…×rn的N維陣，定義T=kS=(ksi1i2…in)，為r1×r2×…×rn的N維陣，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。

2立體陣的定義

立體陣的概念及運(yùn)算最早由Bates等在1980年提出［13］，1983年Tsai在博士論文中對(duì)其進(jìn)行了初步整理，1989年中國(guó)學(xué)者韋博成在Tsai博士論文的基礎(chǔ)上進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)和擴(kuò)充［14］。立體陣在非線性模型的非線性強(qiáng)度度量中有廣泛的應(yīng)用，在估計(jì)非線性模型的固有曲率和參數(shù)效應(yīng)曲率時(shí)，起著關(guān)鍵的作用，在非線性回歸分析、搏弈論與經(jīng)濟(jì)學(xué)等中都有廣泛的應(yīng)用前景。實(shí)際上，立體陣是N維陣的一個(gè)特例（n=3）。

定義2.1定義n×p×q的三維數(shù)組X=(xkij)為立體陣［13］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。其表達(dá)式為

X=X1



Xn（6）

其中Xk=xk11 … xk1q



xkp1 … xkpq

例如，j、i分別表示橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)（或經(jīng)緯度），xkij表示第k種地球化學(xué)元素（如金）在坐標(biāo)(i,j)處的數(shù)值，k=1，2，…，n。

定義2.2設(shè)X和Y均為n×p×q立體陣，定義X與Y之和（差）為X±Y=(xkij±ykij)［15］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。

例如，xkij+ykij表示兩類地質(zhì)變量數(shù)據(jù)（如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù)）xkij與ykij在坐標(biāo)(i,j)處的數(shù)值之和，k=1，2，…，n。

定義2.3設(shè)A為m×n階矩陣，X為n×p×q立體陣，定義A與X的方括號(hào)乘法Y=［A］［X］［15］，為一個(gè)m×p×q的立體陣，即ysij=∑n k=1askxkij，1≤s≤m，1≤i≤p，1≤j≤q。

特別地，當(dāng)A=a，為一個(gè)n維向量時(shí)，Y=［a］［X］為p×q階矩陣，即yij=∑n k=1akxkij，1≤i≤p，1≤j≤q。例如，a=（a1，a2，…，an），其中ak是權(quán)數(shù)，∑n k=1ak=1，yij表示n種地球化學(xué)元素（xkij）在坐標(biāo)(i,j)處的加權(quán)數(shù)值之和，k=1，2，…，n，1≤i≤p，1≤j≤q。

方括號(hào)乘法的基本性質(zhì)(立體陣)

［C±D］［X］=［C］［X］±［D］［X］(7)

［C］［X±Y］=［C］［X］±［C］［Y］(8)

式中：X、Y為2個(gè)n×p×q立體陣；C、D為m×n階矩陣。

定義2.4設(shè)X和Y均為n×p×q立體陣，定義X與Y的Hadamard積XY=(xkijykij) ［16］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。

Hadamard積的基本性質(zhì)(立體陣)

XY= YX(9)

（XY）Z=X（YZ）(10)

（X+Y）Z=XZ+YZ(11)

式中：Z為n×p×q立體陣。

定義2.5設(shè)k為一個(gè)常數(shù)，X為n×p×q立體陣，定義Y=kX=kX1

kX2



kXn為n×p×q立體陣。

3應(yīng)用實(shí)例

3.1江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究

江紹拼合帶中西段1∶200 000地球化學(xué)元素Cu、Zn、Ab、Ag、Sn和As的數(shù)據(jù)（每個(gè)元素的數(shù)據(jù)量為5 544個(gè)）可以組成6×56×99的三維數(shù)組X=(xkij)，即立體陣，1≤k≤6，1≤i≤56，1≤j≤99。通過(guò)成礦及伴生元素共生組合規(guī)律研究，確定相關(guān)性較強(qiáng)的元素組合。以相關(guān)性較強(qiáng)元素的地球化學(xué)觀測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，計(jì)算多元素的累加指數(shù)值，定量表示和研究地球化學(xué)元素組合異常及其空間分布規(guī)律。最常用的方法是通過(guò)多元相關(guān)分析方法，確定成礦元素組合，然后用元素累加指數(shù)制作元素組合異常等值線圖(圖1)。

累加指數(shù)計(jì)算公式為

(zij)=∑6 k=1xkij ∑56 i=1∑99 j=1xkij/(56×99)=［a］［X］（12）

其中a=∑56 i=1∑99 j=1x1ij/(56×99)

∑56 i=1∑99 j=1x2ij/(56×99)



∑56 i=1∑99 j=1x6ij/(56×99)，

1≤i≤56，1≤j≤99。

3.2浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè)

根據(jù)浙西地區(qū)1∶200 000地質(zhì)圖和相關(guān)礦種分布圖，在對(duì)區(qū)域地質(zhì)背景深入分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)

圖1CuZnPbAgSnAs元素組合異常等值線

Fig.1Contour Map of CuZnAbAgSnAs Element Combination Anomalies

需要預(yù)測(cè)礦種與地質(zhì)背景的關(guān)系，提取以下信息作為地質(zhì)預(yù)測(cè)變量（圖層）：有利地層面積百分比（X1）；地層組合熵（X2）；同熔型及重熔型花崗巖存在與否（X3）；燕山期巖體存在與否（X4）；斷裂等密度（X5）；斷裂交點(diǎn)數(shù)（X6）；銀礦點(diǎn)數(shù)（X7）；金礦點(diǎn)數(shù)（X8）；鉛鋅礦點(diǎn)數(shù)（X9）；鐵礦點(diǎn)數(shù)（X10）；成礦元素簇團(tuán)因子異常得分（X11）。

將研究區(qū)劃分為5 km×5 km的網(wǎng)格單元，共1 755個(gè)單元，每個(gè)單元可以看作平面上的一個(gè)點(diǎn)，計(jì)算11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量（圖層）的每個(gè)單元成礦有利度（即銅多金屬礦發(fā)生的條件概率），其中安徽、江西單元部分（共301個(gè)）的有利度設(shè)為0。這樣，11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量（圖層）Xk的成礦有利度可以組成11×39×45的三維數(shù)組X=(xkij)，即立體陣，1≤k≤11，1≤i≤39，1≤j≤45。其中，i、j表示單元的坐標(biāo)。將11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量（圖層）的成礦有利度加權(quán)平均，得到浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦有利度等值線圖（圖2)。

成礦有利度加權(quán)平均值為

(yij)=∑11 k=1akxkij=［a］［X］（13）

其中X=X1



X11，1≤i≤39，1≤j≤45

a=（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11）=(012,0.08,0.05,0.09,0.06,0.01,0.19,021,0.01,0.05,0.13)

式中：ak為相應(yīng)的地質(zhì)預(yù)測(cè)變量（圖層）權(quán)數(shù)，∑11 k=1ak=1。

4結(jié)語(yǔ)

（1）提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和

圖2銅多金屬礦成礦有利度等值線

Fig.2Contour Map of Oreforming Favorability of Copper Polymetallic Deposit

運(yùn)算，包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積，并給出了其性質(zhì)及相應(yīng)的說(shuō)明。

（2）通過(guò)江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究與浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè)，說(shuō)明N維陣在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的方法及步驟，認(rèn)為N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)中有著重要的應(yīng)用前景。

（3）N維陣方法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)多維數(shù)據(jù)表示與分析更加簡(jiǎn)潔與方便。N維陣也是處理空間和時(shí)間地質(zhì)空間多維數(shù)據(jù)的有效工具。

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