二維Tsallis熵在圖像閾值分割中的應(yīng)用*

林倩倩， 歐聰杰

(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引 言

圖像閾值分割因其算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、性能穩(wěn)定而成為應(yīng)用最廣泛的分割技術(shù)之一。該方法是假設(shè)圖像中的目標(biāo)和背景之間有較為明顯的視覺差異，則該圖像的灰度直方圖將呈現(xiàn)雙峰分布的結(jié)構(gòu)，在雙峰之間的低谷處選擇閾值從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)和背景的分離。然而,由于圖像的任意性和復(fù)雜性，多數(shù)時(shí)候它們的直方圖分布并不呈現(xiàn)明顯的雙峰特征，針對(duì)這些情況，至今已提出了多種自動(dòng)選取閾值的分割方法，如最大類間方差法[1]、最大Shannon熵法[2]等，均得到有效應(yīng)用。其中基于最大Shannon熵法是通過最大化圖像灰度直方圖的Shannon熵，從而獲得最優(yōu)閾值來進(jìn)行圖像分割。為進(jìn)一步提高該方法的抗噪聲能力，該方法中的灰度直方圖也從一維分布被拓展到二維分布，在低信噪比的情況下,該方法也能取得較好的分割效果[3,4]。近年來，受到非廣延統(tǒng)計(jì)物理的啟發(fā)，Shannon熵已被推廣到一種新的形式：Tsallis熵，以便更好地描述系統(tǒng)內(nèi)部的復(fù)雜相互作用[5,6]，現(xiàn)已有越來越多的研究者將其引入到圖像閾值處理中[7～9]。值得一提的是，Tsallis熵在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的引入是基于物理系統(tǒng)內(nèi)部存在的長(zhǎng)程相互作用這一實(shí)驗(yàn)背景的[10,11]。對(duì)應(yīng)于圖像處理，這種長(zhǎng)程作用可理解為圖像內(nèi)部各個(gè)像素點(diǎn)的灰度值之間存在的關(guān)聯(lián)[7～9]，這種關(guān)聯(lián)有別于上文提到的領(lǐng)域像素點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，它是全局性的。然而，由于圖像類別的多樣性，并非所有圖像內(nèi)部的像素灰度關(guān)聯(lián)都是全局性的，例如:基于熱輻射原理的紅外成像，對(duì)于目標(biāo)整體而言，其表面各點(diǎn)的溫度分布存在一定聯(lián)系，導(dǎo)致目標(biāo)內(nèi)各像素的亮度值之間存在關(guān)聯(lián)，但目標(biāo)和背景之間的溫度分布則未必相關(guān)?；诖耍疚奶岢隽艘环N新的閾值判斷標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合二維直方圖的優(yōu)勢(shì)，用于處理紅外成像、無損檢測(cè)等目標(biāo)和背景之間無明顯關(guān)聯(lián)的圖片。

1 基于二維灰度直方圖的Tsallis閾值法

1.1 Tsallis熵與圖像分割的關(guān)系

Tsallis熵是Boltzmann-Gibbs-Shannon熵的推廣，其定義如下

(1)

式中n為灰度階，pi為圖像內(nèi)灰度值為i的像素點(diǎn)所占的百分比,實(shí)數(shù)q為一個(gè)描述像素點(diǎn)間長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的量，q的取值趨于1時(shí)，長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)消失，式(1)退化成Shannon的形式。Tsallis熵在數(shù)學(xué)上具有如下佯可加性

Hq(A+B)=Hq(A)+Hq(B)+(1-q)Hq(A)Hq(B).

(2)

在圖像的二值化處理中，A和B分別代表了目標(biāo)和背景，那么,上式右邊第三項(xiàng)就對(duì)應(yīng)于像素點(diǎn)的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)。需要指出的是，這種長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)來自于Tsallis熵的內(nèi)在屬性，它不僅存在于目標(biāo)和背景之間，更存在于目標(biāo)(或背景)內(nèi)部的互不相鄰的像素點(diǎn)之間，調(diào)節(jié)q值使得閾值分割更為靈活、準(zhǔn)確。Sahoo P K等人[7]提出的基于二維最大Tsallis熵原理的閾值分割方法，進(jìn)一步提高了這類閾值分割法的抗噪能力。

設(shè)圖像的尺寸為M×N，灰度取值范圍為G={0，1,…L-1}，f(x,y)表示圖像在坐標(biāo)為(x,y)處的像素灰度值，g(x,y)表示圖像在該像素k×k鄰域內(nèi)的灰度平均值，則{f(x,y),g(x,y)}∈G，1≤x≤M,1≤y≤N。若取k=3為例，則

(3)

式中 ?r」表示r的整數(shù)部分,則灰度值f=i且鄰域平均灰度值g=j的像素點(diǎn)出現(xiàn)的概率為

(4)

圖1 二維直方圖

(5)

(6)

將式(5)、式(6)代入式(1)可求得二維Tsallis目標(biāo)熵和背景熵分別為

(7)

(8)

Sahoo定義的準(zhǔn)則函數(shù)如下[7]

(9)

根據(jù)熵極值原理，使準(zhǔn)則函數(shù)Hq(s,t)獲得最大值的(s*,t*)則為最佳閾值，即

(10)

1.2 新的閾值判據(jù)

上述的Sahoo法在許多種類的圖片分割中都獲得了成功，但如前所述，圖像內(nèi)部各個(gè)像素點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)并非所有情況都是全局性的。例如:對(duì)于圖2中的PCB這張無損檢測(cè)圖片，背景的灰度相對(duì)比較均勻，而目標(biāo)部分的灰度差別較大。通過一維灰度直方圖分布也可以看出背景部分的像素點(diǎn)分布非常集中，形成尖峰，而目標(biāo)像素點(diǎn)的灰度分布則比較廣泛。由此可以判定該圖中背景像素的灰度值之間存在長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)，而目標(biāo)區(qū)域內(nèi)像素的灰度值關(guān)聯(lián)相對(duì)較弱，甚至可能并不存在?；诖?本文對(duì)Sahoo法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的閾值判斷準(zhǔn)則如下

(11)

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

利用上述提出的新的閾值判別準(zhǔn)則，本文對(duì)一些紅外線圖片和無損檢測(cè)圖片進(jìn)行了閾值分割實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該方法的結(jié)果準(zhǔn)確且抵抗噪聲穩(wěn)健。限于篇幅，現(xiàn)取其中的四幅圖像作為示例，見圖2～圖5(a)，其中圖5(a)疊加有噪聲。從圖中可以看出：這些圖片具有如下共同特點(diǎn)：1)一部分像素點(diǎn)的分布相對(duì)集中，而另一部分像素的分布范圍較廣；2)目標(biāo)和背景之間沒有明顯的全局性長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)。一般情況下，q的合理取值范圍為0.5≤q≤1.0[6]。表1列出了Sahoo法和本文提出的方法對(duì)上述幾幅圖像進(jìn)行分割時(shí)得到的結(jié)果比較?？梢钥闯?本文提出的方法得到的閾值對(duì)q值的變化響應(yīng)更加靈敏，這也驗(yàn)證了上述“局部長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)”假設(shè)的有效性。將不同q值所對(duì)應(yīng)的分割結(jié)果與基準(zhǔn)圖進(jìn)行比對(duì)，可以確定最佳的q值，如Pcb(q=0.9),Cell(q=0.8)等。表1的結(jié)論說明對(duì)于不同的圖像，它們內(nèi)部的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度不會(huì)相同，符合自然界圖像的復(fù)雜性特征。而對(duì)于Sahoo法，在合理的q值范圍內(nèi)，所得到的結(jié)果幾乎不變，因而,無法確定最佳q值。圖2～圖5列出了上述2種方法對(duì)這四幅測(cè)試圖像進(jìn)行閾值化時(shí)獲得的最佳分割結(jié)果，進(jìn)一步展示本文方法的有效性。

表1 測(cè)試圖片在不同q值下的閾值結(jié)果

圖2 PCB圖像及其最佳分割結(jié)果

圖3 Cell圖像及其最佳分割結(jié)果

圖4 Person圖像及其最佳分割結(jié)果

圖5 People圖像及其最佳分割結(jié)果

3 結(jié) 論

Tsallis熵是統(tǒng)計(jì)物理中用于描述內(nèi)部存在長(zhǎng)程相互作用系統(tǒng)的有效工具。若把圖像的灰度直方圖看成一種幾率分布，則可以利用這種熵的特性有效鑒別圖像內(nèi)部像素灰度間存在的關(guān)聯(lián)性。但由于自然界圖像的復(fù)雜性，并非所有的圖像內(nèi)部都存在均勻的全局性關(guān)聯(lián)?；诖?，本文對(duì)圖像灰度直方圖所包含的信息進(jìn)行分析并判斷其內(nèi)部的關(guān)聯(lián)特征，對(duì)于目標(biāo)和背景間不存在明顯關(guān)聯(lián)的圖片提出一種新的閾值判據(jù)，這種方法建立在二維熵的基礎(chǔ)上，具有良好的抗噪性，并且兼顧了目標(biāo)和背景做為獨(dú)立分布時(shí)所包含信息的完整性，進(jìn)行閾值分離所得到的結(jié)果證明了這種方法的有效性。

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