任意排列的空心管樁屏障對SH波的多重散射

孫苗苗

（1. 浙江省水利河口研究院，杭州 310020；2. 浙江省水利防災(zāi)減災(zāi)重點實驗室，杭州 310020）

1 引 言

對人工振動引起的屏蔽和隔離，工程中通常采用連續(xù)或非連續(xù)屏障來阻斷彈性波的傳播。盡管連續(xù)屏障對振動的隔離能起到理想的效果，但在濱海軟土或高地下水位地區(qū)開挖和設(shè)置連續(xù)屏障均存在較大困難，且其由于深度限制對波長較長的入射波無法進(jìn)行有效的隔離。故近年來將以排樁為代表的非連續(xù)屏障作為替代連續(xù)屏障的選擇之一。對非連續(xù)屏障而言，工程中所用的排樁大部分為實心樁，然而在樁與土體的剛度比較小時，亦即彈性樁情況下，隔離效果往往不如剛性樁。因此，可以采用空心管樁代替實心樁作為非連續(xù)屏障的材料，它不僅可以較實心樁更節(jié)省材料，施工更為便捷，并且由于中空的結(jié)構(gòu)，實際上阻斷了波傳播的介質(zhì)，從而可取得比實心樁更好的隔振效果，甚至可與連續(xù)屏障相當(dāng)。

作為管樁隔振屏障研究的理論基礎(chǔ)，對彈性介質(zhì)中殼體對聲波以及電磁波的散射已有較多文獻(xiàn)報道。Huang等[1－2]研究了兩個球形殼體對相干頻率聲波的散射；Robert等[3]對有限個柱形空穴對彈性波的散射進(jìn)行了研究；Le Bas等[4]研究了水中多個殼體對彈性波的多重散射和分裂現(xiàn)象。盡管多重散射在聲波與電磁波領(lǐng)域已取得較為成熟的研究成果，但在管樁屏障隔振中的研究仍然處于起步階段；Kattis等[5－6]運用頻域邊界元法，對排樁隔振的問題進(jìn)行了三維求解，實心樁與空心樁的研究結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，空心樁較實心樁更佳，同時樁間距須保持在一定范圍內(nèi)才能保證有效的屏蔽作用；徐平等[7－8]運用波函數(shù)展開法對單排空心管樁對平面 P波和SV波的散射隔離進(jìn)行了解析求解；Tsai等[9]也同樣運用三維頻域邊界元法研究了單排空心管樁與實心樁的隔離效果。對比不同樁型發(fā)現(xiàn)，管樁的減振作用明顯強于實心樁。

即便如此，對于管樁作為非連續(xù)屏障的多重散射理論仍較為少見。以上文獻(xiàn)對管樁的理論解中散射重數(shù)的假設(shè)僅停留在單重散射，其他大多采用頻域邊界元等數(shù)值解法，更未把管樁屏障設(shè)為更一般的任意排列形式，對其截面大小也局限于單一，在實際應(yīng)用中，僅能對單排直線排列的管樁屏障作出求解。

本文基于聲波和電磁波的多重散射理論[10－11]，假設(shè)土體為各向同性的均勻單向彈性體，采用波函數(shù)展開法，構(gòu)造了管樁內(nèi)部的透射場，假定樁-土邊界滿足界面應(yīng)力和位移連續(xù)條件，管樁內(nèi)部邊界為完全自由，求解任意排列、任意半徑的空心管樁屏障對平面SH波的多重散射和透射復(fù)系數(shù)，進(jìn)而確定了散射和透射場，最終求得了總波場的解。算例中對比討論了單排以及多排空心管樁對彈性波的隔離效果，并對影響屏蔽作用的參數(shù)做出了分析。當(dāng)內(nèi)半徑為0時，即退化為一般的彈性實心樁解，從而驗證了此理論的正確性，得到了更為一般的任意排列、任意半徑的圓柱形排樁對彈性波的多重散射理論解。

2 基本問題與模型

2.1 模型

任意布置、任意半徑的非連續(xù)空心管樁屏障對入射平面波的散射計算模型如圖1所示，假設(shè)圓環(huán)截面射體外的介質(zhì)也同樣為各向同性、均質(zhì)和無限彈性的，介質(zhì)的Lamé常數(shù)為λ和G，質(zhì)量密度為ρ。散射體的軸線假設(shè)為無限延伸，沿軸線方向不存在位移。其中管樁s的內(nèi)半徑為bs，對坐標(biāo)系以及分析模型的定義和假設(shè)與實心樁模型一致[12－13]。假設(shè)入射SH波與樁身軸線平行，則與實心樁問題不同的是，透射至管樁內(nèi)部的彈性波存在兩種波形：一種向外傳播的發(fā)散駐波以及一種向內(nèi)傳播的匯聚駐波[14]，對所有管樁s內(nèi)部的透射波場勢函數(shù)的展開式，可以寫為

式中：上標(biāo)t表示透射；sBm和sCm同為第s根管樁在第m重散射下的待定透射復(fù)系數(shù)； Hn(i)(?)表示第i類n階Hankel函數(shù)，i=1或2；波數(shù)β下標(biāo)p表示樁身。

圖1 任意排列、任意直徑的空心圓柱散射體對平面波的散射分析模型Fig.1 Geometric model and analysis coordinate systems of multiple scattering of plane waves by arbitrarily arranged and configured scatterers

對研究對象第s根空心管樁而言，為應(yīng)用邊界條件，需要將入射波位移勢展開成圓柱坐標(biāo)下Fourier-Bessel級數(shù)形式：

式中：w為SH波位移勢函數(shù)；上標(biāo)inc表示入射波，βs為SH波波數(shù)，下標(biāo)s表示土體介質(zhì)；Jn(?)為第一類 Bessel函數(shù)； ?s=θs+θ0+ π/2，同時約去了共有的時間因子 e-iωt和初始位移振幅w0。

散射波場勢函數(shù)展開也與文獻(xiàn)[12－13]相同：

式中：w上標(biāo)sc表示散射；A為待定復(fù)系數(shù)；下標(biāo)m表示散射重數(shù)；為第1類Hankel函數(shù)。

2.2 散射與透射系數(shù)求解

為了求解待定散射和透射復(fù)系數(shù)，首先考慮第1重散射(m =1)，假設(shè)樁-土邊界滿足彈性邊界條件，即樁-土邊界位移、應(yīng)力連續(xù)，管樁內(nèi)部邊界徑向應(yīng)力自由：

式中：w上標(biāo)t表示透射，剪切模量G的下標(biāo)s和p表示土體與樁身材料。

將式（1）～（3）代入式（4），得到第1重待定散射復(fù)系數(shù)為

其中

式中：ρ下標(biāo)的s、p與剪切模量G下標(biāo)含義相同，分別代表土體與樁身的質(zhì)量密度。

于是可得第1重透射復(fù)系數(shù)為

由于被管樁s散射的第m-1重散射波恰好又是激發(fā)第m重被管樁s′散射的次生波源，故第m重散射（m≥2）過程應(yīng)將管樁s′的參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化至m-1重散射的管樁s下。采用Graf加法定理對波函數(shù)進(jìn)行移軸轉(zhuǎn)換，即

同時管樁內(nèi)部透射波場受到其他樁透射波激發(fā)的次生透射波可忽略，故不考慮透射波的多重疊加，m 重散射（m≥2）時，樁-土介質(zhì)邊界條件為

因此，可得到第m重(m≥2)待定散射復(fù)系數(shù)為

其中

第m重(m≥2)透射復(fù)系數(shù)為

當(dāng)Gr→∞時，→∞；或者當(dāng)管樁內(nèi)半徑bs→ 0，Hankel函數(shù)→ 0，與第1重散射系數(shù)類似，求得的m重散射系數(shù)均可退化成m重圓柱形固定剛性實心樁的散射系數(shù)[12]或者彈性實心樁的散射系數(shù)[15]。因此，上述表達(dá)式可視為圓柱形樁對彈性SH波散射系數(shù)的一般表達(dá)式。

所有的散射、透射系數(shù)求得之后，即可求得總散射及透射波場的解。

3 算例與分析

為了與以往的多排實心樁屏障的數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行對比，采用與之類似的計算模型[12－13]，同樣假設(shè)屏障中平行列于介質(zhì)中的各樁材料參數(shù)一致，樁身泊松比為νp，Lamé常數(shù)為λp、Gp，樁身質(zhì)量密度為ρp；與此相對地，土體的材料參數(shù)下標(biāo)為s，比值的下標(biāo)為 r。管樁 s的外半徑為 as，內(nèi)半徑為bs，屏障中樁數(shù)為 N，樁間距為 sp，屏障的總寬度L=(N-1)×sp，排間距為h，單（多）排樁屏障的坐標(biāo)系統(tǒng)見圖2。

圖2 管樁屏障對平面波散射的參考系和分析模型 (N=8)Fig.2 Reference system and analysis model of incident plane waves scattering by rows of piles (N=8)

假設(shè)初始振幅為φ0、ψ0、w0的穩(wěn)態(tài)平面波垂直入射至屏障，入射角θ0=π/2。計算時入射平面波在不同介質(zhì)中的頻率，排樁的幾何參數(shù)都進(jìn)行無量綱化處理：

式中：頻率η與波長λ右下角標(biāo)第1個字母代表S波入射；第2個字母或者波數(shù)α和β下角標(biāo)s或p分別代表土體或樁。無量綱化位移振幅|u/u0|、|v/v0|、|w/w0|表示總位移振幅與入射波位移振幅的比值，Bessel函數(shù)展開項截斷至n=8。

“哈哈哈……”左達(dá)突然放聲大笑起來，“是嗎？是我自以為聰明，還是你自以為聰明？你想過沒有，你的錢包在我身上，萬一我死了，你怎么解釋？”

3.1 散射重數(shù)

圖3所繪為在不同的散射重數(shù)m (1≤m≤4)下，壁厚為 1/10半徑的管樁屏障后中線上無量綱位移振幅的變化曲線（其中ηss=0.4，Gr=10，sp=3.0as，N=8）。從圖中可以看出，在隔離屏障后有與實心樁屏障相類似的振幅放大現(xiàn)象。當(dāng)散射重數(shù)逐漸增加，數(shù)值計算的無量綱位移振幅增量絕對值逐漸減少，當(dāng)增加至3到4重散射時，曲線幾近重合。這種與以往只考慮單重散射計算，忽略相干相位關(guān)系假設(shè)的計算結(jié)果相差較大，并且可以觀察到多排樁屏障的多重散射現(xiàn)象比單排樁更為明顯，圖3(b)所示屏障后相當(dāng)長一段距離內(nèi)(50≤y/as≤200)，若僅按照單重散射計算位移振幅將是考慮多重散射的 1.5～4.0倍左右，這無疑給工程設(shè)計帶來較大的計算誤差，也造成了材料的浪費，故不能忽略后續(xù)多重散射對散射波造成的影響。從散射重數(shù)收斂的特性來看，后文中都將以m=4作為數(shù)值分析的截斷項，這也與文獻(xiàn)[12]在相同的多重散射假設(shè)下對剛性實心樁屏障的計算結(jié)果一致。從圖3(a)和(b)的對比來看，逐漸拉大管樁之間的距離可使得沿屏障后中線上的位移振幅顯著減小?？梢娫?00≤y/as≤300區(qū)間內(nèi)，同樣樁數(shù)的雙排樁較單排樁隔離了超過兩倍的入射波。

圖3 管樁屏障后中線上無量綱位移振幅隨散射重數(shù)的變化曲線Fig.3 Normalized displacement amplitudes curves along midline behind the isolation system under different scattering orders by rows of tubular piles

3.2 屏障后不同位置

為了研究管樁屏障后一定距離范圍內(nèi)不同位置的隔離表現(xiàn)，圖 4繪出了單排和雙排樁后的|w/w0|隨距離變化的影響曲線（其中ηss=0.4，sp=3.0asbs=0.9as，m=4，N=8）?？梢钥闯?，越靠近屏障中線，所取得位移振幅的減小效果越顯著。對單排管樁（見圖4(a)），在50≤y/as≤100區(qū)域內(nèi)，屏障中部(x/as=12)的位移振幅是屏障邊緣(x/as=21)的1/3左右；還能觀察到在0≤y/as≤50范圍內(nèi)，集中于屏障中部(x/as=12)仍然存在一定的位移振幅放大現(xiàn)象，而屏障邊緣(x/as=21)的放大效應(yīng)卻不明顯。然而當(dāng)y/as≥200，因散射波振蕩衰減并趨于平穩(wěn)使得屏障中部與邊緣只存在微小的幅值區(qū)別。同時，從圖4(b)可以看出，樁-土剪切模量之比和排樁排距的增大（即從空心管樁變?yōu)閯傂詫嵭臉肚矣蓡闻抛優(yōu)殡p排）將使得最佳的屏蔽區(qū)域退后至 100≤y/as≤200，位移振幅也在不斷減小，該結(jié)果表明，雙排剛性實心樁的隔離效果要好于單排空心管樁，此結(jié)論也與后續(xù)的參數(shù)分析一致。

圖4 管樁屏障后不同位置處無量綱位移振幅的變化曲線Fig.4 Normalized displacement amplitudes at different positions behind barrier

3.3 管樁內(nèi)外半徑之比

管樁內(nèi)外半徑之比是異于實心樁且十分重要的參數(shù)分析指標(biāo)之一，在以往的研究中幾乎很少有所涉及。圖5繪出了單排和雙排管樁屏障在SH波入射下隨著管樁內(nèi)外徑之比bs/as逐漸增加，屏障后中線上的位移振幅變化曲線（其中ηss=0.4，Gr=100，sp=3.0as，m=4，N=8）。樁-土剪切模量比 Gr=100，樁間距sp取3倍樁外半徑。從圖5中可以觀察到，位移振幅的大幅度減少出現(xiàn)在隔振系統(tǒng)后 50≤y/as≤200的范圍內(nèi)。圖5(a)、(b)所繪 SH波入射時，不論單排還是雙排樁，當(dāng)壁厚與外半徑之比減小到1/10時，位移振幅|w/w0|減少到0.3，此值只相當(dāng)于bs/as=0時，亦即是管樁退化成彈性實心樁屏障時位移振幅|w/w0|的3/5左右。另外，對比圖5(a)、(b)可以看出，對管樁屏障而言，雙排樁同樣優(yōu)于單排樁。以上結(jié)果表明，在使用同樣外徑的排樁作為隔振屏障的情況下，管樁不僅能較實心樁取得更有效的屏蔽作用，同時也能節(jié)省更多的樁身材料。鑒于此，管樁不失為一種更加經(jīng)濟實用的非連續(xù)屏障材料，故下文將取管樁內(nèi)、外半徑之比bs/as=0.9進(jìn)行分析。

圖5 管樁屏障后中線上無量綱位移振幅隨管樁內(nèi)外半徑之比的變化曲線Fig.5 Normalized displacement amplitudes curves along midline behind isolation system under different ratios of internal and external diameters of tubular piles

3.4 樁土剪切模量之比

圖6考查了樁-土剪切模量比Gr變化時雙排管樁屏障后無量綱位移的等高線變化（其中ηss=0.4,sp=3.0as，h=3.0as，bs=0.9as，m=4，N=8）。排樁的樁間距與排間距均取3.0倍樁外半徑，Gr從10增加至+∞。圖 6(a)～(d)所示屏障后|w/w0|隨著剪切模量增加逐漸減小，亦即當(dāng)樁身材料相對于土體趨于剛性時，排樁發(fā)揮越來越明顯的屏蔽作用?？梢钥闯觯珿r=10時樁后|w/w0|最小值為 0.5，分布于距離屏障50≤y/as≤100的中心區(qū)域；當(dāng)Gr增加10倍時，圖6(b)中樁后|w/w0|最小值減小至0.2；Gr再增加10倍，如圖6(c)所示當(dāng)Gr=1 000時，|w/w0|的減小量不明顯，最小值保持在0.1左右，直至Gr=+∞，無量綱位移曲線幾乎已與Gr=1 000時重合。此外還可以發(fā)現(xiàn)，最佳屏蔽區(qū)域隨著Gr的增加逐漸后移，樁后的振幅放大現(xiàn)象也隨Gr的增加而漸趨明顯。該結(jié)果表明，剛性樁的隔離效果遠(yuǎn)優(yōu)于彈性樁，不僅與前文的研究結(jié)果吻合，也從另一方面說明了空心管樁在數(shù)值計算時的收斂特性，即當(dāng)樁-土剪切模量比超過一定值(Gr≥1 000)即可退化至剛性樁。

圖6 雙排管樁屏障后無量綱位移振幅隨樁土模量比的等高線變化圖Fig.6 Contours of normalized displacement amplitudes by double-row tubular piles with variation of pile-soil shear modulus ratio

3.5 樁間距

圖7為管樁隔振系統(tǒng)后不同位置處不同樁間距的無量綱位移振幅曲線（其中ηss=0.4，h=0，Gr=500，bs=0.9as，m=4，N=8）。在排樁系統(tǒng)后不同距離處(y/as= 150，y/as=200)的位移振幅均呈現(xiàn)出類似變化，即越接近屏障中心處，減小量越為明顯。隨著樁間距sp/as由3.0變化至5.0，可觀察到中心位移振幅發(fā)生了可觀的增長，sp/as=5.0時中心處的位移振幅約是sp/as=3.0時的2倍到2.5倍。對該現(xiàn)象的物理解釋與實心樁屏障相同，即隔振屏障在保證一定范圍的間距情況下（通常相較于樁徑），表現(xiàn)出一種類似于連續(xù)屏障的整體屏障隔離效應(yīng)；而伴隨樁間距逐漸拉大，樁群又逐漸顯示出一系列獨立管樁的特性，只在接近屏障邊緣的部分不同樁間距的無量綱位移慢慢收斂。除此之外，還可見所考查屏障后的位置在較近處（y/as=150）表現(xiàn)出比較遠(yuǎn)處（y/as=200）更強的振蕩特性，這也與實心樁的隔離結(jié)果類似。為保證高效的屏蔽效果，建議使用管樁間距sp/as= 3.0作為實際工程中隔振屏障的設(shè)計準(zhǔn)則。

圖7 管樁屏障后不同位置處無量綱位移隨樁間距的變化曲線Fig.7 Normalized displacement amplitudes curves with different separations of tubular piles

3.6 排間距的影響

多排管樁排間距 h/as對隔振效果的影響見圖8（其中ηss=0.4，Gr=10，bs=0.9as，sp=3.0as，m=4，N=8）。除了緊靠屏障后普遍存在的振幅放大效應(yīng)之外，可見緊鄰放大區(qū)之后出現(xiàn)振幅急劇下降的現(xiàn)象，幾乎在屏障前形成了一片凹陷部分。圖 8(a)中，在排間距 h=0的情況下，|w/w0|保持在平均 0.7～0.8之間；而圖8(b)顯示，|w/w0|下降至0.4～0.6之間，此時的排間距已經(jīng)增大至h/as=3.5。此結(jié)果表明，在不增加樁數(shù)的前提下，通過增大管樁屏障排與排之間的距離，可使屏障后位移振幅顯著減小，亦即屏障厚度與樁徑之比超過一定范圍將導(dǎo)致樁列與樁列間逐漸孤立而不再成為整體屏障。因此，多排管樁只有保證一定的屏障厚度才能使入射波最大程度地被屏蔽。當(dāng)排間距在h/as≤3.5內(nèi)可以獲得較好的隔離效果。

圖8 雙排管樁后無量綱位移振幅隨排間距變化的三維網(wǎng)格圖Fig.8 Normalized displacement amplitudes meshes behind isolation system under different rowseparations of tubular piles

3.7 排數(shù)的影響

圖9 三排管樁對平面波散射的參考系和分析模型（梅花型布置，N=12）Fig.9 Reference system and analysis model of incident plane waves scattering by multi-rows of piles(hexagon arrangement, N=12)

圖10 多排樁后無量綱位移振幅等高線圖Fig.10 Contours of normalized displacement amplitudes behind multi-row barrier

4 結(jié) 論

（1）空心管樁屏障在受到入射平面波的激勵后，會在靠近屏障后出現(xiàn)位移振幅的放大。隨著散射重數(shù)的增加（散射重數(shù) m=3和 4），位移振幅增量呈逐漸減小的趨勢，曲線幾近重合，當(dāng)m截斷至4時，可以保證相對精確的計算結(jié)果?；诙嘀厣⑸淅碚摰慕Y(jié)果比僅考慮單重散射計算的結(jié)果小，在工程上可采用此法對排樁隔振進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

（2）空心管樁屏障后的位移放大現(xiàn)象集中于屏障中心處，位移振幅最小值恰好處于放大區(qū)域之后；屏障后兩側(cè)的幅值變化較小。

（3）管樁內(nèi)、外半徑之比或管壁厚度是有別于實心樁且影響屏障隔離效果的重要因素之一。不論是單排或是多排樁，減少管壁的厚度使得屏障后位移振幅明顯削弱。當(dāng)管樁內(nèi)半徑為 0，亦即退化為彈性實心樁時，位移振幅減少量不如同外徑的管樁，內(nèi)外半徑之比bs/as=0.9可得到最佳屏蔽效果。

（4）屏障剛度直接影響其對于彈性波的隔離作用。樁-土模量比的增加，屏障的最優(yōu)隔離區(qū)域后退，位移振幅最小值下降，隔離效果改善。同時當(dāng)Gr=1 000時，無量綱位移振幅等高線與Gr=+∞時幾乎無異，可認(rèn)為Gr=1 000的空心管樁即退化為固定剛性樁。

（5）空心管樁可取 sp/as≤3.0作為屏障設(shè)計參考值。同樣樁數(shù)的屏障，雙排管樁的隔振效果要好于單排。隨著排與排間距的加大，樁列逐漸孤立成為離散的屏障。排間距h≤3.5as可發(fā)揮管樁屏障的最佳減振作用。

（6）管樁屏障樁數(shù)、排數(shù)，即屏障寬度和厚度的增加均可提高隔離效率。

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