基于WGS-84橢球切平面的雙星時(shí)差頻差定位方法及精度分析*

何愛林，徐 慨，鮑 凱，鄭士偉

（1海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢 430033;2海軍潛艇學(xué)院，山東青島 266000;3 91917部隊(duì)，北京 102400）

0 引言

雙星TDOA/FDOA聯(lián)合定位方式相對于三星、四星等多星定位而言減少了定位平臺(tái)數(shù)量，降低了系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)難度和發(fā)射成本，且衛(wèi)星的移動(dòng)的速度很快，產(chǎn)生的多普勒頻差大，有利于定位精度的提高。因此，對于天基無源定位系統(tǒng)來說，采用TDOA/FDOA定位方式是一種非常有吸引力的方案［1］。

文中提出利用地理信息系統(tǒng)提供高程輔助信息，且利用WGS-84切平面來代替橢球表面，在不損失定位精度的情況下對地面干擾源定位的方法。相比于文獻(xiàn)［9］，文中提出的方法具有更高的定位精度;相比于文獻(xiàn)［10］的數(shù)字地圖，文中所采用的地理信息系統(tǒng)具有更高的精度，更能滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭的精度打擊需要。

1 模型的建立

根據(jù)電磁波在空間的傳播規(guī)律，得到如下的TDOA和FDOA方程組:

其中:△r=c△t，△t為干擾信號到達(dá)兩個(gè)衛(wèi)星的時(shí)間差，c為光波的傳播速度;△vr=－△fdλ，△fd為兩顆衛(wèi)星的多普勒頻率差，λ為干擾信號的波長。采用WGS-84地球橢球模型，在地固坐標(biāo)系中，直角坐標(biāo)（x，y，z）與大地坐標(biāo)（L，B，H）的關(guān)系如下:

其中:RN為當(dāng)?shù)孛先η拾霃?e為地球的第一偏心率;H為高程;L、B為干擾源所處地的經(jīng)度和緯度。將上式化簡，則目標(biāo)的位置還應(yīng)滿足地球表面方程:

這里，解由式（1）～式（3）聯(lián)立的方程組即可求出目標(biāo)的位置，但由于上述方程組是一個(gè)三元高次非線性方程組，不容易直接求得其解。針對上述方程組，解析算法擁有較高的運(yùn)算效率但需要剔除模糊解，迭代法具有高數(shù)值穩(wěn)定性但效率比解析法低。因此，文中采用利用解析算法快速粗定位和迭代法精定位相結(jié)合的定位方法。

1.1 粗定位算法

進(jìn)行粗定位時(shí)，由于地面接收站及主星的星下點(diǎn)位置和地面干擾源同在兩個(gè)衛(wèi)星的覆蓋范圍內(nèi)，將兩個(gè)接收站和主星的經(jīng)緯度分別輸入地理信息系統(tǒng)獲得各自的高程，取3個(gè)高程的平均值作為干擾源的高程H是合理的，采用半徑為（R+H）（R為主星星下點(diǎn)的地球半徑）的球面代替式（3）變?yōu)?

聯(lián)立方程（1）、（2）、（4）組成的方程組進(jìn)行粗定位:

將上述兩式代入式（1）經(jīng)過平方簡化可得:

［3］提出的解析算法，最終化簡整理得:

將r1看成已知數(shù)，可得到一個(gè)關(guān)于x，y，z的線性方程組:

直接解方程求得 X=A－1B，將所求解代入式（5），得到一個(gè)以r1為未知數(shù)的四次方程:

解式（10）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目標(biāo)的位置解，設(shè)為 u0= ［x'，y'，z'］T。

1.2 精定位算法

根據(jù)粗定位算法中算出的u0計(jì)算對應(yīng)的大地坐標(biāo)（L0，B0）及RN的值［4］。將（L0，B0）輸入地理信息系統(tǒng)，查詢得地面上同樣經(jīng)緯度點(diǎn)A0的高程H0，將A0（L0，B0，H0）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo) A0（x0，y0，z0）并將所求得的RN、H0代入式（3）得到一個(gè)在目標(biāo)位置有較高精確度的橢球模型:

這里采用迭代法，該迭代法的思想如圖1所示，過點(diǎn)A0作上述橢球的切平面，用下文將描述的解析算法得到定位點(diǎn)B1，將點(diǎn)B1的坐標(biāo)投影到式（11）所示的橢球面上，得到點(diǎn)A1，再在該點(diǎn)處作切面，從而得到定位點(diǎn)B2和投影點(diǎn)A2，依次計(jì)算投影可得點(diǎn)可得到 B3、B4、B5… 等定位點(diǎn)和 A3、A4、A5… 等投影點(diǎn)，逐步逼近所求的干擾源定位點(diǎn)（即時(shí)差頻差曲線與橢球的交點(diǎn)C）。對于上述的迭代法，要使迭代算法最終收斂，根據(jù)收斂性的要求，只要‖CAk‖ ＞‖CAk+1‖即可，而這一條件在通常條件下都會(huì)滿足。

圖1 迭代算法的迭代原理圖

具體的迭代過程如下:

假設(shè)第k次迭代得到的目標(biāo)位置為Bk（x（k），y（k），z（k）），則可以按照如下步驟得到第k+1次迭代計(jì)算所得到的目標(biāo)位置，記為Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1））:

1）將前一次得到的目標(biāo)直角坐標(biāo)Bk（x（k），y（k），z（k））進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到大地坐標(biāo) Bk（L（k），B（k），d H（k）），將其投影到橢球面上，得到投影位置的大地坐標(biāo)為Ak（L（k），B（k），H0）（這里為了工程上程序計(jì)算的連續(xù)性，直接使用H0作為橢球的高程，不再輸入地理信息系統(tǒng)），將 Ak（L（k），B（k），H0）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)Ak（x（k），y（k），z（k）），并計(jì)算該點(diǎn) 的 卯酉圈曲率半徑R（k）N。

2）在Ak點(diǎn)作橢球的切面，求得其與定位曲線的交點(diǎn)即目標(biāo)點(diǎn)Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1）），其過程如下:

由幾何微分學(xué)可得過Ak點(diǎn)的橢球的切面方程:

同樣將 r1看成已知數(shù)，解由式（7）、式（8）、式（12）聯(lián)立得到的線性方程組并將結(jié)果代入式（5），可以得到一個(gè)以r1為未知數(shù)的四次方程:

解式（13）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目標(biāo)的位置解

3）重復(fù)步驟1）和步驟2），定義:

2 誤差分析

分別對隨機(jī)測量誤差帶來的定位誤差和高程誤差引起的定位誤差進(jìn)行分析。

2.1 隨機(jī)測量誤差帶來的定位誤差分析

在本雙星TDOA/FDOA定位系統(tǒng)中，考慮的隨機(jī)測量誤差主要有時(shí)差測量誤差d△t、多普勒頻率差測量誤差d△fd及高程測量誤差d H0。文獻(xiàn)［3］對測量誤差帶來的誤差作了較為詳盡的分析，但其目標(biāo)位置的約束方程采用的是圓形地球模型，這會(huì)給定位帶來較大的誤差［5］。文中采用1.2中迭代計(jì)算得出的目標(biāo)點(diǎn)Ak（x（k），y（k），z（k））處的橢球的切面方程作為約束方程:

對式（14）在目標(biāo)點(diǎn)處微分并簡化得:

對式（1）～式（2）分別在目標(biāo)點(diǎn)處求微分得:

將式（15）～式（17）整理成矩陣形式:

假設(shè)時(shí)差測量誤差、多普勒頻差測量誤差及高程測量誤差之間各自互不相關(guān)，則它們引起的定位誤差可以單獨(dú)表示，即在地固坐標(biāo)系中定位誤差協(xié)方差矩陣為:

考慮到地面干擾源定位的精度指標(biāo)都是水平定位誤差，因此要將該協(xié)方差矩陣變換到目標(biāo)視線坐標(biāo)系中并取出其水平分量，即:

其中:Cge表示目標(biāo)點(diǎn)處的坐標(biāo)變換矩陣［6］。隨機(jī)水平誤差為:

任職院長7年來，她主持籌建了河北省食品檢驗(yàn)研究院和三個(gè)國家級質(zhì)檢中心，為行政監(jiān)管搭建了國內(nèi)一流技術(shù)支撐平臺(tái)。她帶領(lǐng)完成各級政府抽檢監(jiān)測15萬余批次，出具檢測數(shù)據(jù)150余萬個(gè)。近3年，向國家總局上報(bào)了《植物蛋白飲料摻假鑒別》《肉制品摻假鑒別》《豆芽中激素類物質(zhì)檢測》等風(fēng)險(xiǎn)研判報(bào)告，受到總局相關(guān)司局高度重視，其中3項(xiàng)相關(guān)檢驗(yàn)新技術(shù)列入總局2016年食品安全檢測方法征集目錄。以科學(xué)數(shù)據(jù)先后糾正了外省某技術(shù)機(jī)構(gòu)對河北某品牌乳品產(chǎn)品含三聚氰胺的誤判，證實(shí)了承德平泉杏仁露中三聚氰胺來源于包裝污染，澄清了五得利小麥粉未檢出硼砂的事實(shí)，保護(hù)了“中國制造”聲譽(yù)。

2.2 高程誤差引起的定位誤差進(jìn)行分析

文獻(xiàn)［7］對三星時(shí)差定位的高程誤差引起的定位誤差進(jìn)行了分析，文中將其所用分析方法引入本節(jié)，單獨(dú)對高程測量誤差對定位精度的影響進(jìn)行分析，討論地理信息系統(tǒng)對本定位系統(tǒng)的影響。

為了研究問題的方便，在干擾源當(dāng)?shù)氐囊暰€坐標(biāo)系內(nèi)討論該問題。假設(shè)經(jīng)過坐標(biāo)變換后，在視線坐標(biāo)系內(nèi) 的 坐 標(biāo) 變 換 為［7］衛(wèi) 星 的 速 度 分 別 變 換 為［8］目標(biāo)輻射源的位置矢量記為u'= ［x'，y'，z'］T。將時(shí)差和頻差曲面在輻射源處用其切面代替，重寫方程（1）、（2）并將其在輻射源（0，0，0）處微分得:

當(dāng)高程誤差為d H0時(shí)，零高程的橢球的定位曲面可以用其切面z'=－d H0表示，將其代入式（22）、式（23）中，則有:

計(jì)算出x'和y'，并定義誤差指標(biāo)為:

3 定位誤差仿真

在本節(jié)中分別對隨機(jī)測量誤差帶來的定位誤差和高程誤差引起的定位誤差進(jìn)行仿真分析。

3.1 隨機(jī)測量誤差定位精度仿真

假設(shè)兩顆衛(wèi)星的高度為800 km，其位置的具體坐標(biāo)分別為N），速度分別為（－4 988，－2 513，5 486），單位為 m/s，干擾源信號的載波頻率為4 GHz。圖2為在不同測量誤差條件下得到的仿真圖。

圖2 定位水平誤差的均方差等值線（單位:m）

圖2（a）～圖2（d）代表不同的測量精度的干擾源定位誤差分布，圖中兩個(gè)*表示兩顆衛(wèi)星的星下點(diǎn)的位置，σ1、σ2、σ3代表時(shí)差、頻差和高程測量的均方差。從圖中可以看出，本定位系統(tǒng)的定位精度在星下點(diǎn)周圍較大的范圍內(nèi)能達(dá)到1 km以下，相比于文獻(xiàn)［9］提出的定位算法，在定位精度上有很大的提高，擁有著良好的定位性能。通過對比圖2（a）與圖2（b）、圖2（a）與圖2（c）、圖2（b）與圖2（d）可以看出，時(shí)差和頻差的測量精度對系統(tǒng)的定位精度影響比高程精度的影響大。

3.2 高程誤差定位精度仿真

仿真條件同3.1節(jié)，地理信息系統(tǒng)的高程誤差能夠達(dá)到5 m［10］，在本節(jié)中，假設(shè)定位系統(tǒng)的高程誤差為10 m，具體分析高程誤差對定位精度的影響。仿真圖如圖3所示。

圖3 由高程誤差（d H=10 m）引起的定位水平誤差均方差等值線（單位:m）

從仿真圖可以看出，當(dāng)假設(shè)高程誤差為10 m時(shí)，在星下點(diǎn)較大的范圍內(nèi)，定位誤差在10 m以下。因此，借助地理信息系統(tǒng)的本定位系統(tǒng)可以忽略高程誤差對系統(tǒng)定位精度的影響。

4 結(jié)論

文中對基于WGS-84橢球面切面的雙星時(shí)差頻差定位算法進(jìn)行了研究，提出了利用橢球的切平面作為約束條件的綜合定位方法，通過仿真證明了定位算法的定位高精度。且用到的地理信息系統(tǒng)是一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)，在實(shí)際的定位過程中，為了適應(yīng)戰(zhàn)場的快速定位要求，還需要我們進(jìn)一步將它融合到定位系統(tǒng)中。

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