橢圓易錯(cuò)點(diǎn)分析

劉軍成+盧麗君

高考中對(duì)橢圓的考查主要從以下幾個(gè)方面：①橢圓的概念與方程；②橢圓的幾何性質(zhì)；③直線與橢圓的位置關(guān)系.這些地方也是考生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，要引起重視.

易錯(cuò)1 第一定義及方程

例1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為[A2，0]，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

錯(cuò)解 [A2，0]為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，[a=2]，[b=1]，橢圓方程為：[x24+y2=1].

錯(cuò)因 題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置.

正解 （1）當(dāng)[A2，0]為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，[a=2]，[b=1]，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x24+y2=1].

（2）當(dāng)[A2，0]為短軸端點(diǎn)時(shí)，[b=2]，[a=4]，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：[x24+y216=1].

點(diǎn)撥 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.

例2 已知方程[x2k-5+y23-k=-1]表示橢圓，求[k]的取值范圍.

錯(cuò)解 由[k-5<0，3-k<0，]得[3

錯(cuò)因 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要求[a>b>0]，當(dāng)[a=b]時(shí)，并不表示橢圓.

正解 由[k-5<0，3-k<0，k-5≠3-k，]得[3

∴[k]的取值范圍是[3

例3 橢圓[x24+y23=1]的左焦點(diǎn)為[F1]，直線[x=m]與橢圓相交于點(diǎn)[A，B]，當(dāng)[△F1AB]的周長(zhǎng)最大時(shí)，[△F1AB]的面積是 .

錯(cuò)解 直線[x=m]交[x]軸于[P]，要使[△F1AB]的周長(zhǎng)最大，由對(duì)稱性知，只需[AF1+AP]最大.利用勾股定理和[A]點(diǎn)的縱坐標(biāo)列方程求解，此時(shí)計(jì)算復(fù)雜，很難得出結(jié)果.

錯(cuò)因 沒(méi)有利用橢圓的定義，[AF1+AF2=2a]，結(jié)合三角形知識(shí)求解.

正解 直線[x=m]交[x]軸于[P]，要使[△F1AB]的周長(zhǎng)最大，由對(duì)稱性知，只需[AF1+AP]最大.

而[AF1+AP=2a-AF2+AP≤2a]，

當(dāng)[AF1]與[AP]重合時(shí)取得最大值，[AF1=b2a=32]，

所以[SΔF1AB=2×12×2×32=3].

點(diǎn)撥 本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，即代數(shù)方法.二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法.本題抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解.

易錯(cuò)2 橢圓的幾何性質(zhì)

例4 已知橢圓[x2k+8+y29=1]的離心率[e=12]，求[k]的值.

錯(cuò)解 由方程可知，[a2=k+8]，[b2=9]，得[c2=k-1].由[e=12]得，[k=4].

錯(cuò)因 因?yàn)閇k+8]與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在[x]軸上，也可能在[y]軸上.

正解 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在[x]軸上時(shí)，[a2=k+8]，[b2=9]，則[c2=k-1].

由[e=12]得，[k=4].

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在[y]軸上時(shí)，[a2=9]，[b2=k+8]，則[c2=1-k].

由[e=12]得，[k=-54].

∴滿足條件的[k=4]或[k=-54].

點(diǎn)撥 本題著重考查橢圓方程的特點(diǎn)，以及橢圓的離心率與[a，b，c]之間的關(guān)系.

例5 橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右頂點(diǎn)分別是[A，B]，左、右焦點(diǎn)分別是[F1，F(xiàn)2].若[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 .

錯(cuò)解 由橢圓的性質(zhì)可知，[AF1=a-c]，[F1F2=2c]，[F1B=a+c].又已知[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等差數(shù)列，故[a-c+a+c=2?2c]，即[a=2c]，則[a2=5c2].故[e=ca=12].

錯(cuò)因 沒(méi)看清題意，[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比數(shù)列，在表示[AF1]，[|F1F2|]，[F1B]的時(shí)候也容易出錯(cuò).

正解 已知[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比數(shù)列，

故[（a-c）（a+c）=（2c）2]，即[a2-c2=4c2]，則[a2=5c2].

故[e=ca=55].即橢圓的離心率為[55].

點(diǎn)撥 圓錐曲線求解中，審題很關(guān)鍵，充分挖掘題目信息是解題的前提，離心率的計(jì)算需要列出有關(guān)[a，c]的方程.

例6 橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點(diǎn)[F]，其右準(zhǔn)線與[x]軸的交點(diǎn)為[A]，在橢圓上存在點(diǎn)[P]滿足線段[AP]的垂直平分線過(guò)點(diǎn)[F]，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A. [（0，22]] B. [（0，12]]

C. [[2-1，1）] D. [[12，1）]

錯(cuò)因 不能很好地利用垂直平分線的性質(zhì)、設(shè)點(diǎn)、求直線方程等等，陷入復(fù)雜的計(jì)算中.

正解 由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)[F]，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等.

而[|FA|=a2c-c=b2c]， [|PF|∈[a-c，a+c]]，

于是[b2c∈[a-c，a+c]，]即[ac-c2≤b2≤ac+c2]，

結(jié)合[e∈（0，1）]，有[e∈[12，1）].

點(diǎn)撥 求離心率的范圍一般是通過(guò)已知條件建立關(guān)于[a，b，c]的不等式，然后化為離心率[e]的不等式求解，同時(shí)要注意離心率[e]自身的范圍.

易錯(cuò)3 橢圓的第二定義及焦半徑的應(yīng)用

例7 橢圓[x216+y212=1]的右焦點(diǎn)為[F2]，過(guò)點(diǎn)[A1，3]，點(diǎn)[M]在橢圓上. 求當(dāng)[PA+2PF2]為最小值時(shí)，點(diǎn)[P]的坐標(biāo).

錯(cuò)解 設(shè)[P]是橢圓上任一點(diǎn)，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

當(dāng)[P]，[A]，[F1]三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值[4a=16].

錯(cuò)因 本題關(guān)鍵在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的處理，[P]，[A]，[F1]共線時(shí)不一定取最小值.運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右準(zhǔn)線[l：x=8].

過(guò)[A]作[AQ⊥l]，垂足為[Q]，交橢圓于[P]，

故[PQ=2PF2].

顯然[PA+2PF2]的最小值為[AQ]，即[P]為所求，

因此[yP=3]，且[P]在橢圓上.

故[xP=23].所以[P23，3].

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵是求出離心率[e=12]，把[2PF]轉(zhuǎn)化為[P]到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半徑[PF2]與點(diǎn)準(zhǔn)距[PQ]互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段.

易錯(cuò)4 直線與橢圓的位置關(guān)系

例8 已知橢圓[x22+y2=1]，

（1）求過(guò)點(diǎn)[P12，12]且被點(diǎn)[P]平分的弦所在直線的方程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

（3）過(guò)[A2，1]引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點(diǎn)[P]，[Q]，[O]為原點(diǎn)，且有直線[OP]，[OQ]斜率滿足[kOP?kOQ=-12]，求線段[PQ]中點(diǎn)[M]的軌跡方程.

錯(cuò)因 本題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，不能充分利用弦中點(diǎn)的性質(zhì)是解題受阻的原因.

正解 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，線段[MN]的中點(diǎn)[Rx，y]，

則[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

結(jié)合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）將[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直線方程為：

[2x+4y-3=0].

代入橢圓方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合題意，[2x+4y-3=0]為所求.

（2）將[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x+4y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（3）將[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x2+2y2-2x-2y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

結(jié)合[y1y2=-12x1x2]，化簡(jiǎn)得[x2+2y2=1].

此即為所求軌跡方程.

點(diǎn)撥 （1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡.

（2）“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率，設(shè)而不求，整體代換.endprint

易錯(cuò)3 橢圓的第二定義及焦半徑的應(yīng)用

例7 橢圓[x216+y212=1]的右焦點(diǎn)為[F2]，過(guò)點(diǎn)[A1，3]，點(diǎn)[M]在橢圓上. 求當(dāng)[PA+2PF2]為最小值時(shí)，點(diǎn)[P]的坐標(biāo).

錯(cuò)解 設(shè)[P]是橢圓上任一點(diǎn)，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

當(dāng)[P]，[A]，[F1]三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值[4a=16].

錯(cuò)因 本題關(guān)鍵在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的處理，[P]，[A]，[F1]共線時(shí)不一定取最小值.運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右準(zhǔn)線[l：x=8].

過(guò)[A]作[AQ⊥l]，垂足為[Q]，交橢圓于[P]，

故[PQ=2PF2].

顯然[PA+2PF2]的最小值為[AQ]，即[P]為所求，

因此[yP=3]，且[P]在橢圓上.

故[xP=23].所以[P23，3].

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵是求出離心率[e=12]，把[2PF]轉(zhuǎn)化為[P]到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半徑[PF2]與點(diǎn)準(zhǔn)距[PQ]互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段.

易錯(cuò)4 直線與橢圓的位置關(guān)系

例8 已知橢圓[x22+y2=1]，

（1）求過(guò)點(diǎn)[P12，12]且被點(diǎn)[P]平分的弦所在直線的方程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

（3）過(guò)[A2，1]引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點(diǎn)[P]，[Q]，[O]為原點(diǎn)，且有直線[OP]，[OQ]斜率滿足[kOP?kOQ=-12]，求線段[PQ]中點(diǎn)[M]的軌跡方程.

錯(cuò)因 本題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，不能充分利用弦中點(diǎn)的性質(zhì)是解題受阻的原因.

正解 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，線段[MN]的中點(diǎn)[Rx，y]，

則[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

結(jié)合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）將[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直線方程為：

[2x+4y-3=0].

代入橢圓方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合題意，[2x+4y-3=0]為所求.

（2）將[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x+4y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（3）將[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x2+2y2-2x-2y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

結(jié)合[y1y2=-12x1x2]，化簡(jiǎn)得[x2+2y2=1].

此即為所求軌跡方程.

點(diǎn)撥 （1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡.

（2）“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率，設(shè)而不求，整體代換.endprint

易錯(cuò)3 橢圓的第二定義及焦半徑的應(yīng)用

例7 橢圓[x216+y212=1]的右焦點(diǎn)為[F2]，過(guò)點(diǎn)[A1，3]，點(diǎn)[M]在橢圓上. 求當(dāng)[PA+2PF2]為最小值時(shí)，點(diǎn)[P]的坐標(biāo).

錯(cuò)解 設(shè)[P]是橢圓上任一點(diǎn)，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

當(dāng)[P]，[A]，[F1]三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值[4a=16].

錯(cuò)因 本題關(guān)鍵在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的處理，[P]，[A]，[F1]共線時(shí)不一定取最小值.運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右準(zhǔn)線[l：x=8].

過(guò)[A]作[AQ⊥l]，垂足為[Q]，交橢圓于[P]，

故[PQ=2PF2].

顯然[PA+2PF2]的最小值為[AQ]，即[P]為所求，

因此[yP=3]，且[P]在橢圓上.

故[xP=23].所以[P23，3].

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵是求出離心率[e=12]，把[2PF]轉(zhuǎn)化為[P]到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半徑[PF2]與點(diǎn)準(zhǔn)距[PQ]互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段.

易錯(cuò)4 直線與橢圓的位置關(guān)系

例8 已知橢圓[x22+y2=1]，

（1）求過(guò)點(diǎn)[P12，12]且被點(diǎn)[P]平分的弦所在直線的方程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

（3）過(guò)[A2，1]引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點(diǎn)[P]，[Q]，[O]為原點(diǎn)，且有直線[OP]，[OQ]斜率滿足[kOP?kOQ=-12]，求線段[PQ]中點(diǎn)[M]的軌跡方程.

錯(cuò)因 本題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，不能充分利用弦中點(diǎn)的性質(zhì)是解題受阻的原因.

正解 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，線段[MN]的中點(diǎn)[Rx，y]，

則[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

結(jié)合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）將[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直線方程為：

[2x+4y-3=0].

代入橢圓方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合題意，[2x+4y-3=0]為所求.

（2）將[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x+4y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（3）將[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求軌跡方程為：[x2+2y2-2x-2y=0].（橢圓內(nèi)部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

結(jié)合[y1y2=-12x1x2]，化簡(jiǎn)得[x2+2y2=1].

此即為所求軌跡方程.

點(diǎn)撥 （1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡.

（2）“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率，設(shè)而不求，整體代換.endprint