一個“交匯性試題”的教學(xué)設(shè)計展示

●楊蒼洲 (泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

一個“交匯性試題”的教學(xué)設(shè)計展示

●楊蒼洲 (泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

為了切實提高新課程復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量、研究復(fù)習(xí)教學(xué)中“減負增效”的策略與方法，進一步發(fā)揮數(shù)學(xué)例題在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)功能，筆者有幸參加了“2013屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作會議暨泉州市高三數(shù)學(xué)新課程學(xué)科教學(xué)研訓(xùn)會議”，會上的一個重要議程是：高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)析題技能展示、觀摩、研討.會上4位教師分別展示了各自的“例題教學(xué)設(shè)計”，展示了個人對于例題教學(xué)的不同理解.下面筆者將教學(xué)設(shè)計展示如下：

題目(1)設(shè)函數(shù)證明：當(dāng) x＞0時，f(x)＞0.

(2)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方法連續(xù)抽取20次.設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p，證明：

(2011年全國數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

1 試題評價

1.1 考試評價功能

本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率、不等式等基礎(chǔ)知識，并以這些基礎(chǔ)知識為載體，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、或然與必然思想.試題通過函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識與不等式等知識的交匯，來實現(xiàn)對學(xué)生綜合運用學(xué)科知識分析問題和解決問題能力的考查.試題的交匯自然和諧，綜合程度較高，充分體現(xiàn)了“從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度”的考查要求(《考試大綱》).從本題所考查的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思想方法，可以看出本題的命制嚴格遵循“數(shù)學(xué)學(xué)科的考試按照‘考查基礎(chǔ)知識的同時，注重考查能力’的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這一命題原則(《考試大綱》).

1.2 教學(xué)導(dǎo)向功能

試題導(dǎo)向中數(shù)學(xué)教學(xué)必須堅持以學(xué)生為本、落實“三維目標”的理念，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，全面實施素質(zhì)教育，促進學(xué)生的全面發(fā)展.

2 教學(xué)意圖

2.1 課堂情景

本題宜在高三第二輪復(fù)習(xí)中作為“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合問題”的典型例題進行使用.

2.2 教學(xué)目標

基于試題的內(nèi)容、課程標準的要求、學(xué)生情況的實際，遵循教學(xué)目標的“三維”理念，確定本課的教學(xué)目標為：通過第(1)小題掌握利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法;通過第(2)小題掌握古典概型的求法，掌握證明不等式的幾種思路;并通過經(jīng)歷不等式證明的探究過程，感受函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、解題成功的快樂.

2.3 學(xué)情預(yù)設(shè)

通過平時對學(xué)生的觀察、了解，以及在長期的教學(xué)中積累、沉淀的經(jīng)驗，可以判斷學(xué)生的大致情況為：學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率、不等式等基礎(chǔ)知識，積累了一定的證明不等式的相關(guān)經(jīng)驗，但是在觀察能力、化歸能力、解題經(jīng)驗上還有一定的不足.如：學(xué)生不一定能觀察出“要證f(x)＞0即證f(x)＞f(0)”;不一定能觀察出“在不等式，即可建立起與不等式的關(guān)系”;不一定能觀察出“待證的不等式中，到首尾距離相等的2項之和等于”.這些都是學(xué)生在求解本題時可能遇見的思維障礙.

3 教學(xué)流程

為了更好地讓學(xué)生理解和掌握，筆者打算依據(jù)波利亞解題表的4個步驟進行講題展示：理解問題、擬定計劃、執(zhí)行計劃、回顧反思.

3.1 閱讀理解、提取信息

本題的題干非常簡潔.

3.2 分析思路、擬定計劃

在第(1)小題中，觀察得f(0)=0，于是目標轉(zhuǎn)化為證明f(x)＞f(0)，再轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因此我們可以先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

根據(jù)經(jīng)驗，命題者在命制試題時，往往會考慮解答題中問題前后的連續(xù)性.一般地，一個較有難度的解答題，上一步都將是下一步的一個“臺階”，因此解題時要充分考慮上一步的提示作用，利用好命題者的“善意”，下好臺階.觀察不等式的結(jié)構(gòu)、結(jié)合已有解題經(jīng)驗，考慮利用第(1)小題的結(jié)論進行證明，該結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為ln(1+x)＞，因此可以考慮對上述不等式進行適當(dāng)?shù)馁x值，再把對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，使問題順利得到證明.

(2)證法1抽得的20個號碼互不相同的概率為

3.4.2 問題解決的思考方式

(1)觀察題目結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)解題過程中的“觀察”是“理解題意”的一種方式，它往往貫穿于整個解題過程的始終.拿到一個題目時，需要經(jīng)過初步觀察弄清題意，明確解題的目的、任務(wù)，然后有目的地對問題的局部從不同角度進行觀察，分析它們的結(jié)構(gòu)特征以及彼此之間的關(guān)系，為“擬定計劃”打下基礎(chǔ).本題的解決就得益于對問題中不等式結(jié)構(gòu)的觀察，如f(0)=0、不等式的關(guān)系、不等式中到首尾距離相等的2項之和等于定值等.

(2)聯(lián)想知識遷移

聯(lián)想是解題計劃的重要一環(huán).所謂聯(lián)想，是指由一事物想到另一事物的心理過程，它是從已經(jīng)掌握的途徑、原則、方法等方面去尋求接近當(dāng)前問題解決的途徑、原則和方法，聯(lián)想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)解題的一種常用方法.如何讓學(xué)生學(xué)會聯(lián)想是成功進行數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵，本題不等式的證明靈感來自于類比聯(lián)想，為了解決“數(shù)列求積”的問題，我們聯(lián)想到熟悉的“數(shù)列求和”方法，思考尋找其中可類比的一些方法、技巧，為本題的求解提供參考.

(3)啟迪解題經(jīng)驗

在解題過程中，不同的學(xué)生有不同的解題體驗，并獲得了不同的解題經(jīng)驗，隨著解題經(jīng)驗的積累，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到了不同的發(fā)展.而解題是建立在經(jīng)驗之上的數(shù)學(xué)活動，因此，解題經(jīng)驗的豐富與否直接關(guān)系到解題的成敗.本題從“不等式的轉(zhuǎn)化需要解題者有一定的解題經(jīng)驗.經(jīng)驗告訴我們，命題者在命制解答題時，為了體現(xiàn)梯度、區(qū)分度，常分成幾個步驟進行設(shè)問，而為了“步”與“步”之間的承接自然，往往“前一步”是“后一步”的臺階.因此，解題時我們要盡量利用好這些已設(shè)的“臺階”，使之成為我們重要的解題資源.

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2003：2-3.

［2］楊蒼洲.解題，從結(jié)構(gòu)聯(lián)想開始［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011(4)：14-16.