增進高中學生有效數學交流活動的基本方略

●蔣海甌 (青田教師進修學校 浙江青田 323900)

增進高中學生有效數學交流活動的基本方略

●蔣海甌 (青田教師進修學校 浙江青田 323900)

《普通高中數學課程標準(實驗)》把“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”作為數學課程的基本理念之一，指出“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式”;強調“教師應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與.既要有教師的講授和指導，也要有學生的自主探索與合作交流”;同時把“提高數學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力，數學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數學知識的能力”作為高中數學課程具體目標之一.因此增進學生的數學交流活動，是新課程改革的現實訴求，更是當今高中數學教學的努力追求!

1 數學交流的概念、實質、根本目的及教育價值

本文對“數學交流”的概念、實質、目的及價值作如下統(tǒng)一概述.

1.1 數學交流的概念

數學交流就是運用表達數學概念、關系、問題、方法、思想的“數學語言(文字、符號、圖式)、數學表征(圖表、圖形、表格、模型)”，以“聽、說、讀、寫、做”的方式，溝通、表達、分享和接受“數學共同體”成員之間彼此的觀點、見解、思想和情感的一種數學學習方式，從而達到對數學知識的深刻理解和認知結構的良好構建，達成“共識、共享、共進”的良性循環(huán)，實現“通過交流更好地學習數學”和“學會更好的數學地交流”的雙重效益.

1.2 數學交流的實質

數學交流是以促進數學理解和認知發(fā)展為指向的有關信息的傳輸和編碼為基礎，根據已有的信息建構內部心理表征，進而獲得心理意義的過程.數學交流的實質：信息溝通、思想共享和意義生成.

1.3 數學交流的根本目的

數學交流的根本目的在于：促進學生的“數學認知”與“數學理解”，從而獲取“學生通過交流更好地學習數學”和“學生學會更好的數學地交流”的雙重效益.

1.4 數學交流的教育價值

數學交流能極好地強化和完善學生的數學理解和認知結構，有利于促進學生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維的發(fā)展，有益于彌補應試教育帶來的數學教學的嚴重缺陷，有助于推進學生心理素質和綜合素養(yǎng)的全面發(fā)展.

2 增進高中學生有效數學交流活動的基本方略

2.1 學會數學表達，更會傾聽思考，是引發(fā)有效數

學交流的基點

有效的數學交流是基于學習共同體成員準確的表述、豐富的暢想和大膽的訴說.學習共同體成員具有規(guī)范嫻熟的數學表達能力、富有勤于思考和勇于想象的創(chuàng)造潛力、擁有善于傾聽和敢于傾訴的學習功力，是引發(fā)有效數學交流的基礎前提(基點).

世界著名的數學教育大家弗蘭登塔爾有言：數學學習的過程就是要通過數學語言，用它特定的符號、詞匯和句法去交流，去認識世界.事實上，數學交流是以“數學語言、數學表征”為載體，以“聽、說、讀、寫”為方式，溝通、表達和接受數學觀點、思想和情感的一種數學學習方式.具備精準、簡約而熟練的數學語言“表達”與“互譯”能力，是有效地開展數學交流活動的第一要素.

思考是交流的引擎，想象是交流的翅膀.數學交流的真正含義是：通過交流促進學生達到對數學知識的深刻理解和認知結構的良好構建.缺乏思考和想象的交流者只能是被動的聽眾和局外的看客，只會出現一些“低效”、“無效”乃至是“負效”的交往活動，只是呈現一些表皮性或表面化的“分組討論、師生對話、互動交流”.而我們所追求的是“有效的交流”，就是通過數學交流活動，使數學學習更加“有效果、有效率、有效益”.

唯有認真傾聽，方能有效傾訴.教師要著力引導學生養(yǎng)成“認真傾聽，積極傾訴”的好習慣.首先“認真傾聽”：耐心聽完別人表達的內容，聽懂別人發(fā)言的意思，把握他人表述的要點，理解他人闡述的觀點;進而“積極傾訴”：既合理地評價別人的觀點、意見與想法，又對他人發(fā)言中的錯誤、不足與過失，大膽質疑、補充與修正.學生間有了“傾聽”與“傾訴”，自然就有了有效的數學交流.

案例1(方程求解生成果)已知雙曲線C：過點P(1，1)的直線l與C只有一個公共點，求l的方程.(解答題)

教學設計(1)學會數學表達，萌發(fā)交流萌芽.先讓學生思考“常規(guī)解法”，寫出規(guī)范的數學表達，投影較為完整的學生表述，并讓學生“訴說(傾訴)”求解思路，其他學生“洗耳恭聽”(學會傾聽)，為開啟后續(xù)的討論交流奠定基礎.

投影當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=1，直線l與雙曲線C只有一個公共點(1，0)，符合題設.

當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y－1=k(x－1)，代入雙曲線方程得

當4－k2=0，即k=±2時，式(1)是一次方程，顯然直線l與雙曲線C只有一個公共點，從而直線l的方程為

綜上所述，直線l共有4條，其方程為x－1=0，2x－y－1=0，2x+y－3=0，5x－2y－3=0.

說明數學交流可分為：數學知識的交流、數學體驗的交流和解決問題的交流.學生精致的數學表達過程，是一種數學知識或數學解決問題的交流.這種源自于同齡人與學伴間的表述，極易引起同伴的共鳴，有助于促進信息溝通，思想共享，有望生成新的思考與交流.

(2)順勢探究思考，引發(fā)有效交流.教師引領學生進行反思，求新求異，倡導“傾聽、剖析”他人觀點，“傾訴、暢談”自我所思，展開數學交流，推進意義生成.

思考交流1反思上述解題過程，你會有哪些新的收獲?

旨在“引導解后反思，促進有效交流，把握求解實質”.

收獲的成果

生1：該問題求解的常見錯誤是：由直線l與C只有一個公共點，知Δ=0，這樣直線l只有1條了(常見的解題誤區(qū)).

生2：該問題求解的關鍵是解方程(1)，需分一次與二次方程進行討論.前者有解，其幾何意義是直線l與雙曲線C的漸近線平行;后者中的“Δ=0”，有2個相等的實數根，其幾何意義是直線l與雙曲線C相切.

通過思考交流，揭示問題實質，為快速破解打下基礎.

思考交流2通過上述分析交流，你能得出本題簡便的解法嗎?

旨在“利用交流所得，實現解法創(chuàng)新，提升交流效應”.

收獲的成果

生3：若一條直線與雙曲線只有一個公共點，則這條直線要么與雙曲線相切，要么與漸近線平行(僅此2種情形).

生4：本題只需先判定點的位置，便可快速求解.易判定點P在雙曲線開口外且非漸近線上，則過點P與雙曲線C有1個公共點的直線顯然有4條，其中2條與漸近線平行，2條為切線.漸近線方程為2x±y=0，則直線l有2條為 y－1= ±2(x－1)，一條切線顯然為x=1，只需求得另一切線(利用Δ=0)，問題就可完滿解決(成就了創(chuàng)新的解法).

在本案例中，學會數學表達與傾聽思考是引發(fā)數學交流的基礎，而有效的數學交流既破解了思維誤區(qū)，又生成了簡便之法.

2.2 選擇合適問題，選用合理形式，是引領有效數

學交流的起點

問題是數學的心臟.選擇合適的問題是引領有效數學交流的邏輯起點.如果設計的問題不切合學習共同體成員的實際知識水準，或缺乏一定的思維含量或知識層次，就會使交流流于形式，甚至驟然間使交流活動付諸東流;問題材料的采擷、背景的選取、情景的創(chuàng)設、語言的表述、目標的設置、意境的蘊含、思維的蘊藏、知識的組合、文字的組織乃至題面的遣詞造意，教師都要高屋建瓴，統(tǒng)籌安排，科學謀劃，潛心布局，精心設問，力求把問題設計得具有一定的迷惑性與挑戰(zhàn)性.

問題用形式來綻放.選用合理的形式是誘發(fā)有效數學交流的重要起源.教師要獨具慧眼，匠心獨運，依據不同的問題特點以及所追求的教學目的，巧妙地將問題設置為“選擇題、填空題、解答題”或“選擇說理題、填空說明題、解答引申拓展題”等多種形態(tài);同時靈活地選用“劃片交流、分組交流、同桌交流、自由交流、自主交流、師生交流、生生交流、生本交流、自我交流”等不同形式，著力拓寬數學交流的運行渠道和途徑;教師更要重視采納數學交流的不同運作走向和路徑，力求避免重復單一而乏味的“師?生”向量式的“單向交流”，努力營造“師?生”互動式的“雙向交流”，乃至步入“師?生，生?生”網絡式的“多向交流”，力圖使題型形態(tài)和交流形式多樣化與開放化.

數學教育家波利亞認為：學習任何知識的最佳途徑是學生自己去發(fā)現，因為這種發(fā)現，理解最深，也容易掌握其中的內在規(guī)律.我們要編擬適宜問題，采納恰當形式，引發(fā)學生群體自覺地參與到數學交流之中，學會自主學習、自主探究、自主發(fā)現，從而主動建構知識，推動思維發(fā)展，促進能力提升.

案例2(小球放法起波瀾)把形狀大小完全相同的分別標有1，2，3的3個小球隨機地放在編號分別是1，2，3，4的4個盒子中，則1號盒子內有球的不同放法有＿＿種.(填空題)

教學情景“精巧的問題，精明的設問”即刻引領學生探究的興致.而求解答案的不盡相同，便引發(fā)了一場熱烈的“爭議”乃至激烈的“爭辯”.鄰桌間或自主地交流、或自發(fā)地探討、或彼此闡述求解思路、或因不同的見解而彼此質疑，其情境令人振奮!

師(恰時發(fā)問)：請大家說出心中真實的想法與真正的思考?

由此開啟了師生、生生間的交流與討論，呈現各抒己見的生動局面.

生1(先下手為強)：先從3個球中任取一個放在1號盒子內(先保證1號盒子內有球)，這樣其余2個球可任意放，得種(因“重復”計數而犯錯).

生2(折半扣除)：以上解法會造成“重復”，應折半扣除，只有24種(因折半遭致新的“遺漏”而失誤).

生3(套用隔板)：由“隔板法”，得 C25=10種(由“形狀大小完全相同”視“3個球完全相同”而致誤).

生4(抓特殊元素(1號球)，分類求解)：按1號球放“1號盒、2號盒、3號盒、4號盒”，分4類求解.第1類：另2個球可隨意放，有種;第2類：1號盒又分“有1個球或有2個球”2種情形，有種;第3類、第4類與第2類相同.因此共有種.

生5(抓特殊位置(1號盒)，分類求解)：按1號盒內放“1個球、2個球、3個球”，分3類求解，有

生6(正難則反，排除求解)：3個球任意放有43種，而其中1號盒子無球的有33種，故有43－33=37種.

生7(追根究底)：無庸置疑37種為正確答案.C13C14C14=48種多了，折半成24種卻又少了，這11種是怎么多出的呢?

在本科教學中，生理學的教學目的是研究正常人體的形態(tài)、結構及功能,幾乎很少涉及預防和保健知識的內容,理論教學始終存在與實踐脫節(jié)的弊端.但在九年義務教育教學內容體系中，小學、中學的有些課程中已涉及人體知識的內容，而小學、中學人體生理學教師是由高等師范院校生命科學系人進行培養(yǎng)的.通過近幾年來，我院舉辦的北京中學生物教師培訓的課程來看，大多數中學老師對機體的解剖結構及生理功能基本停留在理論知識層面，而實體解剖認知、手術器械規(guī)范化操作以及功能性生理實驗等方面存在很多的問題.表1是當前北京市中學與人體解剖生理學實驗有關的生物實驗內容.

生8(指點迷津)：在C13C14C14=48種放法中，當1號盒內只放1個球時，不會出現“重復”;當1號盒內放有2個或3個球時，就出現“重復”.如放入1號盒內為“1號、2號”球，則按“1，2號先后順序”與“2，1號先后順序”放入，屬同一種放法，但在C13C14C14中把它當成是2種不同的放法，因此會出現C23C13種重復現象，應予扣除;而1號盒放有3個球時，只有1種放法，但在C13C14C14中計成3種，故正確放法有C13C14C14－C23C13－2=37種.

在本案例中，合適的問題設置，恰當的教師發(fā)問，啟動了課堂的多向交流.而學生的自主交流與互動合作，既將解決排列組合問題常犯的錯誤暴露徹底，又將其一般的解法演繹到底.

2.3 預設思考時間，架設思維空間，是引燃有效數

學交流的重點

建構主義強調：數學教學最終不是教給學生作為客觀世界基礎的數學結構，而是要教他們如何發(fā)展自己的認知水平.教師不可能提供每個學生都適合的學習方式，因為每個人都有適合自己學習的獨特方式;教師也不可能講解學生想了解的所有內容，但教師可以給學生預留探索思考的時間，架設交流思維的空間，使之成為引燃學生有效交流學習的重點地帶與動感區(qū)域.凡是學生“能想、能說、能做”的事，盡量讓學生自己“去想、去說、去做”，通過交流讓學生自我調節(jié)學習行為，完善認知結構，成為數學學習的真正主人.

倘若提出疑問，抑或產生興趣，數學交流活動也就開始了.宋代教育家張載曾說：“讀書先要疑”，“于不疑處有疑，方是進矣”.教師要經常為學生創(chuàng)設表達交流的機會，應舍得“預設時間、預留空間”，培養(yǎng)學生對“常規(guī)問題、常規(guī)解法、一般求解、所得結論”產生質疑、引申、反思、拓展乃至批判的習慣，由“老問題中提出新問題”的能力;要想方設法創(chuàng)設時空環(huán)境，讓每個學生都能以恰當的思維形式、適當的心智活動、精當的互動合作，參與到課堂教學之中，把數學交流逐步引向深入.

著眼縱橫馳騁，著力左右逢源，數學交流就步入縱深地帶.數學知識網絡，盤根錯節(jié)，縱橫交錯;數學思維脈絡，牽絲掛藤，千絲萬縷.教師要引導學生善于自創(chuàng)思維空間，對有關知識與相關問題力求能進行“縱延伸”和“橫拓展”，多向發(fā)散，多方問詢，巧妙引申，深度體驗，以求進入“橫向到邊，縱向到底，不留死角，一網打盡”之境地;要引導學生勇于自我思維加壓，對有關解法與題型求解力爭能進行“點到面”和“面成體”，左顧右盼，思前想后，巧作擴張，深入探討，以致達到“上下通達，左右包容，瞻前顧后，全盤掌控”之境界.

案例3(系數卷起千層浪)求(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+nx)展開式中，含x一次冪項的系數.(解答引申拓展題)

教學片斷

拓展思維1如何求展開式中x2項的系數?

這是“縱向”引申的“題中題”，必將引發(fā)學生的興趣與認知沖突，悄然地引燃學生參與新問題的探索思考與分析求解的熱情.

認知沖突1展開式中x2項的系數到底是什么?

這自然需要展開分析對話、討論交流.經討論交流，“從特殊到一般”找到“突破”：

由此發(fā)現所求的系數an是“從1到n這n個自然數任2個相乘后的和”，即

認知沖突2如何求得an的值?

難用一般的求和方法求an，如何穿越這一新的障礙?又將引燃新的交流與討論，尋求二次“突破”.經討論交流，聯(lián)想到公式

只要“同化”處理，得

通過“拓展思維空間”，不僅引燃學生自發(fā)地討論和交流，并將思維帶入了一個嶄新的高度.

拓展思維2如何求展開式中x3項的系數?

問題再向“縱深”發(fā)展，學生躍躍欲試，因為經歷“拓展思維1”的交流體驗，不妨如法炮制，同化處理.“同化”得知所求系數為

聯(lián)想公式

可見學生的創(chuàng)造能力是無窮的，只要為他們“架設一方思維的空間，給足分析思考的時間”，通過交流能夠開創(chuàng)出一片新天地.還可以再度“拓展”演化：

拓展思維3(“橫向”的知識拓展)

(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+10)展開式中含x9項的系數是多少?含x8項的系數又是多少?

(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+n)展開式中含xn－2(n≥3)項的系數是多少?

在本案例中，思維的延伸，時空的創(chuàng)設，引燃了學生對知識“縱到底、橫到邊、點到面”的重點探究，由此互動交流所獲取的真知灼見，必將深刻、牢靠而久遠.

2.4 適時重復確認，適度追問回應，是引爆有效數學交流的支點

課堂教學情況瞬息萬變，學生思維意識變幻無窮.直面課堂中呈現的種種信息，教師要充分發(fā)揮自身的主導功能和引領效應，通過過硬的教學技能、嫻熟的教學手法、精明的教學機智、精湛的教學藝術和高超的教學智慧，積極尋找引爆有效數學交流活動的強勁支點.

教師適時的“重復”與“確認”，是引爆有效數學交流的一個強硬支點.著名數學家瑞思尼克曾指出：重復學生的語言，再一次確認學生的意思，是教師控制教室對話2種最明顯的策略.這2種明顯策略可以讓學生的發(fā)言，從個體的自我意思的表達，轉化為全班可以共同溝通的語言.教師適時地“重復”與“確認”學生的語言或意思，可以把學生個體的見解與意識轉換為學習共同體集體的話語與認識，從而引爆全體學習成員在更廣范圍、更多共識和更加有效的交流與討論.

教師適當的“追問”或“補問”，是引爆有效數學交流的另一強力支點.教師若能迅捷地捕捉到學生即時發(fā)言、對白或討論所透露出的某種信息或呈現的某些意向，進行合理適度地“追問”或“補問”，可以進一步地引爆學生對某一問題、某一觀點或某一見解“多角度、深層面、全方位”的深入探究與思考.教學實踐顯示，適時適當的“追問”或“補問”，是提升數學交流有效性及高效性的一大重要法寶.

教師適宜的“回應”或“評價”，是引爆有效數學交流的又一強實支點.在教學過程中，教師必須做到“該出手時就出手”，積極發(fā)揮組織者與引導者的主導功能，對交流過程實施有效的監(jiān)控和有力的疏導，即時地把控數學交流的積極走向.對交流過程中的重點問題與重點疑問，必須加以及時適宜的“回應”(含肢體語言回應)或恰到好處的“回答”，給予恰如其分的“評價”或中肯適切的“評析”，從而確保數學交流活動的“高速率”和“高效應”.

案例4(直線條數引紛爭)已知雙曲線方程過點P(2，4)的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則l的條數共有 ( )

A.0 B.2 C.3 D.4

請問：該選哪個答案?為什么?(選擇說理題)

教學實錄學生面對案例興趣激昂，紛紛報出答案.5分鐘后統(tǒng)計，選 A，B，C，D 的分別有 3，31，6，12人(教師先不點明答案).

師問緣由：請敘述選擇的理由或方法.

生3：點P到底在雙曲線開口內還是開口外呢?

師(追問與補問)：對!這點P在開口內還是開口外?

大多數學生：開口外.

師(予以確認)：利用方程判斷點的位置方法很好.但不要受橢圓的影響而錯判了點與雙曲線的位置關系(理由此處從略).

生4：我雖犯了生1的錯誤，這樣過點P不能作雙曲線的切線，但過這個P可分別作2條漸近線的平行線.故選B(歪打正著).

師(回應與評價)：很好!直線與雙曲線相切有且只有1個公共點;但直線與雙曲線有且只有1個公共點時，并非一定相切，還可能是相交.如與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個公共點，卻是相交.要注意區(qū)別“切點、交點與公共點”的不同含義.

生5：既然點P在開口外，這樣過點P可作2條切線，又可作漸近線的2條平行線.故選D(教師微笑以對，含而不答).

生6：選D不對.點P點在雙曲線開口外不假，但點P恰恰落在漸近線上，這樣只能作漸近線的平行線，而過點P又可作2條切線.故選C(教師洗耳恭聽，喜笑顏開).

生7：我覺得生6解釋得有道理，但我詳解卻只有2條.故選B(教師投影其解答，此處從略).師(揭底確認)：據此完整解答，正確答案是B.師(持續(xù)追問)：分析一下，生7得出的究竟是怎樣的2條直線?

生8：l1：y= －2(x－2)+4 是與漸近線 x+平行的直線(直線顯現本真面目).

師(當即確認)：對!

教師(確認并發(fā)問)：對!過雙曲線開口外一點有時只能作雙曲線的一條切線，這是為什么?

學生們大聲回答：因為它在漸近線上.

師(再追問與補問)：那么過雙曲線開口外的任意一點，都存在雙曲線的切線嗎?

生10：不一定.當點在一條漸近線上時，就只能作一條切線了;當點位于2條漸近線交點即雙曲線中心時，又會少去1條切線，這樣就不存在切線了!

師(評價與確認)：回答得很好!看來過雙曲線開口外一點P，可能有2條切線、1條切線或不存在切線.

師(再發(fā)問)：過雙曲線上任意一點，有幾條切線?

生11：有且只有1條.

師(回應與評價)：對!

注 交流后發(fā)現有15人像生2、有2人像生4那樣選擇B，有5人是猜或蒙了選項B，只有9人是真正選對了答案B.

在本案例中，教師“適時地重復與確認、適當地追問與補問、適宜地回應與評價、適度地疏引與指導”，成為引爆數學交流的一個個支點，而有效的數學交流使學生對問題本質的認識更加地明晰、深入而透徹.

［1］李祎.課堂數學交流研究綜述［J］.中學數學教學參考，2005(8)：48.

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［3］李祎.美國學校數學教育中的“數學交流”［J］.中國教育學刊，2006(9)：49.

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［5］蔣海甌.直線條數引紛爭［J］.中學數學教學參考，2013(11)：18-21.

［6］蔣海甌.給足思考時間架設思維空間 引發(fā)學生有效參與教學過程——“數學探究性課題教學”的一個典型案例［J］.數學教學通訊：上半月，2007(12)：10-11.

蔣海甌，男，浙江青田人，中學數學特級教師，現任教于青田教師進修學校.先后評為全國勞動模范、全國優(yōu)秀教師、浙江省功勛教師、浙江省特級教師、浙江省勞動模范、浙江省僑界十大杰出人物、浙江省教壇新秀、麗水市拔尖人才，入選浙江省首批名師培養(yǎng)人選、浙江省高級訪問學者、浙江省高級專家人才庫，連續(xù)5次獲“麗水市科學青年獎”等榮譽稱號.曾受浙江電視臺專訪，錄制《愛的奉獻》專輯.擅長“導而弗牽，開而弗達”教學法，形成“教風自然，教態(tài)親和，教法靈活多變”的教學特色.主編7部、編著30余部教學用書，160余篇論文在專業(yè)刊物發(fā)表，20余篇論文獲全國優(yōu)秀論文評比一等獎，10多個教學創(chuàng)意設計獲全國教育教學創(chuàng)新設計一等獎，10余個研究課題獲全國省市級優(yōu)秀研究成果一等獎.