基于改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面的VPMCD方法及其在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

楊 宇，潘海洋，李 杰，程軍圣

（湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082）

滾動(dòng)軸承的故障診斷本質(zhì)上是一個(gè)模式識(shí)別的過(guò)程。在滾動(dòng)軸承的故障模式識(shí)別中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等模式識(shí)別方法得到了廣泛的應(yīng)用。但是它們都存在著一定的局限性，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有收斂速度慢、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以確定［1］等問(wèn)題，支持向量機(jī)具有核函數(shù)及核參數(shù)難以確定［2］等問(wèn)題。除此之外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)在進(jìn)行模式識(shí)別時(shí)都忽略了從原始數(shù)據(jù)中所提取的特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系。

然而，在機(jī)械故障診斷中，所有或部分特征值之間大都具有一定的內(nèi)在關(guān)系，而且這種內(nèi)在關(guān)系在不同的系統(tǒng)或類(lèi)別（相同的系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下）間具有明顯的不同。因此，可以對(duì)各個(gè)特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)于不同的類(lèi)別可以得到不同的數(shù)學(xué)模型，從而可以采用這些數(shù)學(xué)模型對(duì)被測(cè)試樣本的特征值進(jìn)行預(yù)測(cè)，把預(yù)測(cè)結(jié)果作為分類(lèi)的依據(jù)，進(jìn)一步進(jìn)行模式識(shí)別。基于此，Raghuraj與Lakshminarayanan提出了一種新的模式識(shí)別方法——基于變量預(yù)測(cè)模型的模式識(shí)別（Variable Predictive Model Based Class Discriminate，簡(jiǎn)稱(chēng)VPMCD）方法，同時(shí)還將該方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等其它模式識(shí)別方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了VPMCD方法的有效性和優(yōu)越性［3］。

在VPMCD方法中，模型的訓(xùn)練過(guò)程也就是變量預(yù)測(cè)模型的建立過(guò)程，在建模過(guò)程中，變量預(yù)測(cè)模型的擬合精度影響著整個(gè)模式識(shí)別的效果。因此，獲得合理的變量預(yù)測(cè)模型至關(guān)重要。VPMCD是通過(guò)特征值之間存在相互內(nèi)在關(guān)系來(lái)建立變量預(yù)測(cè)模型的，但是這種相互關(guān)系的具體情況卻難以確定，而且特征值之間相互內(nèi)在關(guān)系的實(shí)際預(yù)測(cè)模型也無(wú)法得到。因此，該方法選取了線(xiàn)性（L）模型、線(xiàn)性交互（LI）模型、二次（Q）模型、二次交互（QI）模型四種模型作為實(shí)際模型的代理模型，并從中選取最佳代理模型，這四種模型都屬于多項(xiàng)式響應(yīng)面（Polynomial Response Surface，簡(jiǎn)稱(chēng)PRS）模型［4］。多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是一種常用的響應(yīng)面（Response Surface Method，簡(jiǎn)稱(chēng) RSM）［5］模型，也是應(yīng)用最廣泛的近似模型，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但其高階計(jì)算量卻很大，且提高的精度有限。另外，響應(yīng)面法不能夠隨著樣本容量的增大而有效提高其近似精度，這兩點(diǎn)嚴(yán)重限制了該方法的使用［6］。究其原因，主要是PRS方法采用最小二乘擬合參數(shù)，而最小二乘擬合與真實(shí)數(shù)據(jù)往往存在偏差，并且放棄這些殘差項(xiàng)，從而導(dǎo)致模型近似過(guò)程中忽略了殘差項(xiàng)，而大多數(shù)情況下殘差項(xiàng)包含了很多重要信息，將其忽略容易使模型擬合誤差偏大。針對(duì)這一缺陷，本文將原方法中的多項(xiàng)式響應(yīng)面法進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法對(duì)PRS法忽略掉的殘差重新進(jìn)行近似，保留了模型擬合的重要信息，因而比原方法的模型擬合效果更理想。基于此，本文提出了基于改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面（Improved Polynomial Response Surface，簡(jiǎn)稱(chēng)IPRS）的VPMCD方法，并將其運(yùn)用于滾動(dòng)軸承故障診斷。

1 基于改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面的VPMCD方法

1.1 VPMCD方法

以機(jī)械故障診斷問(wèn)題為例，采用p個(gè)不同的特征值 X＝［X1，X2，…，Xp］來(lái)描述一個(gè)故障類(lèi)別，對(duì)于其中的特征值Xi來(lái)說(shuō)，當(dāng)故障類(lèi)別不同時(shí)，其他的一個(gè)或者多個(gè)特征值對(duì)其影響也會(huì)發(fā)生變化。因此，特征值Xi與其余的一個(gè)或者多個(gè)特征值之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，而這種關(guān)系可以是線(xiàn)性的，也可以是非線(xiàn)性的。為了識(shí)別滾動(dòng)軸承的故障模式，需要有能夠描述這些函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)測(cè)試樣本的特征值進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)一步對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類(lèi)，這種模型稱(chēng)為變量預(yù)測(cè)模型（Variable predictive model，簡(jiǎn)稱(chēng) VPM）。

為特征值Xi定義的變量預(yù)測(cè)模型是一個(gè)線(xiàn)性或非線(xiàn)性的回歸模型，可以選擇以下四種模型之一：

① 線(xiàn)性模型（L）：

② 線(xiàn)性交互模型（LI）：

③ 二次交互模型（QI）：

④ 二次模型（Q）：

式中：r≤p－1為模型階數(shù)。這四種模型都屬于多項(xiàng)式響應(yīng)面（PRS）模型，以p個(gè)特征值為例，選取四種模型中任意一個(gè)模型，用特征值Xj（j≠i）對(duì)Xi進(jìn)行預(yù)測(cè)，都可以得到：

式（5）稱(chēng)為變量Xi的變量預(yù)測(cè)模型VPMi。其中，特征值Xi稱(chēng)為被預(yù)測(cè)變量；Xj（j≠i）稱(chēng)為預(yù)測(cè)變量；e為預(yù)測(cè)誤差；b0，bj，bjj，bjk為模型參數(shù)，可以通過(guò)所有訓(xùn)練樣本的特征值對(duì)它們進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

對(duì)于g類(lèi)故障分類(lèi)問(wèn)題，提取p個(gè)特征值X＝［X1，X2，…，Xp］．在分別采用不同故障類(lèi)別下的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行訓(xùn)練后，不同故障類(lèi)別下的不同特征值就可以分別建立g×p個(gè)預(yù)測(cè)模型VPMki，其中k＝1，2，…，g代表不同的類(lèi)別，i＝1，2，…，p代表不同的特征值。然后針對(duì)測(cè)試樣本，提取其特征值，并用g×p個(gè)模型VPMki分別對(duì)它們進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到g×p個(gè)預(yù)測(cè)值X～i，以同一類(lèi)別下所有特征值的預(yù)測(cè)誤差平方和最小為判別函數(shù)，對(duì)測(cè)試樣本的故障類(lèi)型和工作狀態(tài)進(jìn)行分類(lèi)，該方法稱(chēng)為基于變量預(yù)測(cè)模型的模式識(shí)別（VPMCD）方法。

1.2 多項(xiàng)式響應(yīng)面法

VPMCD在模型訓(xùn)練過(guò)程中是從四種多項(xiàng)式響應(yīng)面模型中選擇最佳模型為變量預(yù)測(cè)模型，在進(jìn)行模型近似時(shí)主要是利用最小二乘擬合的方法，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，找出相關(guān)因素與響應(yīng)量之間的函數(shù)關(guān)系，并用這種函數(shù)代替原來(lái)的函數(shù)關(guān)系。PRS法通常是高階多項(xiàng)式，基本形式如下：

式中：xi是 m維自變量 x的第 i個(gè)分量；β0，βi和 βij是未知參數(shù)，將它們按順序構(gòu)成列向量β，求解PRS模型最重要的就是求解向量β。將樣本點(diǎn)的值代入式（6）中，再利用最小二乘法可以求得其估計(jì)值，即 β＝

PRS方法采用的是泰勒展開(kāi)式的思想，對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)采用常用的二次多項(xiàng)式時(shí)，其自變量x在x0處展開(kāi)后得到：

式中：Δf（x0）為函數(shù) f在 x0點(diǎn)的梯度與 Δx的點(diǎn)積；Hf（x0）為函數(shù)f在 x0點(diǎn)的 Hessian矩陣。PRS法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法計(jì)算函數(shù)f在某個(gè)定義域區(qū)間內(nèi)的梯度及Hessian矩陣，并將項(xiàng)o（‖x‖3）作為殘差而將其忽略。但是，該項(xiàng)往往會(huì)比較大，而且包含很多重要信息，忽略掉該項(xiàng)會(huì)使近似值和實(shí)際值之間存在較大差異。另外，由式（6）可知，如果一個(gè)PRS模型具有n個(gè)變量，階數(shù)為 m，則相應(yīng)的未知參數(shù)為未知參數(shù)的數(shù)目會(huì)隨著階數(shù)的增加而增加，所需的計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增加，而模型的計(jì)算精度卻沒(méi)有明顯提高。因此，本文在分析PRS模型缺陷的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面（Improved Polynomial Response Surface，簡(jiǎn)稱(chēng) IPRS）模型。

1．3 改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法

相對(duì)于PRS方法，IPRS方法在近似過(guò)程中并沒(méi)有忽略殘差項(xiàng)，而是對(duì)殘差重新進(jìn)行近似。在PRS方法中，設(shè)生成的近似曲面為f1，近似曲面在采樣點(diǎn)處和已知結(jié)果f存在一定的差別，記為殘差R。IPRS方法則是進(jìn)一步對(duì)殘差進(jìn)行近似估計(jì)，并把殘差的估計(jì)結(jié)果加入到近似曲面中去。在對(duì)殘差進(jìn)行插值估計(jì)的過(guò)程中，選擇合適的插值估計(jì)方法至關(guān)重要，在插值估計(jì)方法中，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種性能良好的前向網(wǎng)絡(luò)，具有最佳逼近，能克服局部極小值問(wèn)題的性能［7－8］，用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)殘差進(jìn)行插值處理可以達(dá)到較好的插值效果。

基于此，改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法運(yùn)用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)殘差進(jìn)行插值處理，具體的步驟如下：

（1）對(duì)初始采樣點(diǎn)生成PRS近似曲面f1；

（2）計(jì)算近似曲面f1和實(shí)際曲面之間的殘差，設(shè)實(shí)際曲面為Y，則殘差R＝Y(jié)－f1；

（3）利用殘差矩陣R進(jìn)行徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值估計(jì)，得到插值函數(shù)f2；

（4）利用曲面f1和曲面f2分別進(jìn)行插值計(jì)算，得到插值結(jié)果y1和y2，并疊加y1和y2，作為最終的插值結(jié)果；

計(jì)算流程可以參考圖1，這樣，可以得到IPRS方法在n維向量x點(diǎn)處的插值結(jié)果fa（x）：

1．4 仿真對(duì)比分析

為了驗(yàn)證IPRS法的擬合效果，利用如下的測(cè)試函數(shù)對(duì)其進(jìn)行分析：

其中 0．5≤x1，x2≤3．5。

圖1 改進(jìn)響應(yīng)面法計(jì)算流程圖Fig．1 The calculation flow chart of improved polynomial response surface method

試驗(yàn)在定義域內(nèi)隨機(jī)對(duì)自變量進(jìn)行取值，為了驗(yàn)證訓(xùn)練樣本容量對(duì)擬合結(jié)果的影響，分別隨機(jī)產(chǎn)生30，100，200組訓(xùn)練樣本，同時(shí)在區(qū)間內(nèi)按照線(xiàn)性分布進(jìn)行插值，插值點(diǎn)數(shù)選擇30個(gè)，分別采用PRS法和IPRS法對(duì)該函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)進(jìn)行擬合。PRS方法中，與式（8）最接近的模型為二次交互（QI）模型，因此選擇QI模型。在用IPRS法擬合時(shí)，需利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)殘差進(jìn)行處理，本文選擇創(chuàng)建的徑向基網(wǎng)絡(luò)，其徑向基神經(jīng)元數(shù)目等于輸入樣本數(shù)目，創(chuàng)建該網(wǎng)絡(luò)只需要進(jìn)行一次運(yùn)算，因而能夠達(dá)到較快的訓(xùn)練速度。然而，創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)時(shí)需要合理選擇散布常數(shù)spread，散布常數(shù)控制著網(wǎng)絡(luò)輸出的光滑情況，其值越大輸出結(jié)果越光滑，但是太大的結(jié)果又會(huì)造成計(jì)算上的困難，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，選擇散布常數(shù)spread＝1。用兩種方法擬合后，可以得到各自的近似曲面，圖2～圖4分別是實(shí)際圖形以及兩種方法分別在訓(xùn)練樣本為30、100、200組情況下的插值擬合三維圖。

從三圖中可以明顯看出，在不同訓(xùn)練樣本容量的情況下，采用IPRS法擬合得到的近似模型相對(duì)于采用PRS法擬合得到的近似模型要更加接近于實(shí)際模型，隨著采樣樣本數(shù)量的增加，PRS法的擬合效果沒(méi)有顯著提高，而IPRS法的擬合效果有了明顯的提高。

對(duì)于兩種方法的計(jì)算結(jié)果，可以分別通過(guò)以下三種方法來(lái)驗(yàn)證它們的擬合精度：

（1） 預(yù)測(cè)點(diǎn)的均方根差：MSE＝E［（y＾－y）2］．

（2）為了評(píng)價(jià)整個(gè)模型的精度，可以選擇經(jīng)驗(yàn)積累方差標(biāo)準(zhǔn)：其中 m為誤差取樣點(diǎn)總數(shù)，在這里m＝30×30；

圖2 訓(xùn)練樣本為30組情況下的擬合圖形和原始圖形Fig．2 The fitting graphics and original graphics at the training sample group of 30

圖3 訓(xùn)練樣本為100組情況下的擬合圖形和原始圖形Fig．3 The fitting graphics and original graphics at the training sample group of 100

圖4 訓(xùn)練樣本為200組情況下的擬合圖形和原始圖形Fig．4 The fitting graphics and original graphics at the training sample group of 200

兩種方法在訓(xùn)練樣本數(shù)目不同的情況下的擬合精度對(duì)比如表1所示。從表中可以看出，PRS方法在各驗(yàn)證方法下的擬合精度都比IPRS方法低，而且隨著訓(xùn)練樣本數(shù)目的增加，其精度提高的也不明顯；相反，IPRS的擬合精度隨著訓(xùn)練樣本數(shù)量的增加有著顯著地提升，這說(shuō)明IPRS方法在訓(xùn)練樣本數(shù)目較多的情況下比PRS方法的擬合能力更好。因此，將IPRS法代替PRS法而引入VPMCD算法可以達(dá)到更理想的模式分類(lèi)效果。

表1 兩種方法在訓(xùn)練樣本容量不同的情況下的擬合精度對(duì)比Tab．1The contrast of fitting precision of the two methods under different capacity of training sample

1．5 基于改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面的VPMCD方法

本文將改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法代替原始VPMCD中的多項(xiàng)式響應(yīng)面法，提出了基于改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面的VPMCD方法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)IPRS－VPMCD），具體的步驟如下所示：

（1）模型訓(xùn)練過(guò)程：

① 對(duì)于g類(lèi)狀態(tài)分類(lèi)問(wèn)題，共收集n個(gè)訓(xùn)練樣本，每一類(lèi)狀態(tài)樣本數(shù)分別為 n1，n2，…，ng。

② 對(duì)所有訓(xùn)練樣本提取特征值X＝［X1，X2，…，Xp］。

③ 對(duì)任意被預(yù)測(cè)變量 Xi，選擇代理模型（L、LI、QI、Q四種PRS模型之一）、預(yù)測(cè)變量和模型階數(shù)。對(duì)于不同的特征值，其預(yù)測(cè)模型類(lèi)型、預(yù)測(cè)變量和模型階數(shù)都有可能不同。

④ 令k＝1，對(duì)于nk個(gè)第k類(lèi)訓(xùn)練樣本中的任意一個(gè)樣本，分別對(duì)每一個(gè)特征值Xi建立PRS模型，則對(duì)每一個(gè)特征值可以建立nk個(gè)方程；然后用PRS法獲得Xi的插值結(jié)果，再以預(yù)測(cè)誤差平方和為判別函數(shù)，得到預(yù)測(cè)誤差平方和最小的PRS模型；再利用此模型，得到被預(yù)測(cè)變量的擬合值和實(shí)際值之間的殘差Ri，利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其進(jìn)行插值估計(jì)，得到插值結(jié)果和對(duì)應(yīng)的插值模型，并將其與之前的PRS模型相疊加，所得到的模型即為特征值Xi的預(yù)測(cè)模型

⑤ 令k＝k＋1，循環(huán)步驟④，至k＝g結(jié)束。

⑥至此，對(duì)所有模型類(lèi)別下的所有特征值都分別建立了預(yù)測(cè)模型VPMik，其中 k＝1，2，…，g代表不同類(lèi)別，i＝1，2，…，p代表不同特征值。

（2）模型分類(lèi)過(guò)程：

① 選擇測(cè)試樣本，并提取其特征值 X＝［X1，X2，…，Xp］。

② 對(duì)于測(cè)試樣本的所有特征值 Xi（i＝1，2，…，p），分別采用 VPMki（k＝1，2，…，g）對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到測(cè)試值，其中 k＝1，2，…，g代表不同類(lèi)別，i＝1，2，…，p代表不同特征值。

③ 計(jì)算同一類(lèi)別下所有特征值的預(yù)測(cè)誤差平方最小為判別函數(shù)對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類(lèi)，其中k＝1，2，…，g代表不同類(lèi)別。當(dāng)在g個(gè)預(yù)測(cè)誤差平方和值中小時(shí)，將測(cè)試樣本識(shí)別為第k類(lèi)。

2 基于LCD近似熵和IPRS-VPMCD的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

在滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)特征提取算法中，近似熵在描述信號(hào)的復(fù)雜性時(shí)具有較好的抗噪、抗干擾能力，而且利用較短數(shù)據(jù)即可以較穩(wěn)健地估計(jì)出信號(hào)的近似熵。同時(shí)，近似熵能用于隨機(jī)過(guò)程和確定性過(guò)程，其取值大小會(huì)隨著隨機(jī)過(guò)程和確定過(guò)程的混合比例不同而不同［9］。因此，近似熵能表征信號(hào)的復(fù)雜程度和產(chǎn)生新模式的概率，可將其應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域。而且，文獻(xiàn)［10］指出，在實(shí)際計(jì)算中，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n為有限值，當(dāng)近似熵的嵌入維數(shù)m＝2，相似容量r＝0．1SDx～0．2SDx（SDx為原始數(shù)據(jù) x（i）的標(biāo)準(zhǔn)差）時(shí)，熵值對(duì) N的依賴(lài)程度最小，具有較合理的統(tǒng)計(jì)特性。因此，可以通過(guò)近似熵算法對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取。

然而滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)往往表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，若直接進(jìn)行近似熵計(jì)算會(huì)影響診斷精度，因此，必須先對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理。在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中，時(shí)頻分析方法能同時(shí)提供非平穩(wěn)信號(hào)在時(shí)域和頻域的局部化信息，因而得到了廣泛的應(yīng)用。在時(shí)頻分析方法中，局部特征尺度分解（Local Characteristic Scale Decomposition，簡(jiǎn)稱(chēng)LCD）算法［10］是一種新的基于極值點(diǎn)的局部特征尺度參數(shù)的自適應(yīng)、非平穩(wěn)信號(hào)處理方法，它能將信號(hào)自適應(yīng)地分解為一系列瞬時(shí)頻率具有物理意義的內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic Scale Component，簡(jiǎn)稱(chēng)ISC）。LCD在分解速度、信號(hào)的還原度方面都能夠達(dá)到較滿(mǎn)意的效果，因而具有非常大的應(yīng)用前景。本文將近似熵算法和LCD算法相結(jié)合應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷，通過(guò)LCD方法將滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)分解為若干個(gè)平穩(wěn)的ISC分量，計(jì)算每個(gè)ISC分量的近似熵，再利用不同ISC分量中提取的近似熵之間存在相互關(guān)系這一特點(diǎn)，采用IPRS-VPMCD方法建立預(yù)測(cè)模型，從而進(jìn)行模式分類(lèi)。

基于LCD近似熵和IPRS-VPMCD的滾動(dòng)軸承故障診斷方法的具體步驟為：

（1）在一定轉(zhuǎn)速下以采樣率fs對(duì)滾動(dòng)軸承正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障四種狀態(tài)進(jìn)行采樣，每種狀態(tài)采集N組樣本。

（2）分別對(duì)各類(lèi)別狀態(tài)的原始信號(hào)進(jìn)行LCD分解，每個(gè)信號(hào)得到若干個(gè)ISC分量和余量。選擇合適的i個(gè)ISC分量，對(duì)所選的ISC分量分別提取近似熵作為特征值，組成特征值向量，每種狀態(tài)下得到N×i階的特征值矩陣。

（3）對(duì)于不同狀態(tài)下的N組特征值，選擇n組樣本作為訓(xùn)練樣本，采用IPRS-VPMCD方法進(jìn)行訓(xùn)練得到預(yù)測(cè)模型；

（4）將剩余的N－n組樣本作為測(cè)試樣本，用訓(xùn)練得到的預(yù)測(cè)模型對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)并分類(lèi)，根據(jù) IPRSVPMCD分類(lèi)器的輸出結(jié)果來(lái)確定滾動(dòng)軸承的工作狀態(tài)和故障類(lèi)型。

3 應(yīng) 用

本文將IPRS-VPMCD方法應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷，采用美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)該方法的有效性和優(yōu)越性進(jìn)行驗(yàn)證，所采用的軸承型號(hào)、參數(shù)和實(shí)驗(yàn)裝置見(jiàn)文獻(xiàn)［11］。采樣頻率為48 kHz，電機(jī)負(fù)載為 0．746 kW，轉(zhuǎn)速為 1 772 r／min，狀態(tài)類(lèi)型分別為：正常狀態(tài)、外圈故障、內(nèi)圈故障、滾動(dòng)體故障。故障點(diǎn)的直徑為0．177 8 mm，故障深度為0．279 4 mm，每種狀態(tài)各得到200個(gè)樣本。對(duì)各樣本的原始信號(hào)進(jìn)行LCD分解，選擇標(biāo)準(zhǔn)偏差法［12］作為終止判據(jù)，選擇鏡像對(duì)稱(chēng)延拓方法［13］減少邊界效應(yīng)，圖5所示的是某一滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體故障狀態(tài)下的信號(hào)及其LCD分解后的分量。

由于滾動(dòng)軸承的故障信息主要集中在高頻段，因此，可選取前四個(gè)ISC分量，并對(duì)各分量求取近似熵值（算法中選擇 m＝2，r＝0．2SDx），分別標(biāo)記為 X1，X2，X3，X4。將所得的近似熵值組成特征向量，以此作為分類(lèi)器的輸入進(jìn)行模式識(shí)別。各類(lèi)數(shù)據(jù)可以提取出200組近似熵，每組近似熵為4個(gè)。各類(lèi)別狀態(tài)選擇50組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，訓(xùn)練樣本分別選擇30、90、150組，用IPRS-VPMCD方法進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試，得到不同訓(xùn)練樣本容量下的分類(lèi)結(jié)果。同時(shí)，將IPRS-VPMCD方法與VPMCD方法在相同情況下的分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，以此驗(yàn)證兩種模式識(shí)別方法在不同訓(xùn)練樣本容量下的模式分類(lèi)能力。

圖5 滾動(dòng)體故障狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)及其LCD分解后的分量Fig．5Vibration signal of rolling element bearing fault state and its components after LCD decomposition

在IPRS-VPMCD方法的殘差估計(jì)中，選擇徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)輸入中散布常數(shù)spread的取值不同會(huì)對(duì)分類(lèi)結(jié)果有一定的影響，需合理選擇，本實(shí)驗(yàn)參照交叉驗(yàn)證［14］的方法，并通過(guò)多次試驗(yàn)，選擇 spread＝1．1。另外，為了驗(yàn)證IPRS-VPMCD方法的適用性及優(yōu)越性，分別與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)和VPMCD比較，首先經(jīng)過(guò)優(yōu)化選擇，設(shè)置RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差的平方和為0．05，設(shè)置支持向量機(jī)的折衷系數(shù)為10，核函數(shù)為RBF核函數(shù)，然后用四種分類(lèi)器分別進(jìn)行訓(xùn)練分類(lèi)，最后得到不同訓(xùn)練樣本數(shù)目情況下的分類(lèi)結(jié)果。具體情況如表2所示。

表2 四種分類(lèi)方法的分類(lèi)時(shí)間和識(shí)別率對(duì)比Tab．2 The comparison of four kinds of classification methods in the classification time and recognition rate

從表中可以看出，隨著樣本容量的增大，四種方法的分類(lèi)精度都明顯有所提高，提高了3%左右，但是無(wú)論樣本容量多少，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和VPMCD的分類(lèi)精度都明顯低于支持向量機(jī)和IPRS-VPMCD。另外，再?gòu)姆诸?lèi)時(shí)間上看，VPMCD和IPRS-VPMCD的分類(lèi)時(shí)間明顯快于另外兩種，尤其是支持向量機(jī)，綜合分析，IPRSVPMCD方法在訓(xùn)練過(guò)程中除了獲得最佳PRS模型之外，對(duì)其殘差還進(jìn)行了插值處理，保留了部分重要信息，因此，IPRS-VPMCD方法在保證分類(lèi)效率的同時(shí)，有效地提高了計(jì)算精度，并且分類(lèi)精度能夠隨訓(xùn)練樣本容量增加而明顯提高。

4 結(jié) 論

改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法將多項(xiàng)式相應(yīng)面法中忽略掉的殘差項(xiàng)重新進(jìn)行了插值近似，保留了模型擬合過(guò)程中的重要信息，因而能夠獲得更加合理的近似模型。通過(guò)仿真分析，將多項(xiàng)式響應(yīng)面法和改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法進(jìn)行擬合效果的比較，結(jié)果證明了改進(jìn)多項(xiàng)式響應(yīng)面法具有更好的擬合效果，而且能夠隨著訓(xùn)練樣本容量的增加較明顯地提高擬合精度。

將改進(jìn)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法代替原始VPMCD方法中的多項(xiàng)式響應(yīng)面法，提出了IPRS-VPMCD方法，并將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷中。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，將IPRSVPMCD方法和VPMCD方法在訓(xùn)練樣本容量不同情況下的分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果證明了它的優(yōu)越性。

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