大跨屋蓋結構風致背景響應和共振響應實用組合方法

李玉學，楊慶山，田玉基，向 敏

（1．石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊 050043；

2．石家莊鐵道大學 道路與鐵道工程安全保障省部 共建教育部重點實驗室，石家莊 050043；3．北京交通大學 土木建筑工程學院 結構風工程與城市風環(huán)境北京市重點實驗室，北京 100044）

Davenport［1］將背景響應和共振響應的概念引入結構風工程計算，由于該求解思路能夠較好地反映風荷載對結構的作用機理，因而得到了廣泛應用并不斷發(fā)展［2－6］。已有研究表明，基于該思路求解大跨屋蓋結構的風振響應常常需要涉及各參振模態(tài)內和模態(tài)間背景響應、共振響應的耦合效應，即結構響應的合理組合問題［7－10］。

圍繞上述問題，國內外很多學者提出了多種處理方法。Gu等［8］為了得到考慮模態(tài)間耦合效應的共振響應合理組合，提出將參振模態(tài)共振響應的SRSS（平方和開方）組合結果乘以一個修正系數(shù)來考慮模態(tài)間耦合項的貢獻；羅楠等［9］通過對頻響傳遞函數(shù)的分析，給出了參振模態(tài)共振響應的簡化CQC（完全二次型）組合方法，以實現(xiàn)模態(tài)共振響應的高效組合。Ke等［10］研究背景響應和共振響應間耦合項發(fā)現(xiàn)，其所占脈動風總響應的比例甚至達到20%，并提出了補償該耦合項貢獻的一致耦合法。Holmes［11－12］采用靜力方法計算總背景響應，并采用SRSS法組合多階模態(tài)共振響應得到總響應，該方法有效考慮了背景響應的模態(tài)耦合效應，但忽略了共振響應模態(tài)耦合效應的影響，且背景響應和共振響應能否采用SRSS組合也值得商榷。李玉學等［13］通過構造模態(tài)耦合系數(shù)選取耦合主導模態(tài)，在此基礎上，考慮模態(tài)耦合的總背景響應和共振響應可以由各參振模態(tài)響應的SRSS組合結果疊加耦合主導模態(tài)的貢獻得到，該方法的缺陷在于背景響應的計算也需要在各參振模態(tài)上分解，且省略了高階模態(tài)的貢獻，計算效率和精度受到影響。田玉基等［14］通過求解背景響應和共振響應相關系數(shù)，并采用CQC法組合了北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋的豎向位移響應，達到了較高的計算精度，但計算過程比較復雜。

本文將基于隨機振動理論，分析推導背景響應及其模態(tài)耦合項、共振響應及其模態(tài)耦合項、背景響應與共振響應耦合項的表達式，并給出考慮耦合效應的脈動風總響應組合公式。在此基礎上，引入耦合效應修正系數(shù)，根據(jù)結構動力特性和風荷載特性對該組合公式簡化分析，據(jù)此實現(xiàn)考慮耦合效應的大跨屋蓋結構風致背景響應和共振響應實用高效組合。

1 背景、共振分量定義及其傳統(tǒng)組合方法

大跨屋蓋結構在脈動風荷載作用下的運動方程為：

式中：M、C和K分別為結構的質量、阻尼和剛度矩陣；分別為加速度、速度和位移向量；P（t）為測壓點處的脈動風荷載，L表示測壓點與節(jié)點間等效力轉換矩陣。

按照背景響應的概念，將脈動風荷載作用下的結構振動看作擬靜力過程，即忽略式（1）中的動力項，可以得到結構背景響應的控制方程：

求解方程（2）得背景響應：

按照模態(tài)疊加法，選取一定數(shù)量的主導模態(tài)（對結構響應貢獻較大的模態(tài)，記為m階）參與計算，主導模態(tài)的選取參見文獻［15］，則式（1）中的結構位移響應可以表示為：

式中為m階主導模態(tài)組成的模態(tài)矩陣，j為第 j階參振模態(tài)的模態(tài)向量；為 m階主導模態(tài)廣義模態(tài)坐標組成的列向量，qj（t）為第j階參振模態(tài)的廣義模態(tài)坐標；“T”表示矩陣轉置；Qb（t）和Qr（t）分別為 Q（t）相應地背景分量和共振分量。

同理，由模態(tài)背景響應的概念，Qb（t）可以通過靜力分析得到，即：

式中階主導模態(tài)廣義柔度矩陣，diag［·］表示取對角線元素組成的對角矩陣為第j階參振模態(tài)的圓頻率；F（t）為廣義模態(tài)力列向量。

將式（5）代入式（4）可以得到共振響應：

至此，按照隨機振動理論，結構某一自由度i上總響應方差可以由式（3）表示的背景響應 Xd，b（t）和式（6）表示的共振響應 Xd，r（t）組合得到：

式中得到的結構第 i自由度上背景響應方差和共振響應方差；ρx，b，r，i為由 Xd，b（t）和 Xd，r（t）得到的結構第 i自由度上背景響應和共振響應的相關系數(shù)，計算公式為：

式中 Sx，b（ω）、Sx，r（ω）、Sx，b，r（ω）分別為背景響應譜矩陣、共振響應譜矩陣及二者耦合項響應譜（響應互譜）矩陣；diag［·］i表示對角矩陣diag［·］中與結構第 i個自由度對應的元素。

式（7）中最后一項即為背景響應和共振響應的耦合項，需要通過式（8）計算相關系數(shù) ρx，b，r，i求得，而ρx，b，r，i的計算需要涉及繁瑣的雙重求和與積分運算，因此在工程實踐中常常將其省略，采用不考慮背景、共振耦合項的SRSS組合，即：

研究表明，對于大跨屋蓋結構風振響應計算，SRSS組合常常不能得到理想的結果［10，14］。本文將基于背景響應、共振響應及二者耦合項的分析推導，給出其考慮耦合效應的實用組合方法。

2 考慮耦合效應的背景、共振響應實用組合

2.1 背景響應及其耦合項

由公式（3）得背景響應的相關函數(shù)：

式中E［·］表示數(shù)學期望；Rpp（τ）表示脈動風荷載的互相關矩陣，τ為虛時間變量。

對式（10）作傅里葉變換，得背景響應功率譜：

式中SPP（ω）為脈動風荷載互譜矩陣。

由式（11）得背景響應方差：

式（12）包含了所有模態(tài)及其耦合項對背景響應的貢獻，取其對角線元素可以得到結構某一自由度i上的背景響應方差：

式中 Sbibi（ω）為 K－1LSPP（ω）LTK－1T第 i個對角線元素為荷載方差矩陣。

2.2 共振響應及其耦合項

同理，由式（6）可以得到共振響應的相關函數(shù)：

對式（14）作傅里葉變換，得共振響應功率譜：

式中為第j階模態(tài)的頻響函數(shù)，i為虛數(shù)單位；Hr（ω）為共振響應的頻響函數(shù)矩陣。

由式（15）可以得到共振響應方差：

式（16）為共振響應的CQC組合表達式，包含了各階主導模態(tài)及其模態(tài)耦合項對共振響應的貢獻，由此可得結構某一自由度i上的共振響應方差：

式中：j，i、k，i分別表示第 j階和第 k階模態(tài)在結構第 i自由度上的值Lk為第 j階和第 k階模態(tài)力譜為第 j階模態(tài)共振響應頻響函數(shù)為結構第 i自由度上第 j階模態(tài)共振響應方差i為結構第 i自由度上第 j階和第k階模態(tài)耦合項共振響應方差。

式（17）右邊第一項為m階主導模態(tài)對共振響應的貢獻（SRSS組合）；第二項為模態(tài)耦合項對共振響應的貢獻。

2．3 背景響應與共振響應耦合項

由式（3）和式（6）可以得到背景響應和共振響應耦合項的相關函數(shù)：

對式（18）作傅里葉變換，得背景響應和共振響應耦合項功率譜：

由式（19）得背景響應和共振響應耦合項的方差：由式（20）可以得結構某一自由度i上的背景與共振耦合項位移響應方差：

式中 SBiBi（ω）為矩陣 K－1LSPP（ω）LT第 i個對角線元素；σ2x，b，r，j，i為結構第 i自由度上第 j階模態(tài)共振響應與背景響應耦合項位移響應方差。

2．4 總響應實用組合

由式（13）、（17）、（21）可以得到結構某一自由度 i上總響應方差：

式（22）包含了背景響應及其模態(tài)耦合項、共振響應及其模態(tài)耦合項、背景響應與共振響應耦合項三部分。與式（7）傳統(tǒng)組合方式不同的是，背景響應與共振響應耦合項不再通過求解相關系數(shù) ρx，b，r，i得到。

為簡化計算，將式（22）進一步表示為：

cji定義為耦合效應修正系數(shù)，其大小反映了結構第i自由度上計入第j階模態(tài)共振響應與背景響應的耦合項后對第j階模態(tài)共振響應的影響，因此可以通過該系數(shù)來考慮背景響應與共振響應的耦合效應。

為簡化計算，需要根據(jù)結構動力特性和風荷載特性對cji進行簡化處理。

式中H第 j階模態(tài)共振響應頻響函數(shù)的實部，由于）虛部對結構響應影響不大，為簡化分析，只取其實部［16］。H*j，r在頻域內的分布如圖 1所示，表達式為：

式中

圖1 頻域分布示意圖Fig．1 Schematic diagram of

由圖1可見，在低頻段其值幾乎為零，在結構自振頻率ωj附近發(fā)生符號變換，且在ωj附近有一個窄帶峰值區(qū)，在其他頻域段其值相對較小，據(jù)此可將其在頻域內離散處理：

式中 Δj為第 j階模態(tài)的共振區(qū)間寬度；Hj，rmax，Δj、Hj，rmin，Δj分別表示在共振區(qū)間 Δj內的最大值和最小值；

結合式（27），可將式（25）離散表示為：

其中：

由圖1可見，在共振區(qū)間 Δj內，由極大值到極小值發(fā)生突變，故在 Δj內可將其近似看作線性變化，即：

式中處的值。

對于大跨屋蓋結構，風荷載譜SPP（ω）在風荷載卓越頻率ω0處有一峰值，其后在高頻段迅速衰減，如圖2所示。風荷載屬于低頻荷載，通常風荷載的卓越頻率ω0遠小于結構自振頻率忽略，由此可得：

圖2 SPP（ω）頻域分布示意圖Fig．2 Schematic diagram of SPP（ω）

式（24）中 σ2x，j，r，i，可以進一步表示為：

圖 3 ｜Hj，r（ω）｜2頻域分布示意圖Fig．3 Schematic diagram of｜Hj，r（ω）｜2

由圖 3可見在低頻段其值幾乎為零，在結構自振頻率ωj附近的窄帶峰值區(qū)內有一峰值，在高頻段其值相對較小，據(jù)此可將式（36）在頻域內離散處理：

式（44）右邊第一項為背景響應，考慮了所有模態(tài)及其耦合項的貢獻；右邊第二項為m階主導模態(tài)共振響應及其與背景響應耦合項的貢獻，該耦合項通過耦合效應修正系數(shù)cji計及，而cji的計算不再涉及復雜的求和與積分運算，由結構動力特性參數(shù)和風荷載參數(shù)即可方便求得；右邊第三項為m階主導模態(tài)共振響應模態(tài)耦合項的貢獻?？梢?，該組合公式有效考慮了參振模態(tài)間和模態(tài)內背景響應和共振響應的耦合效應，且方便組合。

3 算例分析

根據(jù)本文給出的實用組合公式，采用FORTRAN語言編制了計算程序，以國家體育場屋蓋主結構為例，對其風致背景響應、共振響應進行了組合計算。為了比較，還分別采用傳統(tǒng)方法（CQC法和SRSS法）對結構風振響應進行了組合計算。

3.1 國家體育場結構形式及風洞試驗簡介

國家體育場屋蓋主結構由圍繞中間環(huán)梁呈放射狀布置的48榀格構式剛架組成，剛架由周邊24根組合柱支撐。主體建筑為橢圓型，長軸和短軸方向最大尺寸分別為332．3 m和296．4 m，屋蓋頂面呈鞍型，中間開洞長、寬尺寸分別為185．3 m和127．5 m，屋蓋主結構及次結構形成了“鳥巢”的特殊建筑造型，如圖4所示。該結構建筑體型復雜，屬于風敏感結構，無法從現(xiàn)行荷載規(guī)范中獲得相應的風荷載數(shù)據(jù)，需要通過風洞試驗確定結構表面的實際風荷載，為結構抗風設計提供依據(jù)。

圖4 國家體育場屋蓋結構計算模型Fig．4 Calculation model of National Stadium roof structure

國家體育場屋蓋結構風洞試驗在BMT流體力學有限公司完成，風洞測試區(qū)寬4．8 m、高2．4 m、長15 m，風洞試驗中模型的幾何縮尺比為1∶300，并被安裝在一個直徑4．4 m的多板轉臺上，同時模擬距離場地中心450 m半徑范圍內周邊建筑的影響，地面粗糙度類別取B類，基本風壓取0．5 kN／m2，換算到體育場檐口高度（作為基準高度）處的設計風速為32 m／s，基準高度處湍流強度約為17%，在內外屋蓋的上下表面以及中間環(huán)梁屋面的兩個側面共布置了509個測壓點，試驗模型采樣頻率為500Hz，每個測點采集98 000個數(shù)據(jù)，以10°為間隔，共采集了36個不同風向角下的風荷載數(shù)據(jù)，其中340°風向角為盛行風向，本文算例分析采用的風荷載為340°風向角時的測壓數(shù)據(jù)，風向角的定義如圖5所示。

圖5 典型控制節(jié)點位置編號及風洞試驗中風向角定義Fig．5 Position and number of key nodes and wind position of wind tunnel test

3.2 風洞試驗數(shù)據(jù)處理及結構自振特性分析

在風振響應計算時，為方便風荷載的施加，將整個屋蓋劃分為74個板塊，如圖6所示。分別將內外屋蓋上下表面測得的風荷載合并在一起，并認為每個板塊內部的風壓相同，其值由板塊內部所有測壓點風荷載數(shù)據(jù)取平均得到。

圖6 風荷載加載板塊示意圖Fig．6 Load panel of wind load

為了計算結構在已測風荷載作用下的風致響應，還需要結構的自振頻率、振型等模態(tài)信息，為此本文在ANSYS中建立了結構有限元計算模型（圖4），并進行自振特性分析，提取了結構前500階模態(tài)的自振頻率和振型，圖7給出了前500階模態(tài)自振頻率分布。

圖7 國家體育場前500階自振頻率分布Fig．7 Ahead 500 mode natural frequency distribution of National Stadium roof structure

由圖7可以看出，結構自振頻率較低，且分布密集，在0．9Hz到8．1Hz之間分布了500階模態(tài)，模態(tài)響應間的耦合效應會比較顯著，因此結構風致響應組合計算需要考慮模態(tài)間耦合項的貢獻。

3．3 典型節(jié)點風致響應組合計算結果

根據(jù)文獻［15］所提選取主導模態(tài)的方法，從該結構自振特性分析提取的前500階模態(tài)中選取第1階、第2階、第4階、第3階、第7階、……共33階作為主導模態(tài)參與結構風振響應計算。

利用風荷載測壓試驗得到的結構表面風荷載數(shù)據(jù)以及自振特性分析得到的結構自振頻率、振型等模態(tài)信息，分別按照式（44）本文所提組合方法、式（7）傳統(tǒng)組合方法（CQC法，作為精確值）以及式（9）不考慮耦合效應的SRSS組合方法計算了結構的豎向位移極值響應。

取響應數(shù)值較大的屋蓋內環(huán)上28個節(jié)點為典型控制節(jié)點，典型控制節(jié)點位置及編號如圖5所示，篇幅限制，只選取其中6個典型控制節(jié)點的計算對比結果列于表1。

表1 典型控制節(jié)點豎向位移極值響應組合計算結果對比Tab．1 Comparison of extreme vertical displacement response of dominate nodes

從表1中可見，不考慮耦合效應的SRSS組合計算結果與傳統(tǒng)組合方法（CQC法，精確值）的計算結果差別較大，其中位移響應較大的6號節(jié)點誤差達到了10．2%，說明該節(jié)點模態(tài)耦合效應顯著，若省略耦合項的貢獻，這一誤差在工程中是不允許的，可見對于大跨屋蓋結構風振響應計算需要考慮模態(tài)耦合效應。采用本文提出的實用組合方法，其計算結果與傳統(tǒng)組合方法（CQC法，精確值）的計算結果比較接近，誤差基本控制在3%以內，說明本文提出的實用組合方法有效考慮了耦合效應，對于工程應用具有較高的精度。

為了進一步分析該屋蓋結構背景響應和共振響應耦合效應特性，根據(jù)本文對耦合效應修正系數(shù)的定義，還專門提取了28個節(jié)點典型控制節(jié)點的耦合效應修正系數(shù)值，篇幅限制，表2只列出了其中12個典型控制節(jié)點的計算結果。

表2 典型控制節(jié)點耦合效應修正系數(shù)計算結果Tab．2 Calculation results of the coupling effect modification coefficient

從表2中可見，所列12個典型控制節(jié)點的耦合效應修正系數(shù)值都超過了5%，其中最大的7號節(jié)點達到了28．89%，且基本均為負值，再次表明大跨屋蓋結構風致背景、共振響應組合計算考慮耦合效應的必要性，否則可能會高估結構的實際響應。

4 結 論

本文主要對大跨屋蓋結構風振響應計算中考慮耦合效應的背景響應和共振響應合理組合方法進行了研究，主要結論有：

（1）以隨機振動理論為基礎，推導了大跨屋蓋結構風致背景響應及其模態(tài)耦合項、共振響應及其模態(tài)耦合項以及背景響應和共振響應耦合項的表達公式，同時給出了考慮模態(tài)耦合效應的脈動風總響應組合公式。

（2）引入了耦合效應修正系數(shù)，通過該系數(shù)對背景響應和共振響應的耦合項進行補償，并根據(jù)結構動力特性與風荷載特性對脈動風總響應組合公式進行了簡化分析，得到了相應的實用組合公式，實現(xiàn)了大跨屋蓋結構考慮耦合效應的風致背景響應和共振響應高效組合，避免了繁瑣復雜的傳統(tǒng)CQC組合計算。

（3）根據(jù)本文所提背景響應和共振響應實用組合方法，對國家體育場屋蓋主結構風振響應進行了組合計算，并與傳統(tǒng)統(tǒng)組合方法（CQC法和SRSS法）計算結果進行對比。結果表明，大跨屋蓋結構風致背景響應和共振響應組合計算需要考慮耦合效應，否則可能會高估結構的實際響應。同時，也驗證了本文所提方法計算精度接近CQC法的計算精度，能夠滿足工程需要。

［1］Davenport A G．Gust loading factors［J］．Journal of the Structural Division，1967，93（3）：11－34．

［2］Ashraf A M，Gould P L．On the resonant component of the response of single degree of freedom system under wind loading［J］．Engineering Structures，1985，7（4）：280－292．

［3］Davenport A G．How can we simplify and generalize wind loads［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，1995，54：657－669．

［4］Zhou Y，Kareem A，Gu M．Equivalent static buffeting wind loads on structure［J］．Journal of Structural Engineering，2000，126（8）：989－992．

［5］Chen X Z，Kareem A．Equivalent static wind loads on buildings：new model［J］．Journal of Structural Engineering，2004，130（10）：1425－1435．

［6］李瞡，韓大建．屋蓋風振響應功率譜及背景與共振響應的分離［J］．工程力學，2010，27（6）：65－71．LI Jing， HAN Da-jian． Power spectra of wind-induced response and separation of background response from resonant response for roof structures［J］．Engineering Mechanics，2010，27（6）：65－71．

［7］Chen X Z，Kareem A．Coupled dynamic analysis and equivalent static wind loads on buildings with three-dimension modes［J］．Journal of Structural Engineering，2005，131（7）：1071－1082．

［8］Gu Ming， Zhou Xuan-yi． An approximation method for resonant response with coupling modes of structures under wind action［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2009，97（11）：573－580．

［9］羅楠，廖海黎，李明水．大跨屋蓋結構共振響應的簡化CQC法［J］．西南交通大學學報，2012．47（6）：916－920．LUO Nan， LIAO Hai-li， LI Ming-shui． Simplified CQC method for resonant response of long-span roof structure［J］．Journal of Southwest Jiaotong University，2012．47（6）：916－920．

［10］Ke S T，Ge Y J，Zhao L，et al．A new methodology for analysis of equivalent static wind loads on super-large cooling towers［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2012，111（3）：30－39．

［11］Holmes J D．Along-wind response of lattice towers［J］．Engineering Structures，1996（7）：483－496．

［12］Holmes J D．Effective static load distributions in wind engineering［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2002，90（2）：91－109．

［13］李玉學，楊慶山，田玉基．大跨屋蓋風致背景響應和共振響應的模態(tài)耦合［J］．振動工程學報，2009，22（6）：614－619．LI Yu-xue，YANG Qing-shan，TIAN Yu-ji．Modal coupling effects for wind-induced background response and resonant response of large-span roof［J］． Journal of Vibration Engineering，2009，22（6）：614－619．

［14］田玉基，楊慶山．北京奧林匹克公園網球中心賽場懸挑鋼屋蓋結構風振響應分析［J］．建筑結構學報，2009，30（3）：126－132．TIAN Yu-ji，YANG Qing-shan．Wind-induced response of cantilevered steel roof of olympic park tennis center stadium［J］． Journal of Building Structures，2009，30（3）：126－132．

［15］李玉學，楊慶山，田玉基．大跨屋蓋結構風振響應主要參振模態(tài)確定方法研究［J］．計算力學學報，2010，27（6）：1049－1054．LI Yu-xue，YANG Qing-shan，TIAN Yu-ji．Research on the method for selecting dominant modes of wind-induced response for large-span roofs［J］． Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27（6）：1049－1054．

［16］Simiu E，Scanlan R H．Wind effects on structures［M］．New York，John Wiley＆Sons，Inc．，1996．

［17］沈國輝．大跨度屋蓋結構的抗風研究［D］．杭州：浙江大學，2004．

［18］武岳，吳迪，孫瑛．結構風振分析中的脈動風荷載頻率補償方法［J］．振動工程學報，2010，23（5）：480－486．WU Yue，WU Di，SUN Ying．The frequency compensation of fluctuating wind loads in wind-induced response analysis［J］．Journal of Vibration Engineering，2010，23（5）：480－486．

［19］王國硯．基于高精度數(shù)值積分的結構順風向風振計算［J］．力學季刊，2006，27（1）：162－167．WANG Guo-yan．On computation of along wind structural vibration based on numerical integration with high resolution［J］．Chinese Quarterly of Mechanics，2006，27（1）：162－167．