一種特殊的布拉格型聲子晶體桿振動帶隙研究

舒海生，張 法，劉少剛，高恩武，李世丹，董立強

（哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院702所，哈爾濱 150001）

周期結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用在工程結(jié)構(gòu)中，與之相關(guān)的減振降噪研究受到了眾多研究者的關(guān)注。在對周期結(jié)構(gòu)振動研究中發(fā)現(xiàn)，其特有的“天然”振動帶隙特性為振動隔離提供了一種新思路。類似地，近年來提出的聲子晶體本質(zhì)上也是一種周期結(jié)構(gòu)，一般是指彈性常數(shù)及密度周期分布的材料［1］，對聲子晶體的研究主要集中在帶隙形成機理和計算方法等領(lǐng)域，研究對象主要為桿、板、殼以及旋轉(zhuǎn)類結(jié)構(gòu)等［2－7］，這些研究對象相對簡單，對于工程中常見的組合式結(jié)構(gòu)研究較少［8－9］。建筑和橋梁工程中常見鋼結(jié)構(gòu)往往是通過組合式的桿或梁來承載的，其基本單元一般可簡化為雙聯(lián)角桿或三聯(lián)T型桿；機械結(jié)構(gòu)中也常常采用組合桿，例如T型助力機械手，此外醫(yī)用救護(hù)車擔(dān)架的支架、汽車保險杠、飛機尾翼中也常常見到組合桿結(jié)構(gòu)。振動在該類結(jié)構(gòu)中的傳播特性與單桿顯然是不同的。在我們前期對基于聲子晶體思想的雙聯(lián)角桿與T型桿的振動特性的研究基礎(chǔ)上［10－11］，本文進(jìn)一步針對布拉格型聲子晶體T形桿，將不同彈性常數(shù)的兩種材料周期交替地連接在一起，通過傳遞矩陣法構(gòu)造波傳播模型，推導(dǎo)了有限周期T形桿的振動傳遞函數(shù)；同時利用有限元法仿真分析了振動傳輸特性，并對理論和仿真結(jié)果進(jìn)行了對比，面內(nèi)和面外振動分析結(jié)果表明，聲子晶體T形桿對振動波的衰減能力優(yōu)于單一材料桿，具有明顯的多維寬頻減振特性，從而為工程中的組合桿支撐結(jié)構(gòu)的減振問題提供了一種新的設(shè)計思路。

1 布拉格型聲子晶體T形桿

如圖1（a）所示為布拉格型T形桿示意圖，材料A、B周期交替聯(lián)接，該組合桿可視為由三根單桿通過連接塊組合而成，將三桿編號為a、b、c，并在其起始端分別構(gòu)建坐標(biāo)系。a＝a1＋a2為晶格常數(shù)，a1、a2分別表示兩種材料的長度；周期數(shù)為n。桿的橫截面為矩形，長寬分別設(shè)為b、h。

圖1 布拉格型聲子晶體T形桿振動分析Fig．1 PCT vibration analysis

如圖1（b）所示，當(dāng)在T形桿a端施加垂直紙面的彎曲振動激擾時，振動波會沿a桿通過連接塊傳遞到b和c桿，當(dāng)其通過連接塊時彎曲波會發(fā)生彎扭耦合效應(yīng)。如圖中A向所示，當(dāng)垂直于紙面的彎曲振動傳播到連接塊與材料B接觸的截面時，會對連接塊截面微元產(chǎn)生彎矩，使截面產(chǎn)生微小形變，這種形變會對b桿產(chǎn)生一定的扭轉(zhuǎn)角，a桿上傳遞彎曲形變對b桿起始端產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)變形，a桿所受彎矩轉(zhuǎn)變?yōu)閎桿的扭矩。

2 T形桿面外振動分析

在a端施加z向的振動激勵，則面外彎曲波沿桿方向傳播，在三桿的結(jié)合處由彈性波的連續(xù)傳播性可以得到2個條件：桿a末端位移＝桿b始端位移、桿a末端剪力＝桿b始端剪力；同時根據(jù)這種耦合傳播效應(yīng)，在連接處會得到以下4個協(xié)調(diào)條件：桿a末端轉(zhuǎn)角＝桿b始端扭轉(zhuǎn)角、桿a末端的扭轉(zhuǎn)角＝桿b始端轉(zhuǎn)角、桿a末端彎矩＝桿b始端扭矩、由于T形桿的對稱性桿a末端的扭矩＝2倍的桿b始端彎矩，上述協(xié)調(diào)關(guān)系可用矩陣形式表為：

式中：

其中腳標(biāo)第一個字母表示周期數(shù)，第二個字母表示材料種類1表示材料A，2表示材料B，上標(biāo)表示桿。E為楊氏模量，G為剪切模量，I為截面慣性矩，Ip為截面極慣性矩，α＝ω／c，c為扭轉(zhuǎn)振動波在某種介質(zhì)中的傳播速度 c2＝G／ρ，λ4＝ρAω2／EI，A為截面面積，ω為角頻率，j為虛數(shù)單位。其中：

同理，當(dāng)彎曲波在桿中傳播到第n周期材料A與材料 B交界面時，x＝（n－1）a＋a1，即 x′＝a1，由結(jié)合處的連續(xù)性可得位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力、扭角及扭矩的

傳遞矩陣：

式中各參數(shù)含義同上，其中：

同理，在第n－1周期與第n周期交界面，即在x＝（n－1）a處，對于第n－1周期的材料B來說，x′＝a，對于第n周期的材料A來說x′＝0，類似地，傳遞矩陣可表為：

其中：

由式（2）、（3）可得彎曲波第n周期和第n－1周期之間的傳遞關(guān)系：

式中 T′＝（K2）－1H2（H1）－1K1為單桿傳遞矩陣。

由式（1）、（2）及式（4）可得：

式中T形桿的總傳遞矩陣為：

T＝（H1）－1K1（T′）n－1（K0）－1H0（H1）－1K1（T′）n－1，其中n為T形桿周期數(shù)。

當(dāng)在a桿的下端加載振幅為u0的寬頻激勵，b桿末端為自由時，其邊界條件可寫為：a桿始端位移＝μ0、a桿始端轉(zhuǎn)角＝0、a桿始端扭轉(zhuǎn)角＝0、b桿末端彎矩＝0、b桿末端剪力＝0、b桿末端扭矩＝0。以矩陣形式可表為式（6）、（7）：

將式（5）代入到式（7），并將所得矩陣與式（6）合并，可得：

式中：

b桿的末端振動幅值可表示為：

將式（5）代入上式，可得：

以分貝表示的振動衰減量即可寫為：

根據(jù)以上推導(dǎo)過程，分別在MATLAB和ANSYS環(huán)境下進(jìn)行了數(shù)值分析和仿真計算，其中材料A設(shè)定為有機玻璃，材料B設(shè)為鋁，其它參數(shù)參見表1。

在a端施加垂直T型桿平面的彎曲振動激勵，其傳輸特性如圖2所示，其中（a）為數(shù)值計算所得頻響函數(shù)曲線圖，（b）為仿真計算所得頻響函數(shù)曲線，實線和虛線分別表示聲子晶體T形桿和單一材料T形桿對面外彎曲振動的衰減值，點劃線表示輸入激擾。從圖（b）中可以看出，實線所表示的布拉格型聲子晶體T形桿對于輸入激擾振動的衰減性能明顯優(yōu)于單一材料構(gòu)成的T形桿。

對比（a）和（b）兩圖可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值計算結(jié)果與仿真計算結(jié)果基本吻合，在0～8 000 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)了多個振動帶隙，其中存在兩個較大的振動帶隙即衰減區(qū)域，第一個帶隙的起止頻率為1 520～3 260 Hz，最大衰減值達(dá)60 dB；第二個帶隙的起止頻率為4 580～6 780 Hz，最大衰減值達(dá)44 dB，帶隙最大跨度可達(dá)2 200 Hz。同時在0～1 500 Hz范圍內(nèi)出現(xiàn)三個較窄的衰減區(qū)域，平均衰減值為20 dB左右，因此T形桿對于中低頻段的振動也具有一定的減振性能。

表1 T形桿材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab．1 The Material and Structural parameters of T－type rod

圖2 布拉格型T形桿面外振動頻率響應(yīng)函數(shù)曲線Fig．2 The Bragg T rod frequency response function of out-of-plane vibration

圖3 布拉格型T形桿豎直振動頻率響應(yīng)函數(shù)曲線Fig．3 The Bragg T rod frequency response function of vertical vibration

圖4 布拉格型T形端水平振動頻率響應(yīng)函數(shù)曲線Fig．4 The Bragg T rod frequency response function of horizontal vibration

3 T形桿面內(nèi)振動分析

類似的，如圖1（b）所示，當(dāng)a桿下端受到沿y軸面內(nèi)彎曲振動激擾時，振動會沿a桿通過連接塊傳遞到b、c桿上，當(dāng)傳播至結(jié)合處（圖中黑色處）時會發(fā)生彎縱耦合效應(yīng)。假設(shè)將連接塊看作為一個集中質(zhì)量點，當(dāng)振動波傳播至該點時，會使其產(chǎn)生一個沿b桿軸線方向的振動，波型發(fā)生轉(zhuǎn)化，從而使b桿發(fā)生縱振，進(jìn)而導(dǎo)致彎縱耦合，a桿所受剪力轉(zhuǎn)變?yōu)閎桿所受縱向力；同理，當(dāng)a桿下端受到沿軸線方向的面內(nèi)振動（縱振）時，通過連接塊a桿的縱振會使b桿作彎曲振動，此時a桿所受縱向力轉(zhuǎn)變?yōu)閎桿所受剪力。

對于T形桿面內(nèi)振動的數(shù)值推導(dǎo)部分，由于縱振與扭振的波動方程解相似，只需對某些參數(shù)進(jìn)行替換即可，因而此處的推導(dǎo)不再贅述。

需要指出的是，由于面內(nèi)任意方向的激擾均可分解為沿x與y軸（即豎直和水平）方向，因此本文將分別對沿a端坐標(biāo)方向施加位移激擾進(jìn)行計算，振幅均設(shè)為 u0。

圖3給出了對a端施加面內(nèi)豎直方向振動激勵時，T形桿的頻響函數(shù)曲線，其中（b）為仿真計算所得頻響結(jié)果，實線和虛線分別表示聲子晶體T形桿和單一材料T形桿對面外彎曲振動的衰減值，點劃線表示輸入激擾。對比（a）、（b）兩圖可知，數(shù)值計算結(jié)果與仿真計算結(jié)果基本吻合，存在多個振動衰減區(qū)域，尤其是在4 280～8 000 Hz頻率范圍內(nèi)除少許共振峰外，其余頻率范圍均處在衰減區(qū)域，平均衰減值可達(dá)20 dB以上。

圖4給出了對a端施加面內(nèi)水平方向振動激勵時，T形桿的頻響函數(shù)曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)圖中存在兩個較大帶隙，起止頻率分別為1 540～3 310 Hz和4 620～6 660 Hz，其最大衰減值可達(dá)50 dB。從仿真結(jié)果上可以看出，聲子晶體T形桿對共振峰值也有良好的抑制效果。

4 結(jié) 論

針對布拉格型聲子晶體T形桿進(jìn)行了振動特性研究，分別采用傳遞矩陣法和有限元仿真進(jìn)行了數(shù)值和仿真分析，分析結(jié)果表明：

（1）通過對比布拉格型聲子晶體T形桿和單一材料的T形桿的振動傳輸特性曲線，可知聲子晶體T形桿對空間任意方向振動激擾的減振能力均明顯優(yōu)于單一材料桿，因而更適合于工程中的多維減振需求；

（2）該聲子晶體T形桿能夠?qū)崿F(xiàn)振動波型的轉(zhuǎn)化，在一種振動的傳遞率等式中均包含著兩種波的傳遞矩陣，這種振動波形的轉(zhuǎn)化使其產(chǎn)生了帶隙疊加的效果，從而有利于桿件對不同類型振動激擾的抑制；

（3）不同方向振動激擾的頻響函數(shù)結(jié)果表明布拉格型聲子晶體T形桿具有多維寬頻減振的能力，但這種寬頻的減振帶隙多出現(xiàn)于中高頻范圍，為此可以進(jìn)一步引入壓電材料加以主動調(diào)節(jié)，從而使得該帶隙向低頻移動，這也是我們的下一步工作重點。

［1］溫熙森，溫激鴻，郁殿龍，等．聲子晶體［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2009．

［2］Diaz-de-Anda A．，Pimentel A，F(xiàn)lores J． et al． Locally periodic Timoshenko rod：experiment and theory［J］．Journal of the Acoustical Society of America，2005，117（5）：2814－2819．

［3］Alakebanga T N T．Finite element and experimental analysis of wave propagation in conical periodic structures［D］．Washington DC：The Catholic University of America，2003．

［4］Toso M．Wave propagation in rods shell and rotating shafts with non-uniform geometry［D］．Washington DC：University of Maryland，2004．

［5］Jeong S M．Analysis of vibration of 2－D periodic cellular structures［D］．Atlanta：Georgia Institute of Technology，2005．

［6］Chen Sheng-bing，Wen Ji-hong，Yu Dian-long，et al．Band gap control of phononic beam with negative capacitance piezoelectric shunt［J］．Chin．Phys．B．2011，20（1）：14301．

［7］Martinsson PG，Movchan A B．Vibrations of lattice structures and phononic band gaps［J］．Q．J．Mech．Appl．Math．，2003，56：45－64．

［8］沈惠杰，郁殿龍，溫激鴻，等．平面周期管系對軸向波與彎曲波的隔離特性［J］．振動與沖擊，2011，30（3）：42－46．SHEN Hui-jie，YU Dian-long，WEN Ji-hong，et al．Transfer properties of longitudinal vibration wave and flexural vibration wave in Bragg periodic L-shaped pipe［J］．Journal of vibration and shock，2011，30（3）：42－46．

［9］Asiri S，Baz A，Pines D．Active periodic struts for a gearbox support system［J］．Smart Materials and Structures，2006（15）：1707－1714．

［10］ Shu Hai-sheng，Li Shi-dan，Dong Li-qiang，et al．A sonic crystal angular rod with ability of multi-dimensional and broadband vibration reduction［J］．Noise Control Engineering Journal，2013，60（1）：2042－2056．

［11］Shu Hai-sheng，Liu Shao-gang，Zhao Dan，et al．A combined sonic crystal rod of Bragg type with ability of vibration reduction in broad frequency band［J］．Noise Control Engineering Journal，2012，60（1）：42－61．