氣流激振對球軸承渦輪增壓器轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響

黃 若，張威力，邢衛(wèi)東，張 燁

（1．北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081；2．中國北方發(fā)動機(jī)研究所，大同 037036）

渦輪增壓是發(fā)動機(jī)節(jié)能減排、提高效率、提高升功率、降低油耗的最重要技術(shù)之一，渦輪增壓器已經(jīng)成為現(xiàn)代發(fā)動機(jī)必備的部件。隨著渦輪增壓器向輕量化、高強(qiáng)化發(fā)展，球軸承渦輪增壓器在這種背景下越來越受到重視［1］。渦輪增壓器浮環(huán)軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定工作的主要問題是軸承油膜力、密封力、不均勻葉頂間隙力等強(qiáng)非線性激振源引起的半速渦動與油膜振蕩［2－3］，而渦輪增壓器球軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定工作的主要問題是臨界轉(zhuǎn)速、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、不平衡瞬時響應(yīng)。為深入了解球軸承渦輪增壓器在高轉(zhuǎn)速工況下的特性，本文將以某型球軸承渦輪增壓器為研究對象，在已經(jīng)過驗(yàn)證的模型基礎(chǔ)上，將模塊化后的密封流體激振力及氣流激振條件代入，計(jì)算添加密封流體激振力和氣流激振模型后轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和不平衡瞬態(tài)響應(yīng)，并計(jì)算均未添加密封流體激振力和葉頂間隙氣流激振，添加密封流體激振力未添加葉頂間隙氣流激振兩種模型作為對比，研究在密封流體激振力及葉頂間隙氣流激振共同作用的渦輪增壓器球軸承－轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

1 氣流激振轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析

相對于浮動軸承或滑動軸承渦輪增壓器，球軸承渦輪增壓器支撐系統(tǒng)的剛度大幅上升，系統(tǒng)阻尼大幅下降［4］。剛度上升會提升臨界轉(zhuǎn)速，阻尼下降會使系統(tǒng)不穩(wěn)定性上升。在以往對浮動軸承的研究中，較少涉及密封流體激振力及氣流激振的影響，這是由于浮動軸承的油膜阻尼較密封結(jié)構(gòu)阻尼大得多，系統(tǒng)穩(wěn)定較高；而球軸承油膜阻尼較小，密封結(jié)構(gòu)阻尼對球軸承渦輪增壓器工作穩(wěn)定性影響較大，不能忽略。前期的研究表明密封結(jié)構(gòu)對球軸承渦輪增壓器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有一定影響［1，5－6］。因此，本文在前期研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮氣流激振的作用，通過加密數(shù)值計(jì)算的步長來提高計(jì)算精度，獲得考慮氣流激振的球軸承渦輪增壓器轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性。

氣流激振目前公認(rèn)的來源主要有三個方面，分別為密封流體激振力、葉頂間隙氣流激振力及靜態(tài)蒸汽力［7］。球軸承渦輪增壓器不存在靜態(tài)蒸汽力，故本文僅對密封流體氣流激振力和葉頂間隙激振力進(jìn)行研究。

1.1 密封流體激振力的動力學(xué)分析

本文涉及的密封結(jié)構(gòu)是一種活塞環(huán)式密封結(jié)構(gòu)，用來阻止壓氣機(jī)端的空氣以及渦輪端的燃?xì)膺M(jìn)入潤滑油腔或潤滑油腔中的潤滑油進(jìn)入渦輪或壓氣機(jī)端，其中壓氣機(jī)端的密封環(huán)位于壓氣機(jī)端的密封軸套上，渦輪端的密封環(huán)位于渦輪密封環(huán)槽內(nèi)，一般壓氣機(jī)端布置兩個密封環(huán)，渦輪端為一個，如圖1所示。

圖1 密封環(huán)位置Fig．1 Sealing ring location

增壓器工作時，密封環(huán)和轉(zhuǎn)軸之間的介質(zhì)存在三種情況：① 空氣（壓氣機(jī)端）或燃?xì)猓u輪端）；②潤滑油與空氣（壓氣機(jī)端）或燃?xì)猓u輪端）混合物；③ 潤滑油。在正常工作狀態(tài)下，密封環(huán)與轉(zhuǎn)軸之間的介質(zhì)應(yīng)為空氣、燃?xì)馀c潤滑油的混合物狀態(tài)，本文即選取這一狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子進(jìn)行研究分析。

圖2 密封環(huán)結(jié)構(gòu)Fig．2 Seal ring structure

密封環(huán)在工作時，嵌套于密封軸套之上及密封渦輪端密封環(huán)槽之上，如圖2，在其縫隙間為油氣混合物，密封流體激振力是由轉(zhuǎn)子在密封腔中偏置時，轉(zhuǎn)子周向壓力分布不均引起。密封腔中氣流的旋轉(zhuǎn)使周向壓力分布的最高壓力點(diǎn)滯后密封腔最小間隙一定角度，導(dǎo)致流體作用在轉(zhuǎn)子上的力激勵轉(zhuǎn)子產(chǎn)生渦動。研究表明：密封力與油膜力具有相似的動力學(xué)原理［6］。油膜力理論基礎(chǔ)Reynolds方程包含兩個變量的偏微分方程，求解困難，工程上常用數(shù)值解法求解油膜剛度和阻尼。根據(jù)Black［8］模型得到考慮密封流體激振力的動力系統(tǒng)密封力的理論公式：

各剛度系數(shù)為

各阻尼系數(shù)為

其中

式中ΔP是密封軸向壓降，ξ是密封氣流周向進(jìn)口損失系數(shù)，l是密封長度，δ是徑向密封間隙，ν是密封腔中流體軸向平均流速，R是密封半徑，Ra是軸向流動雷諾數(shù)，Rv是周向流動雷諾數(shù)，λ是摩擦因子，ω是轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度，σ是摩擦損失梯度系數(shù)，υ是流體粘度系數(shù)。

1.2 葉頂間隙氣流激振力的動力學(xué)分析

葉頂間隙所造成的氣流激振是轉(zhuǎn)子在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時，由于靜偏心和動偏心所造成的葉頂間隙不同引起。如圖3所示。

在間隙小處，漏氣損失小，做功氣流多，作用在葉片上的周向力增加，效率高，而在間隙大處，漏氣損失大，做功氣流少，作用在葉片上的周向力減小，效率低。葉片所受周向力產(chǎn)生的力矩促進(jìn)系統(tǒng)發(fā)生正進(jìn)動，進(jìn)一步增大系統(tǒng)動偏心。當(dāng)氣流激振力大于外阻尼力時，系統(tǒng)開始自激運(yùn)動。

目前對于氣流激振力的計(jì)算有許多模型，其 中 Alford［9］模 型 應(yīng) 用 最為廣泛。

Alford力的計(jì)算公式為：

圖3 葉頂間隙氣流激振Fig．3 Tip clearance gas excitation

式中：T為葉輪上的轉(zhuǎn)矩，D為葉片中央處的直徑，h為葉片高度，β為系數(shù)。

對于渦輪增壓器壓氣機(jī)有：

式中Tc為壓氣機(jī)轉(zhuǎn)矩，Hc為壓氣機(jī)焓升，Qc為壓氣機(jī)質(zhì)量流量，n轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

式中Ta進(jìn)氣為溫度，πc為壓比，k為系數(shù)。

對于渦輪增壓器渦輪有：

式中Tt為渦輪轉(zhuǎn)矩，Ht為渦輪焓降，Qt為渦輪質(zhì)量流量，n為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

式中η′tc為增壓器表觀總參數(shù)。

式中kN為脈沖收益系數(shù)，ηtc為渦輪增壓器總效率。

式中ηc為壓氣機(jī)效率，ηt為渦輪效率，ηm為機(jī)械效率。

在渦輪增壓器穩(wěn)態(tài)工作時，壓氣機(jī)質(zhì)量流量與渦輪質(zhì)量流量還存在以下關(guān)系：

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元耦合模型建立

有限元法分析轉(zhuǎn)子動力學(xué)的思路是將一個典型的轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)劃分成有限個單元，建立單元節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，綜合各單元的運(yùn)動方程，得到以節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的系統(tǒng)運(yùn)動微分方程，將一個質(zhì)量連續(xù)分布轉(zhuǎn)子的振動問題轉(zhuǎn)化為有限個自由度的振動問題，求解一組線性代數(shù)方程得到轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的計(jì)算。在轉(zhuǎn)子動力學(xué)有限元分析計(jì)算是基于整個轉(zhuǎn)子的運(yùn)動方程：

式中，［M］為質(zhì)量矩陣，［C］為外部阻尼矩陣，［G］為陀螺矩陣，［K］為剛度矩陣，［Q］為不平衡量引起的質(zhì)量力，［FA］為 Alford力，［FB］為軸承力，q為廣義位移［10］。

2.1 密封流體激振力的模化

對于球軸承渦輪增壓器，球軸承油膜阻尼相當(dāng)小，一般動力學(xué)分析可以忽略不計(jì)［4］，位于密封軸套上的壓氣機(jī)端密封環(huán)，由于密封軸套與轉(zhuǎn)子間為剛性連接，無相對位移故而可以認(rèn)為其直接作用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)之上。

本文選取某型號球軸承渦輪增壓器作為研究對象，密封環(huán)參數(shù)如下：渦輪端密封環(huán)尺寸：直徑：14 mm，內(nèi)徑：12．45 mm；寬度：1．39 mm；厚度：0．775 mm．密封環(huán)處軸直徑：11．5 mm，徑向間隙0．475 mm；壓氣機(jī)端密封環(huán)尺寸：直徑：11 mm，內(nèi)徑：9．6 mm；寬度：1．39 mm；厚度：0．7 mm，徑向間隙 0．4 mm；壓氣機(jī)端軸封套尺寸：內(nèi)徑：6 mm，密封環(huán)配合處外徑：8．7 mm；潤滑油密度（120℃）：870 kg／m3，潤滑油動力粘度（120℃）：6．27e－3 Pa·s．該增壓器常用轉(zhuǎn)速為140 000 r／min。密封環(huán)CAD圖如圖4，圖5所示。

圖4 渦輪端密封環(huán)CAD圖Fig．4 The seal ring of turbine end

圖5 壓氣機(jī)端密封環(huán)CAD圖Fig．5 The seal ring of compressor end

計(jì)算所得球軸承、壓氣機(jī)和渦輪端密封環(huán)的剛度和阻尼矩陣如表1所示，由于計(jì)算所得壓氣機(jī)端和渦輪端mf值較小，故在轉(zhuǎn)子動力學(xué)計(jì)算時忽略該項(xiàng)。

本文應(yīng)用SAMCEF轉(zhuǎn)子動力學(xué)軟件，在密封流體激振力?；瘯r，由于其工作原理與軸承相似將其處理為除支撐系統(tǒng)外的額外支撐，這相當(dāng)于在壓氣機(jī)端密封軸套上添加兩處彈性支撐，而在渦輪端密封環(huán)槽上添加一處彈性支撐。

2.2 葉頂間隙氣流激振力的?；?/h3>

氣流激振在進(jìn)行轉(zhuǎn)子動力學(xué)模化時，轉(zhuǎn)化為一組交叉剛度，通過添加一個彈性支撐到系統(tǒng)中，分別施加于壓氣機(jī)葉輪重心及渦輪葉輪重心處，即式（18）。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度阻尼Tab．1 Stiffness and damping of the rotor system

本文所采用的增壓器尺寸參數(shù)為：壓氣機(jī)進(jìn)口葉高D＝50 mm，葉片中徑D＝52．5 mm。渦輪進(jìn)口葉高h(yuǎn)＝9．6 mm，葉片中徑 D＝50 mm。

圖6 壓氣機(jī)特性曲線Fig．6 The compressor characteristic curve

為具有代表性，本文選取壓氣機(jī)效率較高的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)，通過該增壓器的壓氣機(jī)特性曲線（圖6）可得其穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的特性參數(shù)：壓氣機(jī)壓比πc＝2．4，轉(zhuǎn)速n＝140 000 r／min，Q＝0．16 kg／s。系數(shù) k＝1．4，溫度Ta＝303 K。渦輪端的特性可以通過壓氣機(jī)端參數(shù)經(jīng)公式（13）、（16）計(jì)算得到，計(jì)算過程中取 ηc＝0．75，ηt＝0．8，ηm＝0．95，kN＝1．106。將以上參數(shù)帶入式（9）到式（16），計(jì)算得到表2的氣流激振交叉剛度。

表2 氣流激振交叉剛度Tab．2 The cross stiffness of gas excitation

3 有限元仿真及結(jié)果分析

本文采用的有限元分析軟件為專業(yè)轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析軟件SAMCEF，三維模型由Pro／E中建模得到。模型所用的材料屬性如表3所示，添加表1和表2內(nèi)計(jì)算所得軸承剛度、密封流體激振力、葉頂間隙氣流激振力，劃分六面體網(wǎng)格，得到以下三個模型，分別為未添加密封流體激振力和氣流激振、僅添加密封流體激振力、添加密封流體激振力和氣流激振。通過三個模型的對比分析，獲得密封流體激振力和氣流激振對系統(tǒng)的不同影響。

圖7 Samcef中的球軸承增壓器轉(zhuǎn)子模型Fig．7 Ball bearing turbocharger rotor model in Samcef

表3 增壓器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)材料特性Tab．3 Material properties of the turbocharger rotor

3.1 臨界轉(zhuǎn)速分析

表4中，D計(jì)算結(jié)果表示未考慮密封流體激振力和氣流激振的計(jì)算結(jié)果，R計(jì)算結(jié)果表示添加密封流體激振力的計(jì)算結(jié)果，F(xiàn)計(jì)算結(jié)果表示添加密封流體激振力和氣流激振的計(jì)算結(jié)果，A表示試驗(yàn)結(jié)果［11］。

表4中的對比結(jié)果可以看出，三個仿真結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差在5%以內(nèi)，屬于工程上可接受范圍。其中，添加密封流體激振力和氣流激振后系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速均上升，二階臨界轉(zhuǎn)速下降，且僅添加密封流體激振力較同時添加臨界轉(zhuǎn)速基本相同，說明臨界轉(zhuǎn)速受密封流體激振力影響較大，這是由于添加密封流體激振力增加系統(tǒng)對稱剛度，而氣流激振僅增加系統(tǒng)交叉剛度，根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的主要是對稱剛度。同時，由于密封流體激振力所增加的系統(tǒng)剛度較球軸承微乎其微，導(dǎo)致其對臨界轉(zhuǎn)速影響有限。

表4 臨界轉(zhuǎn)速Tab．4 The critical speed

3.2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析中，三個模型中均添加兩個不平衡質(zhì)量，分別位于壓氣機(jī)葉輪重心和渦輪葉輪重心。其中，壓氣機(jī)端最大許用不平衡量0．4 gmm，渦輪最大許用不平衡量0．55 gmm。本文選取壓氣機(jī)重心處和渦輪葉輪重心處進(jìn)行仿真結(jié)果對比分析。

由圖8可以得到：壓氣機(jī)重心處的振幅明顯大于渦輪重心處振幅，振幅最大值均位于臨界轉(zhuǎn)速附近，其中壓氣機(jī)重心最大值發(fā)生在二階臨界轉(zhuǎn)速附近，除均未添加時渦輪重心振幅的最大值發(fā)生在二階臨界轉(zhuǎn)速附近，其余情況渦輪重心振幅的最大值均發(fā)生在一階臨界轉(zhuǎn)速附近。

從表5中可以發(fā)現(xiàn)，添加密封結(jié)構(gòu)后壓氣機(jī)重心與渦輪重心處振幅均下降，其中僅添加密封流體激振力與均未添加相比，其壓氣機(jī)重心振幅下降50．2%，渦輪重心振幅下降21．3%。這說明密封流體激振阻尼能夠有效抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅，提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性，壓氣機(jī)端雙密封結(jié)構(gòu)導(dǎo)致壓氣機(jī)端最大振幅下降較大。同時，添加密封流體激振力及氣流激振相對僅添加密封結(jié)構(gòu)其壓氣機(jī)重心最大振幅下降約83．75%，而渦輪重心最大振幅下降約30．2%。這說明氣流激振力能夠有效降低渦輪增壓器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅，同時，由于氣流激振的交叉剛度相對密封結(jié)構(gòu)較大，故而對系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速附近的振幅影響較大。

圖8 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析Fig．8 Harmonic response analysis

表5 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)最大振幅Tab．5 The maximum amplitude of harmonic response

3．3 不平衡瞬態(tài)響應(yīng)

在瞬態(tài)響應(yīng)中，本文主要計(jì)算在0到5 s內(nèi)以恒定加速度加速至150 000 r／min的瞬態(tài)響應(yīng)。三個模型同樣添加不平衡量，其中，壓氣機(jī)端最大許用不平衡量0．4 gmm，渦輪最大許用不平衡量0．55 gmm，獲得壓氣機(jī)端和渦輪端振幅變化和重心處的軌跡如圖9、圖10所示。

對比圖9中（a）、（c）、（e）的振幅情況和（b）、（d）、（f）中重心的軌跡可發(fā)現(xiàn)在添加密封流體激振力和氣流激振后壓氣機(jī)端的振幅顯著增大，對比圖10中（a）、（c）、（e）的振幅情況和（b）、（d）、（f）中重心的軌跡可發(fā)現(xiàn)在分別添加密封流體激振力和氣流激振的情況下，渦輪端的振動有微弱減小。

圖9 壓氣機(jī)重心處瞬態(tài)響應(yīng)Fig．9 Transient response of compressor gravity center

圖10 渦輪重心處瞬態(tài)響應(yīng)Fig．10 Transient response of turbine gravity center

表6 瞬態(tài)響應(yīng)最大振幅Tab．6 The maximum amplitude of transient response

對比表5及表6可以發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅大于瞬態(tài)響應(yīng)振幅，因轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速由0時以恒定加速度加速5s至150 000 r／min的狀態(tài)系統(tǒng)還未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。對比三個模型可以發(fā)現(xiàn)：添加密封流體激振力后，壓氣機(jī)端重心處最大振幅增加143．7%，渦輪端最大振幅減小6．25%，這是由于壓氣機(jī)端采用雙密封結(jié)構(gòu)，渦輪端采用單密封結(jié)構(gòu)，密封流體激振力產(chǎn)生的渦動導(dǎo)致壓氣機(jī)端產(chǎn)生反進(jìn)動，渦輪端產(chǎn)生正進(jìn)動，故加速過程中降低了壓氣機(jī)端的不穩(wěn)定性導(dǎo)致振幅增加，提高渦輪端的穩(wěn)定性導(dǎo)致振幅降低。而添加葉頂間隙氣流激振后，較僅添加密封流體激振力壓氣機(jī)重心和渦輪端重心振幅均無明顯變化，這說明氣流激振產(chǎn)生的交叉剛度對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)影響不大。

4 結(jié) 論

分析渦輪增壓器密封流體激振力與葉頂間隙氣流激振力特征并進(jìn)行模化處理，對密封流體激振力和葉頂間隙氣流激振力對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響進(jìn)行仿真計(jì)算，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較與驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

（1）密封結(jié)構(gòu)增加系統(tǒng)對稱剛度，能夠影響臨界轉(zhuǎn)速，但其剛度較軸承剛度過小，僅提升臨界轉(zhuǎn)速0．31%；密封結(jié)構(gòu)的阻尼使壓氣機(jī)端重心處振幅降低50．2%，渦輪端重心處振幅下降21．3%，大幅度提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性；密封流體激振力在瞬態(tài)響應(yīng)過程中在壓氣機(jī)端產(chǎn)生正進(jìn)動，在渦輪端產(chǎn)生反進(jìn)動，壓氣機(jī)端的振幅增加143．7%，渦輪端的振幅減小6．25%。

（2）葉頂間隙氣流激振只增加系統(tǒng)的交叉剛度，對臨界轉(zhuǎn)速影響不大，僅0．3%；葉頂間隙氣流激振能夠降低渦輪增壓器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅，使得壓氣機(jī)端重心處振幅較僅添加密封結(jié)構(gòu)降低83．75%，渦輪端重心處振幅較僅添加密封結(jié)構(gòu)下降30．2%，壓氣機(jī)端的雙密封環(huán)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致振幅降幅大于渦輪端；葉頂間隙氣流激振力產(chǎn)生的交叉方向上的剛度矩陣對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)影響不大。

［1］黃若，葛新濱，馬朝臣．車用球軸承渦輪增壓器臨界轉(zhuǎn)速分析［J］．車用發(fā)動機(jī)，2007，12（6）：72－76．HUANG Ruo，GE Xin-bin，MA Zhaochen．Critical Speed Analysis on Vehicle Turbocharger with Ball Bearings［J］．Vehicle engine，2007，12（6）：72－76．

［2］Luis S A，Juan C R，Kostandin G，et al．Advances in nonlinear rotordynamics of passenger vehicle turbochargers：a virtual laboratory anchored to test data［C］／／World Tribology Congress III．Washington，D．C．，USA：ASME，2005．891－892．

［3］Luis S A，Juan C R，Kostandin G，et al．Rotordynamics of Small Turbochargers Supported on Floating Ring Bearings—Highlights in Bearing Analysis and Experimental Validation［J］．Journal of Tribology，ASME APRIL，2007，129（2）：391－397．

［4］聞邦椿，顧家柳，夏松波，等．高等轉(zhuǎn)子動力學(xué)［M］．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1999．

［5］Huang R，Ge X B，Ma CC．Research on the critical speed of a mixed-flow turbocharger with hybrid ceramic ball bearing［J］．Journal of Beijing Institute of Technology，2009，18（3）：298－303．

［6］黃若，張燁，陳濤．考慮密封結(jié)構(gòu)的球軸承渦輪增壓器轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性研究 ［J］．振動與沖擊，2012，31（16）：153－156．HUANG Ruo，ZHANG Ye，CHEN Tao．Rotor dynamics analysis for ball bearing turbocharger considering the sealed construction［J］．Vibration and Shock，2012，31（16）：153－156．

［7］黃文虎，夏松波，焦映厚，等．旋轉(zhuǎn)機(jī)械非線性動力學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論與方法［M］．北京：科學(xué)出版社，2006．

［8］Black H F，Jenssen D N．Effects of high-pressure ring seals on pump rotor［J］．ASME Paper，1971，71－WA／FF－38．

［9］Alford JS．Protecting turbo-machinery from self-excited whirl［J］．ASME Journal of Engineering for Power，1965，87（4）：333－344．

［10］楊喜關(guān)．氣流激振力作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［D］．南京：南京航空航天大學(xué)，2008．

［11］黃若．車用球軸承渦輪增壓器技術(shù)研究［D］．北京：北京理工大學(xué)，2008．