基于AR模型和因子分析的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警研究

刁延松，任 紅

（青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 青島 266033）

基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法近二十年來(lái)得到了快速發(fā)展［1－2］，損傷預(yù)警是結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)的初級(jí)階段，主要用來(lái)確定結(jié)構(gòu)是否已經(jīng)發(fā)生損傷。損傷預(yù)警的原理十分簡(jiǎn)單［3］：首先在結(jié)構(gòu)正常運(yùn)行時(shí)，提取結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)（例如：模態(tài)特性），然后利用某種技術(shù)監(jiān)測(cè)后續(xù)的未知狀態(tài)的動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)是否發(fā)生偏離，若偏離，則發(fā)出損傷預(yù)警，否則結(jié)構(gòu)健康。

事實(shí)上，土木工程結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中會(huì)受到環(huán)境因素（溫度、濕度）的作用，并導(dǎo)致動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)發(fā)生變化［4－5］，甚至?xí)蜎](méi)結(jié)構(gòu)損傷引起的動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)的變化，如果在損傷檢測(cè)過(guò)程中沒(méi)有考慮這些環(huán)境因素的影響，將導(dǎo)致錯(cuò)誤的損傷檢測(cè)結(jié)果。環(huán)境因素的影響已成為限制損傷檢測(cè)技術(shù)成功應(yīng)用于工程實(shí)際中的主要困難［6－7］，所以，去除環(huán)境因素對(duì)損傷檢測(cè)結(jié)果的影響非常重要。

迄今為止，人們提出了許多消除環(huán)境因素影響的振動(dòng)損傷檢測(cè)方法，大致可以分為參數(shù)化的方法和非參數(shù)化的方法。參數(shù)化方法要建立動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)與單個(gè)環(huán)境因素（溫度）之間的相互關(guān)系，主要有回歸分析和插值法［8－10］，參數(shù)化方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單實(shí)用，缺點(diǎn)是需測(cè)量環(huán)境因素，且未考慮其它潛在因素，而結(jié)構(gòu)真實(shí)的運(yùn)營(yíng)條件復(fù)雜，是多種環(huán)境因素綜合在一起的，因此，該方法具有較大的局限性。非參數(shù)化方法不需要建立動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)與環(huán)境因素之間的相互關(guān)系，主要有因子分析［11］、奇異值分析［12］、主分量分析［13］、支持向量機(jī)［14］、基于子空間法［15］，其優(yōu)點(diǎn)是不需要測(cè)量環(huán)境因素，這對(duì)于難以獲得環(huán)境因素實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的土木工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)來(lái)說(shuō)還是很有意義的。Yan等［16］利用主成份分析剔除了溫度對(duì)自振頻率的影響，Bellino等［17］研究了質(zhì)量的變化對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率的影響，并利用主成份分析法將質(zhì)量變化的影響去除，Deraemaeker等［18］利用因子分析法去除溫度因素對(duì)頻率及振型的影響，取得了比較好的效果。Kullaa等［19］研究了操作變量（節(jié)點(diǎn)位置、荷載）對(duì)AR模型系數(shù)的影響，利用因子分析法去除了操作變量對(duì)AR模型系數(shù)的影響。

本文首次提出了考慮溫度影響的基于AR模型和因子分析的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法，首先利用時(shí)間序列分析中的AR模型對(duì)結(jié)構(gòu)損傷前后的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模，并提取模型系數(shù)，其次利用因子分析去除溫度對(duì)AR模型系數(shù)的影響，構(gòu)造結(jié)構(gòu)損傷前后AR模型系數(shù)之間的歐式距離，最后利用標(biāo)準(zhǔn)差控制圖進(jìn)行損傷預(yù)警研究。

1 原理

1.1 AR模型

觀測(cè)值｛Xt（t＝1，2，…，p）｝為一平穩(wěn)的、零均值的隨機(jī)過(guò)程，若 Xt的取值與前 p步的各個(gè)取值 Xt－1、Xt－2、…Xt－p有關(guān)，則可以用一差分方程來(lái)表示它們的內(nèi)在聯(lián)系［20］：

式中，p代表模型階次，φi（i＝1，2，…，p）為自回歸系數(shù)，φiXt－i表示 t－i時(shí)刻的“歷史值”Xt－i對(duì) t時(shí)刻值 Xt的貢獻(xiàn)（或者影響），｛ɑt｝為均值為0、方差為 σɑ2白噪

聲序列。該模型所描述的｛xi｝是對(duì)其自身過(guò)去數(shù)值進(jìn)行回歸，故稱(chēng)為自回歸模型，簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型。

1.2 去除溫度因素的影響

考慮環(huán)境因素影響的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)可以用下述方程描述為［21］：

式中：x為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)（模態(tài)參數(shù)、AR模型系數(shù)等）觀測(cè)值；f（T，h，…）為受環(huán)境（如溫度 T、濕度 h等）影響的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)方程；g（η）為受結(jié)構(gòu)損傷模式η（損傷位置、損傷程度等）影響的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)方程。

因子分析是用少數(shù)幾個(gè)因子（之所以稱(chēng)其為因子，是因?yàn)樗遣豢捎^測(cè)的，不是具體的變量）去描述多變量之間的相互關(guān)系，即將相關(guān)比較密切的幾個(gè)變量歸在同一類(lèi)中。因子分析將每個(gè)原始變量分解成兩部分：一部分由所有變量共同具有的少數(shù)幾個(gè)因子構(gòu)成，即潛在因子；另一部分是僅對(duì)某一變量產(chǎn)生影響，為某一變量所特有的，即特殊因子。根據(jù)上述對(duì)因子分析的闡述結(jié)合方程（2），可以通過(guò)因子分析把方程（2）化成如下因子模型［21］：

式中，x代表p維觀測(cè)值向量，Λ為因子荷載矩陣（Λ∈Rp×m），ξ是m維不可觀測(cè)因素（潛在公共因子），g為p維特殊因子向量。

在本文的研究中，AR模型系數(shù)可以作為觀測(cè)值變量x，溫度視為公共因子ξ，它會(huì)影響AR模型系數(shù)。利用結(jié)構(gòu)在無(wú)損及損傷狀態(tài)下所處的各種溫度情況下得到的AR模型系數(shù)來(lái)建立因子模型，利用該模型來(lái)剔除溫度對(duì)AR模型系數(shù)的影響，具體如下［19］：

在因子分析求解過(guò)程中，假設(shè) ξ～N（0，I），I為單位矩陣；g～N（0，ψ），ψ為對(duì)角矩陣；其中ξ，g不相關(guān)：E（ξgT）＝0。

由因子模型可知x均值為0，則

因子分析求解過(guò)程如下［19］：

（1）求觀測(cè)值得協(xié)方差矩陣R：

由上式得，觀測(cè)值變量可以表示為：x～N（0，ΛΛT＋ψ）。

（2）由方程（5）可知，當(dāng)ψ＝0時(shí)，對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行SVD分解可以得到Λ。

（3）ψ為未知量，可以通過(guò)迭代得到。在迭代過(guò)程中，對(duì)R－ψ進(jìn)行SVD分解來(lái)估計(jì)因子荷載矩陣Λ，并且確定潛在因子個(gè)數(shù)m（m＜p）。ψ為對(duì)角矩陣，可由下式得到：

將ψ帶入方程（6）進(jìn)行迭代，直到ψ收斂。

（4）求因子得分。

（5）最終求得去除溫度干擾的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)。

式中，特殊因子g是獨(dú)立變量，它不受溫度因素的影響，可以用于損傷檢測(cè)。如果結(jié)構(gòu)的發(fā)生損傷，先前訓(xùn)練的因子模型就不再適用于當(dāng)前的狀況，需要重新進(jìn)行因子分析，而結(jié)構(gòu)損傷引起的動(dòng)力響應(yīng)特征參數(shù)的變化將存在于特殊因子中，特殊因子發(fā)生變化將預(yù)警結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷。

1．3 采用標(biāo)準(zhǔn)差控制圖進(jìn)行損傷預(yù)警

將控制圖用于大型結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別已經(jīng)取得了一些研究成果［22－24］，這些方法大多是將控制圖與時(shí)間序列分析結(jié)合起來(lái)，即以時(shí)間序列模型參數(shù)來(lái)構(gòu)建控制圖的樣本統(tǒng)計(jì)量。本文利用結(jié)構(gòu)損傷前后AR模型系數(shù)構(gòu)造歐氏距離作為樣本，計(jì)算樣本的標(biāo)準(zhǔn)差S，將標(biāo)準(zhǔn)差S作為統(tǒng)計(jì)量，繪制標(biāo)準(zhǔn)差控制圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警。

歐式距離是表示n維空間中兩個(gè)點(diǎn)之間的真實(shí)距離，計(jì)算公式如下［25］：

式中，i，j＝（1，2，…，n），dij表示第 i個(gè)樣本到第 j個(gè)樣本的歐式距離，xit和xjt分別表示第i個(gè)樣本和第j個(gè)樣本的p個(gè)指標(biāo)所組成的向量。在本文中歐式距離為無(wú)損狀態(tài)下AR模型系數(shù)與各損傷工況的AR模型系數(shù)的距離。

建立控制圖就是計(jì)算控制圖的中心限和上下控制界限。設(shè)歐氏距離d為正態(tài)總體樣本X，X～N（μ，σ），x為取自X的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差S作為樣本統(tǒng)計(jì)量。由《常規(guī)控制圖》查得標(biāo)準(zhǔn)差圖控制限計(jì)算公式如下［26］：

其中為子組標(biāo)準(zhǔn)差S的平均值；B3B4由《常規(guī)控制圖》附表查得。

在控制圖中可由點(diǎn)出界的個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行損傷判別。利用3σ準(zhǔn)則取顯著性水平為0．997 3m控制置信水平的上下限。在結(jié)構(gòu)正常狀況下，連續(xù)100個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)或多于3個(gè)點(diǎn)超出控制界限的概率為0．002 6，是小概率事件，此概率值接近 0．002 7（1－0．997 3＝0．002 7），與3σ相近，因此采用的損傷判斷準(zhǔn)則可以近似為：連續(xù)100個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)或者多于3個(gè)點(diǎn)超出控制界限就可以判定結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷。

2 數(shù)值模擬

采用ANSYS建立了一個(gè)四層鋼框架的三維有限元模型，如圖1所示，基本參數(shù)：密度為7 800 kg／m3，泊松比μ＝0．3。柱、橫梁以及支撐采用BEAM4單元，頂板采SHELL63單元，頂板上堆積質(zhì)量采用MASS21單元進(jìn)行模擬。該模型共32個(gè)結(jié)點(diǎn)，192個(gè)自由度，50個(gè)BEAM4單元，1個(gè)SHELL3單元，4個(gè)MASS21單元，7種單元截面類(lèi)型，模型與基礎(chǔ)固接。本文以Y向面Ⅱ的斜撐分別發(fā)生不同程度損傷作為研究對(duì)象，損傷是通過(guò)彈性模量的折減來(lái)實(shí)現(xiàn)的，溫度變化范圍為－20℃～40℃，鋼的彈性模量和溫度關(guān)系如圖2所示。

圖1 四層鋼框架數(shù)值模型Fig．1 Numericalmodel of a four-floor steel frame

圖2 鋼的彈性模量和溫度的關(guān)系Fig．2 Relationship betweenelasticity modulus of steel and temperature

表1 數(shù)值模擬損傷工況Tab．1 Damage scenarios of numerical simulation

本文采用的高斯白噪聲激勵(lì)采樣頻率為1 000 Hz，長(zhǎng)度為49．152 s，利用ANSYS10．0的瞬態(tài)分析模塊，對(duì)模型節(jié)點(diǎn)9、10 Y向分別施加白噪聲激勵(lì)（均為無(wú)噪聲條件下），通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程分析，獲取節(jié)點(diǎn)6的Y向加速度響應(yīng)，其采樣頻率為500 Hz，持時(shí)為20 s，損傷工況如表1所示，共17種，其中單桿件損傷13種工況，兩桿件損傷4種工況。

對(duì)每種損傷工況，在－20～40℃范圍內(nèi)每隔5℃分別采集節(jié)點(diǎn)6的前20 s的10 000個(gè)加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，這樣每種工況下共得到13組不同溫度下的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，將每組10 000個(gè)數(shù)據(jù)均分為五個(gè)子塊，利用Matlab編制的程序獲得每個(gè)子塊的前4階AR模型系數(shù)，然后利用因子分析技術(shù)去除溫度對(duì)各工況下AR模型系數(shù)的影響，因?yàn)槔靡蜃臃治鎏幚砀鞴r每個(gè)子塊的AR模型系數(shù)的方法相同，限于篇幅，本文僅以工況一第一個(gè)子塊的AR模型系數(shù)為例，列出利用因子分析方法剔除溫度影響前后的AR模型系數(shù)，分別見(jiàn)表2和表3。按式（10）計(jì)算每種損傷工況在不同溫度下的歐式距離，將各溫度下歐式距離作為樣本，計(jì)算歐氏距離的標(biāo)準(zhǔn)差S；將標(biāo)準(zhǔn)差帶入式（11－12）計(jì)算控制界限，從而得到剔除溫度影響前后的S控制圖，如圖3－圖5所示。圖3為3號(hào)桿件損傷時(shí)剔除溫度影響前后的S控制圖，圖4為4號(hào)桿件損傷時(shí)剔除溫度影響前后的S控制圖，圖5為2、3號(hào)桿件同時(shí)損傷時(shí)剔除溫度影響前后的S控制圖。其中，圖3－圖5中控制上、下限值如表4所示。

表2 未剔除溫度影響前AR模型系數(shù)Tab．2 The AR model coefficients without tem perature effect removed

表3 剔除溫度影響后AR模型系數(shù)Tab．3 The AR model coefficients with tem perature effect removed

表4 控制圖限值Tab．4 Control lim its 0f control charts

通過(guò)圖3（a）和圖 3（b），圖4（a）和圖 4（b）以及圖5（a）和圖5（b）的對(duì)比可得，在未剔除溫度影響時(shí)，結(jié)構(gòu)無(wú)損時(shí)有部分點(diǎn)散落在控制上限之外，而結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)有部分點(diǎn)散落在控制上限以?xún)?nèi)，溫度的影響使S控制圖不能反應(yīng)結(jié)構(gòu)的真實(shí)損傷狀況。而利用因子分析剔除溫度影響后，結(jié)構(gòu)無(wú)損狀態(tài)下的統(tǒng)計(jì)量點(diǎn)均分布在控制上限以?xún)?nèi)，發(fā)生損傷時(shí)的統(tǒng)計(jì)量點(diǎn)則分布在控制上限之外，能夠準(zhǔn)確的判斷結(jié)構(gòu)已發(fā)生損傷，從而進(jìn)行損傷預(yù)警。但從圖5（b）可知，工況15的統(tǒng)計(jì)量點(diǎn)均分布在控制上限以?xún)?nèi)，據(jù)此可判斷結(jié)構(gòu)未發(fā)生損傷，然而這與實(shí)際情況不符，顯然出現(xiàn)了誤判現(xiàn)象。

圖3 剔除溫度影響前后3號(hào)桿件損傷的S控制圖Fig．3 S－control charts with and without temperature effect for 3rd element damage

圖4 剔除溫度影響前后4號(hào)桿件損傷的S控制圖Fig．4 S－control charts with and without temperature effect for 4th element damage

圖5 剔除溫度影響前后2、3號(hào)桿件同時(shí)損傷的S控制圖Fig．5 S－control charts with and without temperature effect for 2，3th element damage

3 結(jié) 論

本文首次提出了考慮溫度影響的基于AR模型和因子分析的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法，首先利用時(shí)間序列分析中的AR模型對(duì)結(jié)構(gòu)損傷前后的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模，并提取模型系數(shù)，其次利用因子分析去除溫度對(duì)AR模型系數(shù)的影響，構(gòu)造結(jié)構(gòu)損傷前后AR模型系數(shù)之間的歐式距離，最后利用標(biāo)準(zhǔn)差控制圖進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警研究。數(shù)值模擬結(jié)果表明，在溫度變化的條件下，利用AR模型結(jié)合因子分析及統(tǒng)計(jì)控制圖可以準(zhǔn)確判斷四層鋼框架結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷，從而進(jìn)行損傷預(yù)警，但該方法對(duì)激勵(lì)較為敏感，該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要有限元模型和模態(tài)參數(shù)，屬于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，適于進(jìn)行實(shí)時(shí)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)。本文僅僅成功地對(duì)該方法進(jìn)行了數(shù)值模擬，若要將該方法用于實(shí)際工程，還需進(jìn)一步進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，同時(shí)由于環(huán)境因素除了溫度之外，還包括濕度、風(fēng)、質(zhì)量的變化等等，未來(lái)還應(yīng)在這些方面進(jìn)一步開(kāi)展研究。

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