基于拉普拉斯特征映射的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障識(shí)別

李月仙，韓振南，黃宏臣，寧少慧

（太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)部門中應(yīng)用最廣泛的機(jī)械設(shè)備，齒輪－軸承系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件在工業(yè)中發(fā)揮著無可替代的作用。目前的機(jī)械設(shè)備朝著大型化、復(fù)雜化發(fā)展，旋轉(zhuǎn)部分復(fù)雜的運(yùn)行工況容易出現(xiàn)各種不同形式的故障而影響正常工作，甚至?xí)l(fā)生毀機(jī)事故，造成重大的經(jīng)濟(jì)損失。旋轉(zhuǎn)機(jī)械常見的故障包括三類：一是滾動(dòng)軸承故障，包括軸承內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體及保持架故障；二是轉(zhuǎn)子本體故障，包括不平衡、不對中、轉(zhuǎn)子裂紋及支承松動(dòng)等；三是齒輪故障，包括斷齒、齒面磨損和齒根部裂紋等［1］。

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械在出現(xiàn)故障時(shí)所監(jiān)測到的振動(dòng)信號(hào)具有明顯的非線性和非平穩(wěn)特性，使用傳統(tǒng)時(shí)頻方法難以從復(fù)雜信號(hào)中提取出有效特征量。為了及時(shí)、準(zhǔn)確地識(shí)別和診斷出故障狀態(tài)，從監(jiān)測信號(hào)中提取出有效信息量就尤為重要。常用的方法就是采用多個(gè)相關(guān)傳感器和提取多個(gè)特征量以提高診斷精度，但是大量的冗余信息給故障分類帶來了更大的復(fù)雜度。因此，消除信息冗余，提取出有效的故障分類特征量是我們一直所追求的目標(biāo)之一［2］。

1 核方法

核方法是20世紀(jì)60年代由Minsky和Papert等人針對線性特征提取方法對于非線性信號(hào)進(jìn)行特征提取時(shí)的局限性，無法解決現(xiàn)實(shí)世界中很多復(fù)雜的非線性問題而提出的一種非線性學(xué)習(xí)方法。通過引入核函數(shù)，將數(shù)據(jù)映射到高維空間中，在特征空間中展開學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其存在的線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了非線性問題的高效求解，同時(shí)避免了復(fù)雜的非線性映射的求解。

核主元分析法KPCA是最典型的非線性核方法，在高維特征空間中不涉及非線性優(yōu)化，僅僅利用線性代數(shù)求解特征值問題，且由于KPCA使用了核函數(shù)，對非線性問題具有了較廣的適用性，在機(jī)械過程檢測和故障診斷領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用和研究［3－5］，但核方法的缺點(diǎn)也是很明顯的，在參數(shù)選取時(shí)是不需要預(yù)先給定的，且在使用核函數(shù)時(shí)是知道具體的特征空間，使得核方法缺乏物理直觀性。并且核函數(shù)對于故障診斷中的類可分性測度影響很大，選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致類可分性測度很小，使得不同類別的樣本點(diǎn)在特征空間中出現(xiàn)相互重疊覆蓋。而近年來流形學(xué)習(xí)方法的發(fā)展給機(jī)械故障診斷提供了一種新的思路。

2 拉普拉斯特征映射（LE）

2.1 流形學(xué)習(xí)算法

流形學(xué)習(xí)是人們在21世紀(jì)信息時(shí)代面對海量的高維信息而發(fā)展起來的一種新型的非線性降維及數(shù)據(jù)挖掘的新方法。它能有效地對高維非線性數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，從高維非線性數(shù)據(jù)中找出隱藏在高維觀測空間數(shù)據(jù)中的低維結(jié)構(gòu)表示，揭示其內(nèi)在流形分布。在2000年發(fā)表的三篇論文中開創(chuàng)性地提出局部特征映射LLE和等距映射ISOMAP兩種算法后，迅速在各領(lǐng)域中進(jìn)行研究，并陸續(xù)出現(xiàn)了多種經(jīng)典方法［6－10］，如：拉普拉斯特征映射算法LE和局部切空間排列算法LTSA。因?yàn)榱餍螌W(xué)習(xí)已經(jīng)在一些領(lǐng)域取得了顯著效果，近幾年被故障診斷領(lǐng)域的研究者引入到設(shè)備工況特征的高維數(shù)據(jù)的非線性特征挖掘和降維中，并顯示了良好的效果和前途［11－13］。

2.2 LE算法描述

LE算法假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在光滑黎曼流形上，其主要思想是通過Laplace-Beltrami算子來構(gòu)造相應(yīng)空間嵌入目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)高維數(shù)據(jù)在低維空間的嵌入。LE算法降維的實(shí)質(zhì)就是尋找到一個(gè)平均意義上保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)局部鄰近信息，即在原來高維特征空間中是近鄰的點(diǎn)在低維表示中也應(yīng)該是近鄰點(diǎn)。因此，LE算法的求解

步驟2：定義鄰接權(quán)矩陣W，可選擇熱核方式或簡單連接方式。熱核法：如果Xi與Xj是鄰接點(diǎn)，則有Wij，否則為 0，其中 t為熱核的寬度，其取值與鄰域K值相適應(yīng)；簡單法：可以避免熱核法中參數(shù)t的選擇問題，如果Xi與Xj近鄰，則Wij為1，否則為0，在本文中將采用簡單法確定權(quán)值和權(quán)值矩陣。

步驟3：構(gòu)建拉普拉斯特征矩陣L＝D－W，最小化特征映射誤差相當(dāng)于計(jì)算下式中的最小特征向量。

其中D為對角矩陣ij。L的最小d＋1個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量u1，u2…ud就構(gòu)成了低維嵌入結(jié)

由上所述，LE方法將降維和特征提取問題轉(zhuǎn)化成對矩陣特征值和特征向量的求解，過程簡單，不需要進(jìn)行迭代計(jì)算，因此計(jì)算量和運(yùn)算時(shí)間大大減少。

2．3 LE算法的聚類特性

根據(jù)LE算法的描述，LE算法是一種重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)保持近鄰關(guān)系的流形學(xué)習(xí)算法，可以有效地保持高維樣本空間中具有相同或相近性質(zhì)的近鄰樣本點(diǎn)“物以類聚”的聚類特性，因此，LE算法非常適用于機(jī)械故障不同樣本分類識(shí)別問題。而對于LE算法，局部鄰域的構(gòu)建對低維流形提取效果至關(guān)重要，根據(jù)參考文獻(xiàn)［14］在本文中將選用K＝8的KNN法構(gòu)建鄰域圖。轉(zhuǎn)化為對圖拉普拉斯算子的廣義特征值求解問題［9］。根據(jù)圖譜理論，如果數(shù)據(jù)均勻采樣自高維空間中的低維流形，流形上的拉式算子可以由圖上的Laplacian逼近，而圖上的最前面的幾個(gè)特征向量就是流形上L－B算子特征函數(shù)的離散逼近。LE算法可以描述為以下幾步：

步驟1：構(gòu)建鄰接圖G，可采用：近鄰ε法或K近鄰法，在本文中將選用K近鄰域法（KNN）；

3 構(gòu)建高維特征空間

旋轉(zhuǎn)機(jī)械狀態(tài)識(shí)別與故障診斷過程是典型的模式識(shí)別的過程，特征提取是基礎(chǔ)，識(shí)別方法是核心［3］。由于對旋轉(zhuǎn)機(jī)械所監(jiān)測到的振動(dòng)信號(hào)復(fù)雜，包含著大量的冗余信息量，很難直接利用振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)來評(píng)估。通過特征提取和轉(zhuǎn)換技術(shù)把原始信號(hào)構(gòu)建到特征空間，利用特定方法提取出能準(zhǔn)確描述設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)的信息。對振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域特征量分析已被廣泛使用，但是由于提取的不同特征參數(shù)對設(shè)備健康狀態(tài)的規(guī)律性、敏感性和聚類性各不相同且表征規(guī)律不一，很難用某一個(gè)或幾個(gè)特征參數(shù)來準(zhǔn)確表征滾動(dòng)軸承的運(yùn)行狀態(tài)。如何提取出規(guī)律性強(qiáng)、敏感性好的狀態(tài)特征參數(shù)一直是故障診斷領(lǐng)域所追求的，也是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

為了提高運(yùn)行狀態(tài)和故障的識(shí)別準(zhǔn)確率，本文將從多個(gè)角度盡可能地進(jìn)行全方面分析。根據(jù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械在不同故障狀態(tài)下不同特征參數(shù)的敏感性不同，構(gòu)建如表1所示的26個(gè)特征量，其中Ei為采用db4小波包函數(shù)進(jìn)行3層正交小波包分解得到均勻劃分的8個(gè)子頻帶的濾波信號(hào)，將得到的8個(gè)子頻帶信號(hào)能量與總頻率的相對能量比作為頻域統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)［11］。本文以上述26個(gè)特征參數(shù)作為訓(xùn)練樣本，采用降維方法對高維特征數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，提取特征量。

E3i表示第 i＋1個(gè)頻帶重構(gòu)信號(hào)的能量，Ei＝E3i／E表示第i個(gè)頻帶占總能量比，其中 i＝0，1，…，7，E＝表示總能量。

表1 特征參數(shù)表Tab．1 Characteristic param eter

4 典型故障類型實(shí)驗(yàn)

4．1 滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)中所采用的數(shù)據(jù)均來自美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣實(shí)驗(yàn)室使用SKF6205－2RS滾動(dòng)軸承所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)［15］。所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在選擇下列實(shí)驗(yàn)條件下所測得的數(shù)據(jù)：電機(jī)負(fù)載為2 hp，轉(zhuǎn)速為1 750 r／min，采樣頻率為48 kHz，其傳感器位置為驅(qū)動(dòng)端的軸承座上垂直位置。在本實(shí)驗(yàn)中，軸承內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體上人為制造出滾動(dòng)軸承三類典型故障類型，選用其故障尺寸為直徑0．53 mm、深度0．28 mm所測數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)依據(jù)。四種故障樣本類型，每種故障選50組樣本，每組樣本26個(gè)維度，構(gòu)建出N×m＝（4×50）×26的特征矩陣。根據(jù)參考文獻(xiàn)［16－17］所述，確定目標(biāo)維數(shù)dim為選取的故障樣本類型數(shù)減一，即dim＝3。

從圖1和表2中可知，圖1（a）為PCA方法所得到的結(jié)果。從圖中可以看出只有無故障樣本可以準(zhǔn)確識(shí)別，并且具有很好的聚類性，其他三種故障類型樣本之間出現(xiàn)了相互交叉混疊，尤其是外圈故障樣本分布散亂且識(shí)別率最低?？梢奝CA對滾動(dòng)軸承故障樣本的識(shí)別率和聚類效果不太理想。

圖1（b）為KPCA提取的前三個(gè)主元K1K3的三維圖。因?yàn)镵PCA采用了參數(shù)σ＝0．5的高斯核函數(shù)，所以從圖中可以看出四種故障樣本基本區(qū)分開來，各類故障樣本實(shí)現(xiàn)了很好的識(shí)別和聚集，較PCA在樣本的平均識(shí)別率和聚類性均有了較大的提高。但是，仍出現(xiàn)了不少的樣本處于偏離位置，聚集性仍有待提高。

圖1（c）為采用流形學(xué)習(xí)中的LE算法對高維特征空間進(jìn)行特征融合提取的結(jié)果。滾動(dòng)軸承的四種樣本在三維空間中都呈現(xiàn)出很好的聚類性，且類與類之間明顯地分離。與PCA和KPCA兩種方法相比，LE方法能對高維樣本空間提取出不同故障狀態(tài)下的有效信息，從而實(shí)現(xiàn)了對滾動(dòng)軸承故障狀態(tài)的有效識(shí)別。

圖1 滾動(dòng)軸承故障分類識(shí)別Fig．1 Different fault classification of Rolling Bearing

4．2 轉(zhuǎn)子故障實(shí)驗(yàn)

轉(zhuǎn)子故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中常見的一類故障，在本節(jié)中，通過典型故障的分析找出故障的振動(dòng)特征是進(jìn)行模式識(shí)別的必要條件，是進(jìn)行精密診斷的基礎(chǔ)。

第一種，轉(zhuǎn)子不平衡，是一種常見的故障類型，旋轉(zhuǎn)機(jī)械中由于不平衡而失效約占30%；第二種，各轉(zhuǎn)子軸線之間產(chǎn)生平行、軸線角度或綜合位移等對中變化誤差，即轉(zhuǎn)子不對中。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中約60%故障是由不對中引起的，是旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中最常見的故障；第三種是轉(zhuǎn)子彎曲，轉(zhuǎn)子彎曲又分為中間彎曲和端部彎曲兩種，在運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生與質(zhì)量偏心類似的旋轉(zhuǎn)矢量激振力，同時(shí)在軸向發(fā)生與角頻率相等的振動(dòng)。第四種是基座或裝配松動(dòng)，基座和裝配松動(dòng)常和轉(zhuǎn)子不平衡相伴生，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的垂直方向振動(dòng)［1］。

本節(jié)中四種典型轉(zhuǎn)子故障均為某公司實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上所進(jìn)行的模擬實(shí)驗(yàn)，選用電機(jī)轉(zhuǎn)速均為2 976 r／min（fr＝49．6 Hz）。同理，構(gòu)建出如滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)類似的N×m＝（4×50）×26高維特征矩陣。分別采用PCA、KPCA和LE方法進(jìn)行特征提取，降維結(jié)果如圖2所示。

由于四種故障在時(shí)域和頻域特征量中差別比較明顯，故PCA方法對于四種故障也能基本識(shí)別，但每種故障的聚類性很差，且各種故障相互間的間隔不明顯；KPCA比PCA在類內(nèi)距有所提高外，樣本識(shí)別率并沒有明顯提高，出現(xiàn)一定量的交叉混疊；而LE方法很明顯地把類與類分離，雖然也存在錯(cuò)誤識(shí)別，但相較PCA和KPCA，在高維空間中對狀態(tài)樣本的低維嵌入聚類提取敏感特征效果明顯提高。

4．3 齒輪故障識(shí)別

本文齒輪故障識(shí)別實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，是在太原理工大學(xué)齒輪研究所振動(dòng)及故障模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上所測得，并選用軸承座垂直方向振動(dòng)加速度信號(hào)作為診斷依據(jù)。實(shí)驗(yàn)采用的是材料為45＃鋼的單級(jí)漸開線直齒圓柱齒輪，大齒輪齒數(shù)為45，小齒輪齒數(shù)為30，壓力角α0＝20°，模數(shù)m＝4，轉(zhuǎn)速均為N＝800 r／min，負(fù)載為400 N·m，采樣頻率為10 kHz。實(shí)驗(yàn)選用三個(gè)相同的小齒輪，一個(gè)為無故障齒輪，一個(gè)制造成齒面剝落，而另一個(gè)在某個(gè)齒根處切割長為5 mm的裂紋，作為齒輪的三種典型狀態(tài)。同理，分別采集三種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)，提取特征量構(gòu)建N×m＝（3×50）×26的高維矩陣進(jìn)行降維和特征提取。由于在本齒輪實(shí)驗(yàn)中只選擇三種類型，所以，目標(biāo)維數(shù)dim＝2的二維圖像表示分類結(jié)果如圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)子故障分類識(shí)別Fig．2 Different fault classification of Rotors

圖3 齒輪故障類型識(shí)別Fig．3 Different fault classification of Gear1

從圖3可以得出以下結(jié)論：圖3（a）PCA對于識(shí)別分類效果不理想，出現(xiàn)了一些故障信號(hào)被識(shí)別成無故障類別，無故障信號(hào)被識(shí)別成故障類別，但基本能區(qū)分出故障和無故障，而對于齒面剝落和齒根裂紋兩種故障不能很明顯區(qū)分開，混在一起，且無故障的分布非常散亂；KPCA對于三種狀態(tài)的識(shí)別比PCA在識(shí)別率和類內(nèi)距都有了較好的提高，但是仍出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤識(shí)別現(xiàn)象，各種類別聚集性有了明顯提高，但仍有待提高；而LE算法對于三種類別基本實(shí)現(xiàn)了較好的識(shí)別和區(qū)分，無故障類別的50組信號(hào)全部識(shí)別出來，幾乎聚集在了一個(gè)點(diǎn)，對于齒面剝落和齒根裂紋故障信號(hào)也基本實(shí)現(xiàn)了識(shí)別，聚集在一起，但也出現(xiàn)了不少識(shí)別錯(cuò)誤，一部分齒面剝落被識(shí)別出成無故障，一部分齒根裂紋被錯(cuò)誤識(shí)別為齒面剝落?？傮w來說對于齒輪故障分類識(shí)別LE算法比PCA和KPCA在識(shí)別率、類內(nèi)距Sb和類間距Sw都更具有優(yōu)越性，詳細(xì)數(shù)據(jù)見圖4和表2。

5 實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)

在模式識(shí)別中所選取的特征評(píng)價(jià)準(zhǔn)則直接或間接反映出樣本的分類效果，本文采用故障樣本平均識(shí)別準(zhǔn)確率、聚類分析法中的類間距Sb和類內(nèi)距Sw來衡量提取特征的聚類效果［16－18］。類間距Sb用來描述不同類別分開的距離，類內(nèi)距Sw表明每個(gè)類樣本分布緊湊性。假定特征向量為｛f1、f2、…、fdim｝，特征向量的目標(biāo)維數(shù)dim。Sb和Sw兩個(gè)參數(shù)的描述如下：

其中是每一類中 Cp（p＝1，2，…c）樣本特征向量的平均值是所有類型中特征向量的平均值。類間距Sb是用來描述類與類之間的距離，而類內(nèi)距Sw則是用來描述每一類樣本聚集程度的好壞，取值越小越好，而Sb／Sw可作為分類能力的主要指標(biāo)。本文通過類內(nèi)距和類間距分類指標(biāo)的鄰域選擇策略，保證同類樣本點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性，從而獲得較好的聚類質(zhì)量。通過三種方法，計(jì)算兩組實(shí)驗(yàn)的Sb和Sw，結(jié)果見表2。

表2 特征參數(shù)值Tab．2 Characteristic parameters value

由表2和圖4可知：LE方法的識(shí)別效果明顯好于PCA和KPCA方法。PCA的效果最差，KPCA由于采用了高斯核函數(shù)，所以比PCA有了很大提高；在聚類性方面，尤其是類內(nèi)距Sw，LE的效果最好，較前兩種都有明顯提高，在滾動(dòng)軸承故障識(shí)別中，類內(nèi)距Sw幾乎為零，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩種方法的結(jié)果，而Sb／Sw的比值，LE的比值也是最大，說明LE方法對特征提取降維效果最好。綜上所述：LE方法相對PCA和KPCA在故障樣本分類和識(shí)別中具有優(yōu)越性。

圖4 三種提取方法的識(shí)別率Fig．4 The recognition rate of threemethods

6 結(jié) 論

本文在拉普拉斯特征映射算法基礎(chǔ)上，首次提出一種基于LE算法的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障識(shí)別新模式。通過對旋轉(zhuǎn)機(jī)械三類典型故障：滾動(dòng)軸承故障、轉(zhuǎn)子故障以及齒輪故障進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。從模式聚類識(shí)別的角度進(jìn)行分析，使用樣本平均識(shí)別率、樣本聚類性的類內(nèi)距和類間距三個(gè)參數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，三組模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：LE算法相較于傳統(tǒng)的PCA和非線性核方法KPCA，在由多特征量構(gòu)建的高維特征空間中能夠提取出更敏感、更準(zhǔn)確地表征設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)的特征量，提高了不同故障樣本的分類識(shí)別性能，從而實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷。

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