基于粒子群算法的隔振體系參數(shù)優(yōu)化研究*

黃 偉， 徐 建， 朱大勇，盧劍偉

(1．合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.中國機(jī)械工業(yè)集團(tuán)公司，北京 100080；3.安徽土木工程結(jié)構(gòu)與材料省級(jí)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230009；4.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

單自由度、雙自由度體系是研究設(shè)備振動(dòng)隔離的主要模型方法，且隔振體系性能與隔振參數(shù)關(guān)系密切，選擇合適的參數(shù)，能提高系統(tǒng)的隔振性能，如果參數(shù)選擇不當(dāng)，就會(huì)適得其反，所以隔振參數(shù)的優(yōu)化研究顯得非常必要.文獻(xiàn)[1]將遺傳算法與最大熵法結(jié)合，給出了兩級(jí)隔振系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種混合方法；宋鵬金等[2]采用傅里葉變化法和直接積分法分別對(duì)時(shí)域函數(shù)和頻域函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，提出了一種鍛錘隔振參數(shù)優(yōu)化的新方法；文獻(xiàn)[3]根據(jù)超精密隔振器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和隔振系統(tǒng)的布置形式，建立了超精密隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出理論頻響函數(shù)、進(jìn)行了系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)研究；LIU等[4]基于整星隔振體系進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化；ESMAILZADEH[5]采用梯度優(yōu)化方法對(duì)汽車懸掛體系進(jìn)行了隔振參數(shù)的優(yōu)化研究；文獻(xiàn)[6]提出了一種隔振參數(shù)線性變化的方法，主要通過剛度遲滯模型實(shí)現(xiàn)；劉春嶸等[7]基于反共振原理在小振幅假設(shè)下建立了兩級(jí)浮筏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并分析了隔振機(jī)理，推導(dǎo)出了力傳遞率的表達(dá)式.

作為新型的群智能算法——粒子群優(yōu)化算法(PSO)自1995年提出以來，就因其簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)、收斂快，可調(diào)參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用[8].由于傳統(tǒng)粒子群算法的局限性，許多學(xué)者對(duì)其做出了改進(jìn).Shi[9]等提出了關(guān)于權(quán)重的線性調(diào)整策略，獲得了滿意的優(yōu)化效果；李軍等[10]在Shi的基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)權(quán)重變化策略，克服了傳統(tǒng)粒子群算法尋優(yōu)過程的早熟情況，能使粒子群算法達(dá)到局部最優(yōu)及全局最優(yōu)的平衡.Coello等首次提出了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)，掀開了多目標(biāo)優(yōu)化問題的新篇章，主要思想是通過Pareto最優(yōu)解集決定粒子飛行方向以及在全局知識(shí)庫中得到之前發(fā)現(xiàn)的非支配向量，以指導(dǎo)其它粒子飛行[11].

狀態(tài)反饋控制是振動(dòng)控制領(lǐng)域的常用方法，通常包括線性二次型最優(yōu)控制、極點(diǎn)配置控制、基于觀測(cè)器的控制器等，由于實(shí)際問題的不確定性，魯棒H2/H∞控制被提出并廣泛應(yīng)用[12].上述方法在機(jī)械、結(jié)構(gòu)等振動(dòng)控制領(lǐng)域中發(fā)揮了巨大作用，其實(shí)質(zhì)是通過控制器產(chǎn)生基于輸出的反饋控制力，以優(yōu)化控制系統(tǒng)響應(yīng).

1 粒子群算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法模型中，每一個(gè)粒子的自身狀態(tài)都由一組位置和速度向量描述，分別表示問題的可行解和它在搜索空間中的運(yùn)動(dòng)方向.粒子通過不斷學(xué)習(xí)它所發(fā)現(xiàn)的群體最優(yōu)解和它在搜索空間中的運(yùn)動(dòng)方向,并不斷更新它所發(fā)現(xiàn)的群體最優(yōu)解和鄰居最優(yōu)解，從而實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解.粒子的速度和位置更新方程是PSO的核心，由式(1)表示：

vij=ωvij(t)+c1r1(pbestij(t)-xij(t))+

c2r2(gbestij(t)-xij(t))，

(1)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)．

(2)

式中:i為第i個(gè)粒子;j為粒子的第j維;vij為粒子i在進(jìn)化到t代時(shí)的第j維飛行速度分量;xij為粒子進(jìn)化到t代時(shí)的第j維位置分量;pbestij為粒子i在進(jìn)化到t代時(shí)的第j維個(gè)體最優(yōu)位置pbesti分量;gbestj為t代時(shí)整個(gè)粒子群的最優(yōu)位置gbest的第j維分量;c1,c2為加速因子或稱學(xué)習(xí)因子;r1,r2為(0,1)間的隨機(jī)數(shù);ω為慣性權(quán)重系數(shù)．

1.2 改進(jìn)的(單目標(biāo))粒子群算法

為了平衡標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，本文使用如式(3)的自適應(yīng)慣性權(quán)重公式[9]：

(3)

式中：ωmax,ωmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值;f為粒子當(dāng)前適應(yīng)度值；favg,fmin分別為所有粒子適應(yīng)度值的平均值和最小值．

1.3 多目標(biāo)粒子群算法

多目標(biāo)粒子群算法的主要計(jì)算步驟如下所述：

Step1:初始化粒子群，計(jì)算各對(duì)應(yīng)粒子的目標(biāo)函數(shù)向量，將其中的非劣解加入到外部檔案之中；

Setp2:初始化粒子的局部最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest；

Setp3:在搜索空間內(nèi)，通過式(1)，(2)調(diào)整粒子的飛行速度和位置，形成新的pbest；

Step4：根據(jù)新的非劣解維護(hù)外部檔案，并為每個(gè)粒子選取gbest(檔案的內(nèi)容決定全局最優(yōu)值的選取)；

Step5：是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若否則繼續(xù)計(jì)算，若是則停止計(jì)算，輸出pareto最優(yōu)解集及全局最優(yōu)解.

多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法與單目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的主要區(qū)別就是全局最優(yōu)解的選取方式及外部檔案的設(shè)定和更新.需要著重指出的是，關(guān)于全局最優(yōu)解的選取問題；對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化，直接計(jì)算會(huì)存在一組等價(jià)的最優(yōu)解集，很難從每一次迭代中確定一個(gè)全局最優(yōu)解.解決該問題最直接的方法即是利用Pareto支配的概念，考慮檔案中的所有非劣解，并從中確定一個(gè)“主導(dǎo)者”，通常采用密度測(cè)量的方法來確定全局最優(yōu)解.本文將采用基于粒子最近鄰擁擠程度評(píng)判的最近鄰密度估計(jì)方法[13]，當(dāng)然還有其它類似的方法，如核密度估計(jì)法等[14].

2 單自由度隔振體系

圖1中，mp,kp和cp分別為隔振對(duì)象的質(zhì)量及隔振體系的剛度和阻尼，xg為環(huán)境荷載，并設(shè)其為簡(jiǎn)諧形式.其動(dòng)力學(xué)方程為：

(4)

圖1 單自由度隔振體系

假設(shè)初始狀態(tài)為零，對(duì)其進(jìn)行s=jω的拉氏變換：

(5)

再對(duì)式(5)進(jìn)行拉氏反變換可得式(6)和式(7)．

隔振對(duì)象的加速度傳遞率：

(6)

隔振對(duì)象與地面的相對(duì)位移傳遞率：

(7)

位移、速度傳遞率與式(6)相同，相對(duì)速度、相對(duì)加速度傳遞率與式(7)相同，在此不再贅述．

隔振的目的是希望隔振體系進(jìn)入理想隔振區(qū)域，對(duì)于圖2理想隔振區(qū)域，即TA<1，ω/ωp越大，ηp越小，傳遞率越小．然而，由圖3可知，盲目地降低ωp，則可能會(huì)使Td>1，TA,Td很難共同達(dá)到最優(yōu)，無法同時(shí)進(jìn)入理想隔振區(qū)域，該趨勢(shì)可由圖4的多目標(biāo)優(yōu)化Pareto前沿可見，為此，我們將針對(duì)雙自由度隔振體系展開研究.

ω/ωp

ω/ωp

TA

圖4為基于MOPSO算法而進(jìn)行的多目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算，并考慮式(6)，(7)作為目標(biāo)函數(shù)，算法設(shè)定為2維，每維記為swarm(i),i=1,2，ηp=swarm(1),ω/ωp=swarm(2)，參數(shù)搜索范圍任意設(shè)定為：[0.01,0.01]～[100,100]；算法參數(shù)設(shè)置為：迭代次數(shù)50，粒子群數(shù)50，學(xué)習(xí)因子c1=2,c2=2，慣性權(quán)重ωmax=0.9,ωmin=0.4.

3 雙自由度隔振體系

圖5中，kp,kb,cp和cb分別為隔振體系的剛度和阻尼；mp為隔振對(duì)象質(zhì)量；mb為安置平面或者基礎(chǔ)cpmp質(zhì)量；xg為環(huán)境荷載，并設(shè)其為簡(jiǎn)諧形式.

圖5 雙自由度隔振體系

動(dòng)力學(xué)方程如式(8)所示：

(8)

傳遞率推導(dǎo)與2節(jié)相同，在此，不再贅述．

對(duì)于該雙自由度隔振體系，我們更關(guān)心的是隔振對(duì)象的響應(yīng)(即絕對(duì)位移、速度、加速度)及它與安置平面(基礎(chǔ))間的相對(duì)響應(yīng)(即相對(duì)位移、速度、加速度)問題，而對(duì)于安置平面(基礎(chǔ))的響應(yīng)，在此，不予考慮.由此，可得式(9)和式(10)．

隔振對(duì)象的加速度傳遞率：

(9)

隔振對(duì)象與安置平面的相對(duì)位移傳遞率：

(10)

位移、速度傳遞率與式(9)相同，隔振對(duì)象與安置平面相對(duì)速度、相對(duì)加速度傳遞率與式(10)相同，在此不再贅述.

由圖6(a)～ (c)可知，隨著η1,η2,μ的增加，理想隔振區(qū)域的TA增加；而γ的變化規(guī)律則相反.

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

由圖7(a)，(c)可見，隨著η2,μ的增加，理想隔振區(qū)域中Td亦增加；隨η1的增加先出現(xiàn)小范圍的增加，隨后基本保持不變；并隨γ的增加而有所降低.

此外，由圖6和圖7可見，通過合理隔振參數(shù)設(shè)置，TA,Td都可以達(dá)到某一較低值，這與單自由度體系(圖2，圖3)不同.所以，在實(shí)際應(yīng)用中，更傾向于雙自由度隔振體系.

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

算例1

給定某隔振對(duì)象，質(zhì)量mp=1×105kg，干擾荷載頻率ω=30 Hz，進(jìn)行最優(yōu)隔振參數(shù)設(shè)計(jì).

(11)

Y=[z1-z2,z3]T=Cz+Dw．

(12)

同時(shí)考慮式(9)，(10)作為目標(biāo)函數(shù)，基于MOPSO算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算，算法設(shè)定為5維，每維記為swarm(i)，i=1～5,且η1=swarm(1),η2=swarm(2),μ=swarm(3)，γ=swarm(4)，ω/ωp=swarm(5)，搜索范圍任意設(shè)定為：

[0.01,0.01,0.01,0.01,0.01]～[100,100,100,100,100].

最優(yōu)參數(shù)計(jì)算結(jié)果為：

η1=99.932 3,η2=0.010 1,μ=100,γ=95.560 8,ω/ωp=44.932 1;系統(tǒng)響應(yīng)可由式(11)， (12)計(jì)算，結(jié)果如圖8所示.

TA

由圖9，目標(biāo)控制輸出的響應(yīng)良好，對(duì)于常見頻率范圍的荷載隔振作用明顯.以上計(jì)算考慮的是無控隔振情形，那么對(duì)于工程振動(dòng)中常用的狀態(tài)反饋控制，能否在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化隔振體系呢？

F/Hz

4 雙自由度狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)

雙自由度振動(dòng)控制系統(tǒng)如圖10所示.考慮控制力后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程由式(8)變?yōu)椋?/p>

(13)

圖10 雙自由度振動(dòng)控制系統(tǒng)

同樣地，設(shè)定如下形式的狀態(tài)變量：

(14)

式中：A，B2，B1表達(dá)如下．

Y=[z1-z2,z3]T=C1z+D11w+D12u．

(15)

式中：C1，D11，D12形式如下．

y=[z1-z2,z4]T=C2z+D21z+D22u．

(16)

式中：C2，D21，D22形式如下．

則基于觀測(cè)輸出的狀態(tài)反饋控制力為：

(17)

對(duì)于極點(diǎn)配置算法、線性二次型最優(yōu)算法以及H2/H∞算法等產(chǎn)生的一類反饋控制力均可由式(17)表示；K不考慮“±”號(hào)，因?yàn)樵诮o定參數(shù)尋優(yōu)范圍內(nèi)，K的產(chǎn)生正負(fù)隨機(jī)．

整合式(14)～(17)可得：

Tzw(s)=C1[sI-(A+B2KC2)-1]-1B1．

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行s=jω的拉氏變換可得由Y到w的傳遞函數(shù)矩陣為：

TYw(s)=C1[sI-(A+B2KC2)-1]-1B1．

(19)

考慮傳遞函數(shù)矩陣的無窮范數(shù)：

f‖TYw(s)‖∞．

(20)

事實(shí)上，將式(17)代入式(14)，(15)，總可以得到如式(21)形式的狀態(tài)空間方程：

(21)

即反饋控制力僅使原無控隔振體系，變?yōu)樾拚说摹盁o控”隔振體系，狀態(tài)空間方程形式不變．

算例2

問題同算例1，試在狀態(tài)反饋控制的基礎(chǔ)上，計(jì)算最優(yōu)控制器，以進(jìn)一步優(yōu)化隔振體系.

方法1在算例1計(jì)算所得隔振參數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計(jì)算最優(yōu)反饋控制器.

考慮式(20)作為目標(biāo)函數(shù)，基于改進(jìn)的(單目標(biāo))粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，算法設(shè)定為2維，每維記為swarm(i),i=1,2，即為狀態(tài)反饋控制器K的兩維；參數(shù)范圍任意設(shè)定為：[-1×105,-1×105]～[1×105,1×105]；改進(jìn)的(單目標(biāo))粒子群算法參數(shù)設(shè)置同算例1；優(yōu)化計(jì)算所得的反饋控制器為：[-0.5097,1]×105.優(yōu)化結(jié)果如圖11所示.

迭代次數(shù)

方法2重新實(shí)時(shí)計(jì)算最優(yōu)隔振參數(shù)及最優(yōu)控制器.

考慮式(20)作為目標(biāo)函數(shù)，基于改進(jìn)的(單目標(biāo))粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，此時(shí)算法設(shè)定為7維，每維記為swarm(i),i=1～7，前5維對(duì)應(yīng)隔振體系參數(shù)η1,η2,μ,γ,ω/ωp，后兩維對(duì)應(yīng)狀態(tài)反饋控制器K；參數(shù)范圍任意設(shè)定為：

[0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,-1×105,-1×105]～[100,100,100,100,100,1×105,1×105]；改進(jìn)的(單目標(biāo))粒子群算法參數(shù)設(shè)置同算例1；經(jīng)優(yōu)化計(jì)算所得的最優(yōu)隔振參數(shù)及最優(yōu)控制器為：

η1=100,η2=100,μ=17.3495,γ=0.01,ω/ωp=0.01；

K=[-1.2553,7.6560]×104.優(yōu)化結(jié)果如圖12所示.

由圖13可知，在算例1的無控最優(yōu)隔振參數(shù)的基礎(chǔ)上施加反饋控制，并不能有效地進(jìn)一步優(yōu)化隔振體系．事實(shí)上，數(shù)值試驗(yàn)表明，增加參數(shù)的尋優(yōu)范圍，如提高至106或107數(shù)量級(jí)，響應(yīng)與圖13基本無異；這說明在最優(yōu)隔振參數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步施加反饋控制沒有意義，因?yàn)榇藭r(shí)的最優(yōu)參數(shù)已并非真正地“最優(yōu)”了；由圖14可知，重新實(shí)時(shí)計(jì)算最優(yōu)參數(shù)及控制器，反饋控制的介入可進(jìn)一步優(yōu)化原最優(yōu)無控隔振體系.

迭代次數(shù)

F/Hz

F/Hz

5 考慮控制力傳遞率

對(duì)式(13)進(jìn)行s=jω的拉氏變換，可得：

(kp-ω2mp+jωcp)Xp-(jωcp+kp)Xb=

-U[kp+kb-ω2mb+jω(cp+cb)]Xb-

(kp+jωcp)Xp=U+Fequal．

(22)

設(shè)受控后，隔振對(duì)象的響應(yīng)為零，即Xp=0，則控制力的傳遞率可表示為式(23)：

(23)

式中：Xp,Xb,U分別為xp,xb,u的振幅；Fequal為環(huán)境荷載產(chǎn)生的等效作用力.

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

ω/ωp

由圖15可知，控制系統(tǒng)進(jìn)入共振區(qū)之前，傳遞率基本保持不變；進(jìn)入理想隔振區(qū)域后，控制力傳遞率隨η2先增加而增加，隨后基本保持不變；隨η1,μ的增加，傳遞率減小；隨γ的變化共振峰顯著偏移.

如何合理地設(shè)置隔振參數(shù)，使控制力盡可能減小，這樣，既能保證隔振體系正常工作的傳遞率要求，又能有效地減小控制能源消耗，亟待研究.

算例3

試在算例2中方法2的基礎(chǔ)上，考慮控制力傳遞率，計(jì)算最優(yōu)隔振參數(shù)及最優(yōu)控制器.

同時(shí)考慮式(20)，(23)作為目標(biāo)函數(shù)，基于MOPSO算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，算法設(shè)定為7維，每維記為swarm(i),i=1～7，前5維對(duì)應(yīng)隔振體系參數(shù)η1,η2,μ,γ,ω/ωp，后兩維對(duì)應(yīng)狀態(tài)反饋控制器K；參數(shù)范圍任意設(shè)定為：

[0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,-1×105,-1×105]～[100,100,100,100,100,1×105,1×105]；優(yōu)化計(jì)算所得的隔振體系參數(shù)為：

η1=0.01,η2=88.175 9,μ=0.01,γ=0.01,ω/ωp=36.837 6；最優(yōu)控制器K=[5.979 5,-9.919 6]×104.優(yōu)化結(jié)果如圖16所示.

TYw

由圖17可知，兼顧控制力傳遞率的隔振體系較算例2中的方法2隔振效果有所降低，但耗費(fèi)較少的控制能源，且隔振效率依然較優(yōu)，對(duì)于實(shí)際工程，我們往往更青睞這種較低能耗的控制方式.

F/Hz

6 結(jié) 語

基于粒子群優(yōu)化算法，以控制輸出的傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，在單自由度、雙自由度隔振體系傳遞率分析的基礎(chǔ)上，分別進(jìn)行了隔振參數(shù)的單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究.傳統(tǒng)的振動(dòng)控制設(shè)計(jì)，往往是在已知隔振參數(shù)的情況下創(chuàng)新控制方法或者優(yōu)化控制器，卻忽略了隔振參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)的重要性，盲目地從控制角度優(yōu)化體系，不僅容易造成控制能源浪費(fèi)，還可能會(huì)引起系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)散.

我國《隔振設(shè)計(jì)規(guī)范》[15]僅對(duì)單自由度隔振體系的傳遞率等相關(guān)參數(shù)做了規(guī)定，事實(shí)上，本文研究表明，雙自由度隔振體系更適用于常見的工程振動(dòng)控制.本文亦為最優(yōu)隔振體系設(shè)計(jì)及最優(yōu)振動(dòng)控制設(shè)計(jì)提供了新思路，對(duì)《隔振設(shè)計(jì)規(guī)范》接下來的修訂工作具有指導(dǎo)意義.

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