某型包裝機推手機構(gòu)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)研究*

周長江，胡 波，祝智斌

(1.湖南大學(xué) 國家高效磨削工程技術(shù)研究中心，湖南 長沙 410082；2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082;3.中煙機械集團常德煙草機械有限責任公司，湖南 常德 415000)

隨著包裝機械輕質(zhì)、高速、高精度化發(fā)展，柔性構(gòu)件變形引起的運動誤差不能忽略.基于多剛體動力學(xué)理論建立的計算模型，在分析柔性構(gòu)件變形對機械系統(tǒng)運動精度的影響時存在一定的不足[1-2].針對上述問題，研究者提出剛?cè)狍w耦合動力學(xué)建模.Winfry R C[3]將多剛體動力學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)進行疊加，提出運動—彈性動力學(xué)分析方法.Likins P W[4]和Kane T R 等[5]提出了混合坐標建模方法，并以高速旋轉(zhuǎn)的懸臂梁為例，證明零次近似耦合模型存在“動力剛化”現(xiàn)象.劉錦陽[6]、楊輝等[7]通過縱橫振動的二次耦合變形量，研究了“動力剛化”問題，并用實驗證明該模型的有效性.朱才朝[8]、張立軍等[9]基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)理論，研究了柔性車架對汽車平順性的影響.在包裝機械方面，田曉鴻[10]、韓炬等[11]分別對包裝機和熱封機構(gòu)進行了多剛體運動學(xué)建模與仿真分析.綜上所述，若對高速運動的輕質(zhì)柔性構(gòu)件作剛體假設(shè)，基于多剛體動力學(xué)理論的計算結(jié)果將存在一定誤差.應(yīng)用機構(gòu)動力學(xué)方法計算出載荷邊界，再由結(jié)構(gòu)動力學(xué)方法計算出該機構(gòu)在此載荷邊界下的應(yīng)力與變形.機構(gòu)動力學(xué)求出的動態(tài)載荷，作為載荷邊界條件直接施加在有限元計算模型上則比較困難.若柔性桿件運動軌跡不規(guī)則且變形較大，在有限元計算模型上直接定義該類位移約束條件亦較困難.若簡化為靜態(tài)約束，則仿真條件與實際工況有出入，會影響計算結(jié)果的精度.

本文以某型高速包裝機(1 000包/min)的柔性推手機構(gòu)為研究對象，基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)理論，重點研究柔性構(gòu)件長臂推手的動態(tài)應(yīng)力及運動軌跡.基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型和有限元分析模型，對比研究長臂推手工作點應(yīng)力的計算值；基于多剛體動力學(xué)模型和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型，對比研究構(gòu)件柔性化對系統(tǒng)運動軌跡精度的影響.

1 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)計算原理

將包裝機推手機構(gòu)中剛度較大的零部件按多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建立方程，柔度較大的零件由有限元方法和模態(tài)綜合疊加法建立方程，兩者組集可得剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學(xué)方程[12-13].

柔性體坐標系如圖1所示.其中，er為慣性坐標系，eb為建立在柔性體上的動坐標系，eb在er中的坐標為參考坐標.

小變形的柔體運動可分解為剛性運動與彈性變形.對于柔性體上一點P，其位置矢量表示為：

r=r0+A(rp+up)

(1)

式中r為P點在慣性坐標系er中的位置矢量；r0為動坐標系eb原點在er中的位置矢量；A為動坐標系相對慣性坐標系的方向余弦矩陣；r0為動坐標系eb原點在er中的位置矢量；up為點P的變形量，up=Φpqf；Φp為點P滿足里茲基矢量假設(shè)的變形模態(tài)矩陣；qf為變形的廣義坐標．

圖1 柔性體坐標描述

由拉格朗日方程導(dǎo)出柔性體的運動方程：

(2)

式中ξ=(xyzψθFa1Fa2…Fam)T；Ψ為約束方程；λ為對應(yīng)約束方程的拉氏乘子；ξ為廣義坐標；Fai為投影到ξ上的廣義力，i=1，2，…，m；F為作用在物體上的廣義慣性力；L為拉格朗日項，L=T-V，T，V為系統(tǒng)動能和勢能；Γ為系統(tǒng)能量損耗函數(shù)；θ為模態(tài)坐標．

將計算出的系統(tǒng)動能T、勢能V、能量損耗函數(shù)Γ代入式(2)，得出柔性體的運動微分方程

(3)

式中m為柔性體的質(zhì)量矩陣；k為對應(yīng)模態(tài)坐標θ的廣義剛度矩陣；Fg為重力；D為包含阻尼系數(shù)的常值對稱矩陣．

2 推手機構(gòu)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)建模

包裝機推手機構(gòu)的長臂推手為細長件，即柔性較大.工作時桿件變形對運動軌跡精度可能產(chǎn)生一定的影響，有必要研究其受力狀態(tài).將長臂推手作為柔性體，建立推手機構(gòu)的動力學(xué)模型更接近實際運動.基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)，可較方便地計算長臂推手的動態(tài)應(yīng)力.該方法可較好地解決在有限元模型上直接添加不規(guī)則動態(tài)載荷邊界及位移約束的困難，定義的仿真條件更符合實際工況.

基于ANSYS和ADAMS軟件平臺，運用有限元方法和模態(tài)綜合疊加法，將長臂推手柔性化，建立剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型.柔性體建模關(guān)鍵在于建立剛性區(qū)域和外聯(lián)點.剛性區(qū)域是柔體上與剛體鉸接耦合的不變形區(qū)域；外聯(lián)點即為位于剛?cè)狁詈咸幍臒o質(zhì)量點單元，用來建立柔性體約束的參考坐標.剛性區(qū)域和外聯(lián)點如圖2所示.

圖2 柔性長臂推手剛性區(qū)域和外聯(lián)點

模態(tài)階數(shù)及模態(tài)頻率范圍關(guān)系到模態(tài)綜合疊加法計算結(jié)果的準確性，理論上模態(tài)頻率階數(shù)與計算結(jié)果準確性正相關(guān).考慮計算效率，提取長臂推手柔性模型前100階自由模態(tài)，計入模態(tài)綜合疊加法.在外聯(lián)點上添加剛體與柔體間的約束，建立剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型，見圖3.

圖3 推手機構(gòu)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型

圖3中長臂推手轉(zhuǎn)速為500 r/min，剛度較小.高速狀態(tài)下，作為純剛體進行仿真計算，動力學(xué)性能與實際相差可能較大.柔性化長臂推手，將其作為主要研究對象.

3 推手機構(gòu)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動態(tài)特性

3.1 長臂推手動態(tài)應(yīng)力計算

設(shè)定電機運轉(zhuǎn)速度500 r/min，根據(jù)機構(gòu)運動關(guān)系，計算出測量點的加速度，見圖4.

t/s

機構(gòu)的運轉(zhuǎn)周期為0.12 s，0～0.03 s及0.09～0.12 s為工作段，0.03～0.09 s為回程階段.基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型，計算柔性推手整個周期的應(yīng)力.提取前10個較大應(yīng)力值及其節(jié)點位置，見表1.

表1 前10大動態(tài)應(yīng)力值

動態(tài)應(yīng)力最大值為77.865 6 MPa，小于材料的許用應(yīng)力[σ]=210 MPa，即滿足強度要求.由表1可知應(yīng)力較大值主要集中在t=0.003 s與t=0.039 s時刻.主要原因是：在0.003 s時，推手機構(gòu)快速啟動，加速度較大；在0.039 s時，推手機構(gòu)的加速度達到峰值(見圖4)，即引起了較大的動載荷.圖5、圖6分別為該兩時刻柔性長臂推手的應(yīng)力云圖.

基于有限元分析模型，求解長臂推手的應(yīng)力狀態(tài).與剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型的計算結(jié)果比較，驗證動態(tài)計算結(jié)果的正確性.基于多剛體動力學(xué)理論，得到長臂推手在0.003 s和0.039 s的受力狀態(tài)，見表2．

圖5 t=0.003 s長臂推手的動態(tài)應(yīng)力

圖6 t=0.039 s長臂推手的動態(tài)應(yīng)力

表2 0.003 s和0.039 s時刻長臂推手的受力狀態(tài)

其中A，B，C為長臂推手三處鉸鏈受力作用點，D，E為推板在運動過程中對長臂推手作用力點.在ABAQUS中建立長臂推手的有限元分析模型，將表2中的受力狀態(tài)作為邊界條件，計算長臂推手的準動態(tài)應(yīng)力.應(yīng)力云圖分別見圖7和圖8.

圖7 t=0.003 s長臂推手的準動態(tài)應(yīng)力

圖8 t=0.039 s長臂推手的準動態(tài)應(yīng)力

兩種計算方法的最大應(yīng)力值如表3所示．

表3 動態(tài)應(yīng)力與準動態(tài)應(yīng)力最大值

由表3可知，動態(tài)應(yīng)力最大值略大于準動態(tài)應(yīng)力最大值.其原因為：基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)的計算模型，定義了不規(guī)則運動約束，各單元自身質(zhì)量產(chǎn)生慣性力，加大了長臂推手的內(nèi)部應(yīng)力.該計算模型的工況與實際工況比較相符，計算結(jié)果較好.

3.2 柔體變形對運動的影響

接觸推包時，長臂推手加速度較大.為避免產(chǎn)生較大的接觸力損壞產(chǎn)品，長臂推手選用柔度較大的輕質(zhì)鋁合金.鋁合金在高速運行且加速度較大時，柔度引起的變形會導(dǎo)致一定的運動誤差值.長臂推手在圖3所示的XOY平面內(nèi)運動，直線段為工作推程，曲線段為回程避讓.運動較為復(fù)雜，其運動軌跡見圖9.

X方向位移/mm

建立推手機構(gòu)的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)模型和多剛體系統(tǒng)模型，研究柔性推手變形對運動軌跡的影響.在相同工況下，對兩種模型進行動力學(xué)仿真.對比長臂推手的運動軌跡，分析柔性推手變形引起的運動誤差.圖10為柔性推手變形引起的運動軌跡變化量.

t/s

柔性推手變形會引起運動軌跡的偏移.圖10表明，該型包裝機在高速狀態(tài)下，基于多剛體動力學(xué)模型的計算結(jié)果存在一定誤差.長臂推手在XOY平面內(nèi)的運動，X,Y方向受力較大.柔性推手的變形主要表現(xiàn)為X,Y方向，即該兩方向的運動軌跡變化量較大，見表4.

表4 運動軌跡的最大相對變化量

由圖10及表4可知，柔性推手變形引起的軌跡偏差，主要發(fā)生在推手機構(gòu)的回程階段，即對應(yīng)時間段0.03～0.09 s.該階段對包裝質(zhì)量的影響較小，但對結(jié)構(gòu)性能和運動穩(wěn)定性會產(chǎn)生一定的影響.

4 結(jié) 論

1)基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型與有限元分析模型，對比研究長臂推手的計算應(yīng)力，驗證了基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)理論計算動態(tài)應(yīng)力方法的正確性.

2)基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)理論與多剛體動力學(xué)理論，對比分析長臂推手測量點的運動軌跡，研究表明該型包裝機在高速狀態(tài)下基于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)模型的計算結(jié)果更為準確.

[1]趙陽,范菊.多剛體動力學(xué)在纜索動力分析中的應(yīng)用[J].船海工程,2011,40(1):152-155．

ZHAO Yang,FAN Ju.Application of the multi-body system dynamics in the dynamic analysis of mooring lines [J].Ship & Ocean Engineering,2011,40(1): 152-155．(In Chinese)

[2]王其東,秦煒華.基于多剛體動力學(xué)和規(guī)則協(xié)調(diào)的汽車EPS與ASS建模與控制[J].中國機械工程,2010,21(14): 1709-1713．

WANG Qi-dong,QIN Wei-hua.Modeling and control of vehicle electric power steering and active suspension system based on multi-body dynamics and rule-based coordination[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2010,21(14):1709-1713．(In Chinese)

[3]WINFRY R C.Elastic link mechanism dynamics [J].ASME Journal of Engineering for Industry,1971,93 (1):268-272.

[4]LIKINS P W.Finite element appendage equations for hybrid coordinate dynamic analysis[J].Journal of Solids & Structure,1972,8(5):709-731.

[5]KANE T R,LEVINSON D A.Formulation of equation of motion for complex spacecraft [J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,1980,3(2):99-112.

[6]劉錦陽,洪嘉振.剛-柔耦合動力學(xué)系統(tǒng)的建模理論研究[J].力學(xué)學(xué)報,2002,34(3):408-415.

LIU Jing-yang,HONG Jia-zhen.Study on dynamic modeling theory of rigid-flexible coupling systems[J]． Acta Mechanica Sinica,2002,34(3):408-415．(In Chinese)

[7]楊輝,洪嘉振.柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究綜述[J].力學(xué)進展,2004,24(2):171-181.

YANG Hui,HONG Jia-zhen.Survey of experiments for dynamics of flexible multi body system[J].Advances in Mechanics,2004,24(2):171-181．(In Chinese)

[8]朱才朝，唐倩.人-機-路環(huán)境下摩托車剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)研究[J].機械工程學(xué)報,2009,45(5):225-229.

ZHU Cai-chao,TANG Qian.Dynamic study for driver-motorcycle-road system with rigid-flexible coupling [J].Journal of Mechanical Engineering,2009,45(5):225-229．(In Chinese)

[9]張立軍,張宇.基于懸架剛?cè)狁詈夏Ｐ偷钠嚻巾樞訹J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2008,39(8):28-32．

ZHANG Li-jun,ZHANG Yu.Ride comfort based on the rigid-flexible coupling model of suspension[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2008,39(8): 28-32．(In Chinese)

[10]田曉鴻,李龍.某包裝機推手裝置的運動仿真分析[J].包裝與食品機械，2011,29(4):35-37．

TIAN Xiao-hong,LI Long.Analysis of the simulation movement in cigarette pusher device [J].Journal of Packaging and Food Machinery,2011,29(4):35-37．(In Chinese)

[11]韓炬,王瑩.包裝機熱封機構(gòu)的建模及動力學(xué)分析[J].食品與機械，2013,29(1):146-148．

HAN Jun,WANG Ying.Modeling and dynamics simulation analysis for heat sealing mechanism of packaging machine [J].Journal of Food and Machinery,2013,29(1):146-148．(In Chinese)

[12]LIMEBEER D J,SHARP R S,EVANGELOU S.Motorcycle steering oscillations due to road profiling [J].Journal of Applied Mechanics,2002,69 (6):724-739.

[13]BASILEIOS M,PETER E.Analysis of alternative front suspension system for motorcycles[J].Vehicle System Dynamics,2006,44(Sup):679-689.