一種球頭銑刀“S”形刃口曲線的數(shù)學(xué)建模方法*

龐思勤，喬小峰，王西彬，彭 松

(北京理工大學(xué) 先進(jìn)加工技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

由于球頭立銑刀加工復(fù)雜曲面時有較好的自適應(yīng)性和減振性，可以十分方便地加工模具內(nèi)腔型面以及其他復(fù)雜曲面，廣泛應(yīng)用于加工自由曲面機(jī)械構(gòu)件、模具等產(chǎn)業(yè)[1].同時，由于刀刃曲線一般為變導(dǎo)程弧形曲線且經(jīng)過回轉(zhuǎn)軸線，球頭立銑刀具有切削力小，波動范圍不大，耐用度高，切削過程平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[2].除此之外，球頭立銑刀的切削性能和加工質(zhì)量在很大程度上也取決于刀刃曲線的合理設(shè)計(jì)[3].早期的刀刃曲線以直線刃為主，隨著工件加工精度要求的提高，隨后便出現(xiàn)了一般曲線刃和螺旋線刀刃.目前，對“S”形刃口曲線的研究和應(yīng)用較廣泛，有關(guān)“S”型刃口曲線設(shè)計(jì)和優(yōu)化方法的文獻(xiàn)層出不窮，易德明等人在分析球頭立銑刀刃磨方法的基礎(chǔ)上，建立了“S”形刃球頭立銑刀的前、后刀面及切削刃的數(shù)學(xué)模型[4].廖鋼等人對“S”形刃球頭立銑刀幾何參數(shù)進(jìn)行了分析與優(yōu)化，并對切削機(jī)理進(jìn)行了研究[5].胡思節(jié)等人根據(jù)球頭立銑刀的刃磨參數(shù)所需滿足的條件，對“S”形刃口曲線進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模[6].汪云濤等人在已建立球頭銑刀前刀面和后刀面數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究了“S”形刃口球頭銑刀的誤差數(shù)學(xué)模型[7].Lee等人提出在球頭銑刀球面部分，以一個與刀軸垂直的圓柱面與之相交而形成的“S”形刃口曲線模型[8].Tai等人使用多項(xiàng)式構(gòu)造了“S”形刃口曲線模型[9].盛尚雄等人根據(jù)加工時前刀面的成形運(yùn)動,分別研究了圓柱和圓錐球頭立銑刀球頭部分的“S”形刃口曲線數(shù)學(xué)模型[10].Lin等人討論了“S”刃口球頭銑刀的制造問題[11].

由于球頭銑刀在切削加工時的點(diǎn)接觸狀態(tài)會使加工效率降低，隨著五軸數(shù)控機(jī)床的廣泛引入，球頭銑刀在某些加工領(lǐng)域已被側(cè)銑刀所代替.但是，為了降低生產(chǎn)成本，二軸及三軸數(shù)控機(jī)床加工過程中仍然廣泛使用球頭銑刀，對球頭銑刀的深入研究是有必要的.目前，對球頭銑刀“S”形刃口曲線的研究較為廣泛，但是對球面與多個平面相交而成的刀刃曲線數(shù)學(xué)建模問題的研究少之又少.本文在推導(dǎo)文獻(xiàn)[12]中提到的“S”形刃口曲線的過程中，結(jié)合空間幾何理論和微分幾何理論，首次提出了“單球法”和“雙球法”兩種數(shù)學(xué)建模方法，可以應(yīng)用于球頭銑刀球面與兩個成一定夾角空間平面相交所形成的“S”形刃口曲線的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)問題，也可以應(yīng)用到多個空間平面與球面相交的問題.

1 球面刀刃曲線通用數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，設(shè)點(diǎn)M為球頭銑刀刀刃曲線上任意一點(diǎn)，刀刃曲線方程為：

(1)

式中ρ為M點(diǎn)處矢徑，ψ為相對于zox平面的偏轉(zhuǎn)角，顯然，其均為z的函數(shù)，即有：ρ=ρ(z),ψ=ψ(z).據(jù)此可以求出刀刃曲線上M點(diǎn)處的單位切矢量τ，回轉(zhuǎn)面輪廓母線在M處的切矢量τ0和輪廓表面在M點(diǎn)處的單位法矢量n0分別為：

τ=

(2)

圖1 球面“S”形刃口曲線

由于錐面為回轉(zhuǎn)面，所以在其經(jīng)線上dψ/dz=0，代入式(2)可得：

(3)

n0=τ×τ0

(4)

根據(jù)螺旋角的定義，刀刃M點(diǎn)處螺旋角為單位切矢量τ和τ0之間的夾角，即

cosβ=τ·τ0

(5)

將式(2)，(3)代入式(5)，得到偏轉(zhuǎn)角的微分方程表達(dá)式：

(6)

由式(6)解得ψ并代入式(1)，便可求得球面刀刃曲線參數(shù)方程如式(7)所示:

(7)

2 球面上平面刀刃曲線的簡化數(shù)學(xué)模型

在刀刃曲線設(shè)計(jì)過程中，為使刀刃過銑刀回轉(zhuǎn)軸，球面部分采用復(fù)合型切削刃，即在刀尖點(diǎn)附近，采用平面曲線刀刃，而在遠(yuǎn)離刀尖點(diǎn)的部位，采用能與平面曲線刀刃光滑連接的刀刃曲線，通常為螺旋線刀刃曲線，也可以為不同平面上的刀刃曲線，本文主要對兩個不同平面上的兩段平面刀刃曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.

如圖2(a)所示，平面Ⅰ，Ⅱ相交于球的一條直徑線，在平面Ⅰ內(nèi)過直徑線的一個端點(diǎn)作球面的切線t，過切線t作另一個平面Ⅲ，平面Ⅱ，Ⅲ和球面相交于球面上一點(diǎn)M，球面角β即為平面刀刃曲線上任意一點(diǎn)M處的螺旋角，平面Ⅰ，Ⅱ之間的夾角即為平面刀刃曲線上任意一點(diǎn)M處的偏轉(zhuǎn)角ψ的余角.

(a)點(diǎn)M處偏轉(zhuǎn)角和螺旋角關(guān)系圖

(b)點(diǎn)M處矢量圖

如圖2(b)所示，平面Ⅱ，Ⅲ和球面的相交點(diǎn)M坐標(biāo)、M點(diǎn)在球面上的法矢量nR、平面Ⅱ的法線矢量nx和平面Ⅲ的法線矢量nβ分別如式(8)～(11)所示：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中R為球面半徑；α，θ為球面參數(shù)；βk為平面與z坐標(biāo)軸的夾角，且有：

(12)

平面Ⅱ和球面的交線與平面Ⅲ和球面交線在相交點(diǎn)M處的切向量為tx和tβ：

tx=nx×nR，tβ=nβ×nR

(13)

由平面Ⅱ和平面Ⅲ在球面上的球面角β的定義，可得：

(14)

將式(9)、(10)和式(11)代入式(13)，得：

即，用過球面直徑線端點(diǎn)的切線作任一平面Ⅲ，平面Ⅲ和球面的交線與過同一端點(diǎn)的球面經(jīng)線所形成的球面角β，與過球面經(jīng)線的平面Ⅱ和過直徑線端點(diǎn)切線的平面Ⅰ相交于直徑線所形成的二面角α在數(shù)值上相等，如圖2所示.如圖1中所示，設(shè)平面Ⅰ為yoz坐標(biāo)平面，平面Ⅰ，Ⅱ相交所得直徑線為z坐標(biāo)軸，則平面Ⅲ和球面的交線為球頭銑刀刀刃曲線，球面角β為刀刃曲線上任意一點(diǎn)M處的螺旋角，二面角α為點(diǎn)M處偏轉(zhuǎn)角的余角，即：

(15)

聯(lián)立式(12)，(15)，便可求得刀刃上任意一點(diǎn)M處的偏轉(zhuǎn)角為：

(16)

將式(16)代入式(1)，得球面上簡化的平面刀刃曲線的參數(shù)方程如式(17)所示：

(17)

對比式(17)和式(7)，可以明顯看出刀刃曲線方程得到了有效簡化，更易于求解.

3 一種“S”形刃口曲線的數(shù)學(xué)模型

3.1 新型“S”形刃口曲線特征

本文應(yīng)用簡化的平面刀刃曲線的參數(shù)方程，對文獻(xiàn)[12]提出的球頭銑刀“S”形刃口曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.如圖3所示，該球頭銑刀的刃型特點(diǎn)有以下特征[12]：

1)刃型曲線由平面Pa與球面的交線和平面Pb與球面的交線組合而成，即由圖3所示的兩段平面圓弧a和b組成.圓弧b的一端與圓弧a相切于點(diǎn)N，另一端與半球面沿刀具回轉(zhuǎn)軸線方向的頂點(diǎn)K(刀尖)重合.

2)平面Pb與圓弧刃a段的后刀面相切，切線通過圓弧a和b的切點(diǎn)N.

3)b段圓弧刃的前刀面為圓柱面，并與Pb相切.

4)圓弧a和b所在的平面Pa和Pb分別與刀具軸線不平行也不垂直.平面Pa為a段圓弧刃的前刀面，平面Pb為b段圓弧刃的后刀面.

3.2 “單球法”和“雙球法”理論

本文基于簡化的球頭銑刀平面刃口曲線數(shù)學(xué)方程和圖3所示球頭銑刀球面部分刃口曲線幾何特征，首次提出了“單球法”和“雙球法”的理論方法，基于此方法可以解決球頭銑刀球面部分任意數(shù)量和任意位置平面與球面相交而成的刃口曲線數(shù)學(xué)建模問題.

(a)“S”形刃口曲線平面視圖

(b)“S”形刃口曲線三維視圖

圖4 平面位置關(guān)系圖

同樣，“雙球法”是在不同球面上或不同坐標(biāo)系中對兩段或多段平面刃口曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，兩球面半徑須相等.如圖5所示，平面Pa位置不變，建立能使平面Pa滿足上述條件的過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1，將平面參數(shù)代入式(17)可求得過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1中a段刃口曲線的數(shù)學(xué)模型，對過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1進(jìn)行坐標(biāo)變換使其與坐標(biāo)系oxyz重合，求得過渡坐標(biāo)系變換為固定坐標(biāo)系的變換矩陣，對過渡坐標(biāo)系中的刃口曲線進(jìn)行同樣的坐標(biāo)變換，即可求得a段刃口曲線在坐標(biāo)系oxyz中的數(shù)學(xué)模型，可歸納為：建立過渡坐標(biāo)系→滿足條件→過渡數(shù)學(xué)模型→坐標(biāo)變換→數(shù)學(xué)模型.

3.3 “單球法”建立平面刃口數(shù)學(xué)模型

3.3.1 平面Pb與球面相交刃口曲線方程

如圖3所示，b段刃口曲線由平面Pb和球面相交而成，平面Pb與y平行，符合式(17)推導(dǎo)條件.將平面Pb和z坐標(biāo)軸夾角βk代入式(17)，可得b段刃口曲線數(shù)學(xué)模型如式(18)所示：

(a)a段刃口曲線圖

(b)平面Pa位置坐標(biāo)圖

(18)

3.3.2 平面Pa與球面相交刃口曲線方程

(19)

式中Mz(φ)為平面Pa繞坐標(biāo)軸z旋轉(zhuǎn)角度φ時的變換矩陣，如式(20).xN，yN，zN為刀刃曲線連接點(diǎn)N在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)值.

(20)

(21)

將式(18)，(20)代入式(19)便可得平面Pa在同一坐標(biāo)系oxyz中的刀刃曲線方程如式(22)所示:

(22)

(23)

3.4 “雙球法”建立平面刃口數(shù)學(xué)模型

本文提出的“雙球法”，即以N點(diǎn)為球面直徑線端點(diǎn)，在坐標(biāo)系o1x1y1z1中建立一個等半徑的球面，z1軸和z軸在空間坐標(biāo)系中平行，如圖5所示.平面Pa與坐標(biāo)軸y1平行，且與z1坐標(biāo)軸之間的夾角為β1，符合式(17)推導(dǎo)條件，由此可得a段刃口曲線在o1x1y1z1坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)方程如式(24)所示:

(24)

式中x1Pa，y1Pa，z1Pa分別為a段刃口曲線上任意一點(diǎn)在o1x1y1z1坐標(biāo)系的坐標(biāo)值.

將式(24)所示刃口曲線方程通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到oxyz坐標(biāo)系中，即可得到a段刃口曲線在oxyz坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)方程如式(25)所示:

(25)

由式(18)和式(25)可得球面上平面刀刃曲線方程為：

(26)

式中Mz(λ)為平面Pa繞坐標(biāo)軸z旋轉(zhuǎn)角度φ時的變換矩陣，如式(27).xo′，yo′，zo′分別為坐標(biāo)原點(diǎn)o1在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)值.zN為a,b兩段刃口曲線連接點(diǎn)N的坐標(biāo)值，可由Pa和Pb平面參數(shù)βk和β1確定.

(27)

4 結(jié) 論

本文通過對空間平面理論和球面相交理論進(jìn)行推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，證明了球面部分平面刃口曲線偏轉(zhuǎn)角和螺旋角相等的簡明數(shù)學(xué)關(guān)系，簡化了球面部分平面刃口曲線的數(shù)學(xué)模型.同時，應(yīng)用本文提出的“單球法”和“雙球法”數(shù)學(xué)建模方法，并結(jié)合簡化的平面刃口曲線數(shù)學(xué)模型，對一種新型“S”形刃口曲線進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用此建模方法可以求解球頭銑刀不同數(shù)量空間平面與球面相交所形成的刃口曲線方程，既降低了平面刀刃曲線推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，同時又為兩個或多個空間平面與球頭銑刀球面部分相交而成的復(fù)合型刃口曲線方程的數(shù)學(xué)建模提供了一種有效方法.

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