基于相關(guān)原理的相位差測(cè)量改進(jìn)算法及應(yīng)用

沈廷鰲，涂亞慶，李 明，張海濤

(后勤工程學(xué)院 信息工程系，重慶 401311)

相位差的測(cè)量在故障診斷、測(cè)試控制、電力電子、導(dǎo)航定位、通訊、雷達(dá)等領(lǐng)域有著重要且廣泛的應(yīng)用。例如，在高精度的雷達(dá)精密定位上，依賴于對(duì)同頻信號(hào)相位差的高精度測(cè)量［1］;電網(wǎng)電能計(jì)量中功率因素的確定，涉及到相應(yīng)電壓與電流間相位差的準(zhǔn)確測(cè)量［2］;在高精度流量測(cè)量領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的科氏流量計(jì)，相位差的測(cè)量精度直接影響流體質(zhì)量測(cè)量精度［3］。因此，實(shí)現(xiàn)對(duì)相位差的高精度測(cè)量顯得尤其重要。

目前，相位差的測(cè)量方法很多，其中頻譜分析法［4－6］和相關(guān)分析法［7－11］是應(yīng)用和研究較多的兩種方法。頻譜分析法是利用傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)變換到頻域再進(jìn)行處理，算法要求同步采樣，在非同步采樣的條件下，為提高測(cè)量精度，通常采用加窗或插值的辦法來減小頻譜泄露的影響，算法計(jì)算量較大，不適用于對(duì)測(cè)量實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合。相關(guān)分析法有著良好的噪聲抑制能力，在整周期采樣條件下可實(shí)現(xiàn)相位差的準(zhǔn)確測(cè)量，但在非整周期采樣條件下測(cè)量精度還有待提高。為提高相位差的測(cè)量精度，相繼出現(xiàn)了多種基于相關(guān)原理的相位差測(cè)量新算法或改進(jìn)算法［8－9］。例如，采用插值法修正相關(guān)函數(shù)的積分區(qū)間將非整周期采樣轉(zhuǎn)化為整周期采樣;采用多重互相關(guān)的方法等。這些方法存在計(jì)算量較大，不利于動(dòng)態(tài)相位測(cè)量，且無法完全消除非整周期采樣對(duì)測(cè)量結(jié)果帶來誤差的影響。

文獻(xiàn)［10］提出了一種雙相關(guān)法，利用一路輸入信號(hào)產(chǎn)生具有90°相移的參考信號(hào)，然后將這兩路信號(hào)分別與另一路輸入信號(hào)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，從而可計(jì)算得到原兩路輸入信號(hào)的相位差。然而，雙相關(guān)法并未消除非整周期采樣對(duì)相位差測(cè)量精度的影響。受其思想的啟發(fā)，本文從相關(guān)法的基本原理出發(fā)，通過引入與原兩路同頻輸入信號(hào)具有90°相移的兩路參考信號(hào)，提出了一種與采樣是否整周期無關(guān)的相位差測(cè)量改進(jìn)算法，打破了相位測(cè)量中相關(guān)長(zhǎng)度的選取受整周期條件的限制。給出了算法原理及實(shí)現(xiàn)步驟，并對(duì)相關(guān)法、雙相關(guān)法和本文算法在不同信噪比和不同信號(hào)長(zhǎng)度的條件下，分別進(jìn)行了仿真比較和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以說明本文算法的有效性。

1 相關(guān)原理分析

1.1 測(cè)量原理

設(shè)兩路同頻信號(hào)分別為

式(1)中，A、B、θ1、θ2分別為兩路信號(hào)的幅值和初相位;N1(t)、N2(t)分別為疊加在兩路信號(hào)上的噪聲。根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，由于信號(hào)與噪聲、噪聲與噪聲之間互不相關(guān)，對(duì)兩路信號(hào)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算可得

式(3)即為相關(guān)法的相位差計(jì)算公式。

1.2 誤差分析

前述相關(guān)法計(jì)算相位差的討論都是基于積分區(qū)間為整周期的前提下進(jìn)行的，然而實(shí)際中該條件不一定成立。當(dāng)積分區(qū)間不為整周期時(shí)，相位差的計(jì)算存在誤差。假定積分區(qū)間為(0，kT+ΔT)，進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算可得

推導(dǎo)過程中利用了信號(hào)與噪聲、噪聲與噪聲之間互不相關(guān)的特性，利用了三角和差公式以及kT為周期的特性。由式(4)可以看出，相關(guān)計(jì)算的積分區(qū)間不為整周期時(shí)，存在誤差項(xiàng)為

由式(5)可以看出，ΔT決定著信號(hào)的振幅，相關(guān)計(jì)算的積分區(qū)間為整周期時(shí)，即ΔT=0時(shí)，才不存在誤差項(xiàng) ε(ΔT)。

對(duì)應(yīng)數(shù)字化信號(hào)的相關(guān)計(jì)算，離散表示為

由式(9)－(11)可以看出，當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度N為整周期時(shí)，式(9)－(11)中的后一部分均為0，代入相關(guān)法的相位差計(jì)算公式(3)可準(zhǔn)確得到相位差;當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度N不為整周期時(shí)，式(9)－(11)中的后一部分均不為0，即存在誤差，代入相關(guān)法的相位差計(jì)算公式(3)會(huì)產(chǎn)生較大誤差，進(jìn)而說明在非整周期采樣情況下，相關(guān)法存在測(cè)量精度較差的問題。

2 改進(jìn)算法

2.1 基本思想

相關(guān)法計(jì)算相位的誤差主要取決于相關(guān)長(zhǎng)度的選取，算法要求相關(guān)長(zhǎng)度與信號(hào)的整周期相匹配，如果相關(guān)長(zhǎng)度偏離整周期，就會(huì)造成一定的誤差;另外，一般用相關(guān)法計(jì)算相位時(shí)，用總采樣點(diǎn)數(shù)作為相關(guān)長(zhǎng)度來計(jì)算信號(hào)的相位差，相關(guān)長(zhǎng)度取得過大，就無法用于動(dòng)態(tài)相位的檢測(cè)。為提高相關(guān)法在非整周期采樣情況下的相位差測(cè)量精度，打破相位測(cè)量中相關(guān)計(jì)算長(zhǎng)度需與整周期相匹配這一限制條件，使算法在任意相關(guān)長(zhǎng)度都具有較高的測(cè)量精度，以增強(qiáng)算法的動(dòng)態(tài)特性、魯棒性和普適性，本文利用相關(guān)原理對(duì)原有算法進(jìn)行了改進(jìn)。該算法利用原兩路同頻信號(hào)產(chǎn)生具有90°相移的兩個(gè)參考信號(hào)，然后將四路信號(hào)經(jīng)過零相位濾波器以增強(qiáng)信噪比，再將原兩路信號(hào)分別與兩個(gè)參考信號(hào)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，并利用相關(guān)和正弦函數(shù)的一些性質(zhì)，即可求得原兩路信號(hào)的相位差，其原理框圖如圖1所示。

“我們的策略就是熬，有風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)品不敢碰，高投入的行業(yè)都不做?！睆埲A說，公司處于半停半開的狀態(tài)，有了流動(dòng)資金才敢考慮開工投入下一批項(xiàng)目。

圖1 本文算法的原理框圖Fig.1 The principle chart of the proposed algorithm

2.2 實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)上述算法基本思想及原理框圖，算法的具體實(shí)現(xiàn)過程如下。

設(shè)離散后的原兩路同頻信號(hào)為

將四路信號(hào)分別通過零相位濾波器FRR或RRF。FRR的濾波方法是:先將輸入序列按順序?yàn)V波(forward filter)，然后將所得結(jié)果逆轉(zhuǎn)后反向通過濾波器(reverse filter)，再將所得結(jié)果逆轉(zhuǎn)后輸出(reverse output)，即可得精確零相位失真的輸出序列;RRF的濾波方法是:先將輸入信號(hào)序列反轉(zhuǎn)后通過濾波器(reverse filter)，然后將所得結(jié)果逆轉(zhuǎn)后再次通過濾波器(reverse filter)，這樣所得結(jié)果(forward output)即為精確零相位失真的輸出序列，具體設(shè)計(jì)可參考文獻(xiàn)［12－13］。采用零相位濾波器，避免了常規(guī)濾波器引起的相位失真問題，同時(shí)也提高了信噪比，增強(qiáng)了抗噪性。

對(duì)濾波后的 x(n)、y(n)、x'(n)、y'(n)分別進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，得

需要指出的是，文獻(xiàn)［10］中所提雙相關(guān)法的相位差計(jì)算公式為

由式(15)－(16)可以看出，雙相關(guān)法并未消除非整周期采樣對(duì)相位差測(cè)量精度的影響。

根據(jù)式(15)－(18)可得

式(22)即為本文所提改進(jìn)算法的相位差計(jì)算公式。與傳統(tǒng)相關(guān)法相比，本文算法無需計(jì)算信號(hào)的幅度值A(chǔ)和B，從而避免了計(jì)算幅度值所引入的誤差，進(jìn)而提高了相關(guān)算法的測(cè)量精度。同時(shí)，本文算法充分利用了原兩路信號(hào)與兩路參考信號(hào)的相關(guān)關(guān)系，所得的結(jié)果是無偏的，且不受選取相關(guān)長(zhǎng)度N的影響，使算法更具魯棒性、動(dòng)態(tài)性和普適性。此外，由相位差計(jì)算公式(22)可以看出，本文算法具有無需預(yù)先知道信號(hào)頻率的特點(diǎn)。

需要指出的是，對(duì)于兩路參考信號(hào)的獲取，若信號(hào)頻率已知，準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)90°的相移比較簡(jiǎn)單(可參考文獻(xiàn)［14］)，從而可較易得到兩路參考信號(hào);若信號(hào)頻率未知，可先通過陷波器或者離散頻譜校正的方法獲取信號(hào)頻率，再實(shí)現(xiàn)90°的相移來得到兩路參考信號(hào)，也可先對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，再進(jìn)行希爾伯特變換實(shí)現(xiàn)90°的相移來得到兩路參考信號(hào)。無論頻率已知或者未知，均可準(zhǔn)確得到兩路參考信號(hào)，再運(yùn)用本文所提算法即可實(shí)現(xiàn)相位差的高精度測(cè)量。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性，利用Matlab軟件分別對(duì)相關(guān)法、雙相關(guān)法、本文算法進(jìn)行了比較分析。假設(shè)兩正弦信號(hào)序列為

其中，信號(hào)頻率為100 Hz，采樣頻率為1 500 Hz。

3.1 在不同信噪比條件下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為比較相關(guān)法、雙相關(guān)法和本文算法在不同信噪比條件下的相位差測(cè)量精度，分別對(duì)三種算法在相關(guān)長(zhǎng)度為非整周期(N=10)和相關(guān)長(zhǎng)度為整周期(N=30)兩種情況下進(jìn)行了100次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)所包含的噪聲均為隨機(jī)的加性高斯白噪聲，信噪比SNR在0 dB到50 dB之間變化，仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，三種算法的相位差均方根誤差隨信噪比的增大，呈現(xiàn)出逐漸減小的趨勢(shì)，且在25 dB之后性能趨于平穩(wěn)，說明三種算法均具有一定的抗噪能力。相關(guān)法和雙相關(guān)法在相關(guān)長(zhǎng)度為整周期時(shí)，算法測(cè)量精度接近本文算法測(cè)量精度，但在相關(guān)長(zhǎng)度為非整周期時(shí)，其測(cè)量誤差較大。與相關(guān)法和雙相關(guān)法相比，本文算法不受相關(guān)長(zhǎng)度是否整周期的影響，均保持著較高的測(cè)量精度，且具有比相關(guān)法和雙相關(guān)法更好的抗噪性能。

3.2 在不同相關(guān)長(zhǎng)度N條件下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

在采樣頻率不變的情況下，如果信號(hào)頻率波動(dòng)就不能保證采樣頻率一直是信號(hào)頻率的整數(shù)倍關(guān)系，從而無法滿足整周期采樣條件，相關(guān)長(zhǎng)度也無法始終保持與整周期相匹配，進(jìn)而影響相位差測(cè)量精度。由此可以得出，相關(guān)長(zhǎng)度N直接影響到相位差的測(cè)量精度。為便于比較分析，分別在信噪比為5 dB和信噪比為30 dB兩種情況下進(jìn)行了100次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)所包含的噪聲均為隨機(jī)的加性高斯白噪聲，相關(guān)長(zhǎng)度N在10到40之間變化，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同相關(guān)長(zhǎng)度條件下相位差均方根誤差的比較Fig.3 RMSE comparison with different signal length

從圖3可以看出，在信噪比較低條件下，增加相關(guān)長(zhǎng)度N可改善相位差測(cè)量精度，本文算法始終保持著比相關(guān)法和雙相關(guān)法更高的測(cè)量精度。在信噪比較高條件下，相關(guān)法和雙相關(guān)法的相位差均方根誤差曲線呈現(xiàn)震蕩趨勢(shì)，說明與相關(guān)長(zhǎng)度的選取有關(guān)，兩種算法要求相關(guān)長(zhǎng)度與信號(hào)整周期相匹配;而本文算法的均方根誤差趨為一條直線，說明本文算法在整周期采樣和非整周期采樣情況下都具有較高的測(cè)量精度。本文算法提高了非整周期采樣情況下的相位差測(cè)量精度，打破原有算法相位測(cè)量中相關(guān)長(zhǎng)度需與整周期相匹配這一限制條件，本文算法更具魯棒性和普適性。由于本文算法不受相關(guān)長(zhǎng)度條件的制約，因此可選取較小的相關(guān)長(zhǎng)度實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)相位的測(cè)量。需特別指出的是，經(jīng)多次仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，本文算法在較高信噪比條件下，相關(guān)長(zhǎng)度N選取兩到五之間任意點(diǎn)數(shù)就可實(shí)現(xiàn)相位差的準(zhǔn)確測(cè)量，從而解決了傳統(tǒng)相關(guān)算法不利于動(dòng)態(tài)相位測(cè)量和動(dòng)態(tài)相位測(cè)量精度較差的問題。

3.3 工程應(yīng)用

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的有效性，利用圖4所示的科氏流量計(jì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。對(duì)科氏流量計(jì)的信號(hào)進(jìn)行處理，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確地測(cè)量出兩個(gè)傳感器輸出信號(hào)的頻率和相位差。通過頻率和相位差計(jì)算出時(shí)間差，進(jìn)而計(jì)算出質(zhì)量流量，如式(23)所示。

其中，k=Ks/8r2為流量系數(shù)，由測(cè)量管結(jié)構(gòu)與材料確定;時(shí)間差Δt可由信號(hào)頻率和相位差計(jì)算得到。由上式可以看出，時(shí)間差(相位差)測(cè)量的準(zhǔn)確性直接影響流量測(cè)量精度。

圖4 科氏流量計(jì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)示意圖Fig.4 Experimental platform of Coriolis mass flowmeter

實(shí)際應(yīng)用中因流體特性和流量狀態(tài)不同，科氏流量計(jì)信號(hào)頻率呈現(xiàn)出時(shí)變特性，首先采用自適應(yīng)陷波器對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤估計(jì)，然后采用本文算法測(cè)量相位差，進(jìn)而計(jì)算出時(shí)間差。流量計(jì)振動(dòng)信號(hào)的頻率約為146 Hz，采樣頻率為10 kHz，由于現(xiàn)有技術(shù)條件的限制，無法得到每點(diǎn)的實(shí)際相位差和時(shí)間差值，本文通過分析質(zhì)量流量與時(shí)間差的相關(guān)性來驗(yàn)證算法的有效性。

表1 不同流量下的頻率、相位差和時(shí)間差估計(jì)值Tab.1 The estimated frequency，phase and time delays under different flowrates

圖5 時(shí)間差與質(zhì)量流量的關(guān)系Fig.5 The relation of the time delays and the massflowrates

表1為6種不同平穩(wěn)流量情況下采用本文算法估計(jì)得到的頻率、相位差和時(shí)間差估計(jì)均值。將所求得的時(shí)間差和質(zhì)量流量數(shù)值輸入計(jì)算機(jī)，采用Excel繪制圖形并求出線性回歸方程如圖5所示。由圖5可以看出，質(zhì)量流量與時(shí)間差相關(guān)性顯著，從而驗(yàn)證本文算法在工程應(yīng)用中是實(shí)用有效的，同時(shí)，也說明本文算法在頻率波動(dòng)情況下也可準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)相位的測(cè)量。

4 結(jié)論

針對(duì)相關(guān)法存在非整周期采樣情況下測(cè)量精度較差、不利于動(dòng)態(tài)相位測(cè)量等問題，本文從相關(guān)法的基本原理出發(fā)，提出了一種與采樣是否整周期無關(guān)的相位差測(cè)量改進(jìn)算法，給出了算法的基本思想和實(shí)現(xiàn)步驟，并進(jìn)行了仿真比較和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明:本文算法測(cè)量精度更高、抗噪性能更強(qiáng);相位差測(cè)量過程中相關(guān)長(zhǎng)度的選取不受整周期條件的限制，選取較小的相關(guān)長(zhǎng)度也可準(zhǔn)確求得相位差，可用于動(dòng)態(tài)相位的測(cè)量;算法無需預(yù)知信號(hào)頻率，普適性更好;實(shí)際工程應(yīng)用也證實(shí)了本文算法的有效性。

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