高超聲速飛行器曲線擬合建模方法

崔建峰, 張科, 呂梅柏

(1.西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動力學國家重點實驗室, 陜西 西安 710072)

0 引言

機體/發(fā)動機一體化的設計理念及輕質材料的應用,使得吸氣式高超聲速飛行器的動力學特性十分復雜,存在著較為顯著的氣動-熱-彈性-推進耦合現象。構建一個合理綜合上述交叉耦合因素的動力學模型成為研究吸氣式高超聲速飛行器控制系統的基礎。目前,吸氣式高超聲速飛行器控制系統研究廣泛應用的動力學模型之一,是由Bolender等人提出的基于斜基波-膨脹波理論建立的二維高超聲速飛行器動力學模型[1-2]。國內一些學者也借鑒此種解析建模方法構建了相應的吸氣式高超聲速飛行器二維動力學模型[3-5]。

上述模型所提供的氣動數據離散,不便于進行非線性控制系統綜合設計。因此,文獻[6-8]在解析模型的基礎上對氣動數據進行曲線擬合,得到面向控制的曲線擬合模型(Curve-Fitted Model,CFM)。氣動數據曲線擬合是一個較為耗費時間與計算機資源的過程。例如,為得到對應于7個自變量、每個自變量10個水平值的氣動數據,需要消耗將近80 GB的計算機存儲容量,如果每次計算需要5 ms,則獲取上述數據需要計算將近14 h[7]。所以,擬合前需要依據可供使用的計算機資源選取適當簡化形式的模型,這將限制擬合模型的可信度及其與原始物理模型之間的一致程度。因此,建立一種快速、可靠的曲線擬合建模方法是十分必要的。

本文將在現有彈性高超聲速飛行器動力學模型的基礎上,借助均勻設計、逐步回歸等統計學方法快速高效地獲取飛行器的CFM模型,最后仿真驗證模型的可靠性,并與現有CMF模型進行對比分析。

1 曲線擬合建模

1.1 原始物理模型

本文以文獻[1-2]中給出的高超聲速飛行器動力學模型為曲線擬合參考對象。該飛行器的幾何結構如圖1所示,外形參數及其他詳細信息可參見文獻[2,6-8]。

圖1 高超聲速飛行器模型幾何結構Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

該模型主要采用理論分析方法構建,飛行器表面壓強分布及氣流參數利用空氣動力學中的斜基波-膨脹波理論,分別在高超聲速飛行器前體斜坡、發(fā)動機燃燒室、后體膨脹面以及控制舵面處進行計算,飛行器超燃沖壓發(fā)動機的推力則通過瑞利流模型進行估算。該飛行器模型還考慮到彈性效應。模型的結構彈性模態(tài)基于單根歐拉-伯努利自由梁,通過假設模態(tài)法求解,并利用一階活塞理論計算由剛體模態(tài)及彈性模態(tài)引起的非定常氣動力。另外,模型的飛行力學方程主要在穩(wěn)定軸坐標系下,利用拉格朗日方程推導得出,具體如式(1)所示。

(1)

1.2 曲線擬合模型數據生成

傳統的曲線擬合模型求解方法需要獲取大量的擬合數據集和驗證數據集,這個過程較為耗費時間與計算機資源，且因數據集龐大,給后期模型擬合帶來不便。因此,本文將使用均勻試驗設計來簡化數據生成的過程。

均勻試驗設計是應對探索性試驗獲取近似模型要求而產生的近似試驗設計方法,也是計算機試驗設計的主要方法之一[9]。借助均勻設計方法,可以在需要進行多水平試驗的情況下,極大地減少待試驗次數。利用均勻設計方法,首先要確定試驗因素及試驗設計空間。

表1 狀態(tài)變量工作范圍Table 1 Parameter ranges for curve fitting

在確定試驗因素及試驗設計空間后,一般情況下,當試驗因素s≤7時,可以直接選用文獻[9]及其他相關文獻中提供的均勻設計表開始進行仿真試驗。由于本文試驗因素有12個,因此需要根據均勻設計的原理和方法構造指定試驗因素的均勻設計表。

常用的均勻設計表構造方法有好格子點法、方冪好格子點法及在其基礎上改進的修正法與切割法[9]。本文中的試驗因素均為連續(xù)變量,對變量水平沒有嚴格限制,故本文使用方冪好格子點法及其修正方法構建均勻設計表。詳細的方法與步驟如下:

(1)給定試驗次數n,尋找比n小的整數h,且使n和h的最大公約數為1。符合這些條件的正整數組成一個數組h=(h1,h2,…,hm)。其中m由歐拉函數決定。

(2)設計表的第j列利用下式生成:

uij=ihj[modn]

(2)

這里[modn]表示同余運算,若ihj超過n,則用它減去n的一個適當倍數,使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來生成:

(3)

用上述方法生成的設計表記為U(nm),如果劃去Un+1表的最后一行,則獲得修正的設計表

U*(nm);

(3)均勻設計表應用需要使用表,方冪好格子點法利用整數的同余冪生成使用表。

令a為小于n的整數,且a,a2,…,at在[modn]的意義下互不相同,若at+1[modn]=1,則稱a對n的次數為t。若a對n的次數大于或等于s-1,則可用式(4)作為生成向量。

(a0,a,…,as-1)[modn]

(4)

在一切可能的a(最多n-1個)中去比較相應生成表的均勻性,均勻性最優(yōu)的一組生成向量即為使用表。于是,給定n和s,便可以獲得均勻性最佳的設計表,此時記為U(n,ns),如是修正的均勻設計,則記為U*(n,ns)。

均勻設計表的構造過程中,需要在不同生成表間進行尋優(yōu)。比較兩個均勻設計表的好壞等價于比較它們所對應兩組點集的均勻性。常用的均勻性測度有Lp-星偏差、中心化L2-偏差(CD2)、可卷L2-偏差(WD2)等[9]。根據上述均勻性測度的準確性及計算復雜程度,本文選用中心化L2-偏差作為均勻設計表的均勻性測度,其計算公式為:

(5)

本文以CD2(P)≤0.12為評價標準,最終獲取的均勻設計表為U*(240,24012),其中星號表示由修正方法生成,該表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.1172。

1.3 曲線擬合模型求解

利用上節(jié)獲取的均勻設計表U*(240,24012)進行仿真試驗,生成相應的氣動力、推力及廣義力數據。在這些數據的基礎上,為獲取各變量間的相互關系,需要進行回歸分析。根據理論及實際計算結果分析可知,各力與試驗因素間并非簡單的線性關系,需要考慮到各因素之間的交互作用及因素高次項的影響。但將如此多的因素全部引入到擬合模型中,勢必過于復雜,且可能形成“過擬合”。因此,需要從這些眾多相關因素中挑選出對結果有顯著影響的部分因素,剔除一些不顯著因子,故可以使用逐步回歸分析法。

逐步回歸的基本步驟是:從一個因素開始,視因素對結果作用的顯著程度,從大到小逐步引入回歸方程;在引入每個新因素的同時,要對已引入因素進行顯著性判斷,當原引入因素由于后面因素的引入變得不再顯著時,將其剔除;該過程反復進行,直至既無不顯著因素從回歸方程中剔除,又無顯著因素選入回歸方程時為止。對因素的顯著性判斷是通過針對偏回歸平方和的假設檢驗實現的[9]。

通過觀察單變量對結果的影響及參考文獻[6-8]的擬合形式,最終獲取的CFM模型為:

(6a)

(6b)

式中,角度單位為rad;空氣密度則根據美國1976年標準大氣表計算得到。

阻力系數及推力系數因受剛體參數影響更為顯著,因此,在逐步回歸過程中,有關的彈性氣動導數項作為非顯著因子被剔除。這與文獻[6-8]中的擬合結果不一致。文獻[6-8]因采用最小二乘法進行擬合,受資源限制提前選取了特定形式的模型,從而在擬合結果中將非顯著因子引入,處理簡單劃一,夸大了非顯著因子的作用,使擬合得到的CFM模型可靠性下降。而逐步回歸法以偏回歸平方和的假設檢驗為依據,動態(tài)引入顯著因子,使擬合結果更為可靠,這些可通過后續(xù)的模型驗證與對比分析體現出來。

2 CFM模型驗證與對比分析

2.1 CFM模型驗證

在獲取CFM模型后,需要對模型進行驗證。一般可以通過復相關系數R與殘余標準偏差S來檢驗回歸方程的顯著性與精度。這兩個統計量的定義為:

(7)

對于驗證數據集的生成,同樣可以使用均勻設計表來獲取。借助前述均勻設計表構造方法,獲取的驗證用均勻設計表為U*(1034,103412),該表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.055。

在獲取驗證數據集后,本文CFM模型各統計量數值如表2所示。

表2 CFM模型統計量Table 2 Statistics of curve-fitted model

從表2中可以看出,飛行器各力回歸方程的復相關系數均接近于1,說明CFM模型與原物理模型的一致程度較高。

2.2 CFM模型對比分析

對于已有的CFM模型,文獻[8]在吸氣式高超聲速飛行器幾何外形與配置上與本文一致。本文以升力、阻力、推力及俯仰力矩為對象對比擬合效果。相比于原始物理模型,計算所得的統計量數值如表3所示,各自的殘差如圖2所示(橫坐標P為驗證數據點的序號)。為了更直觀地查看擬合效果,在圖3中還給出了使用真實物理模型、本文CFM模型、文獻CFM模型計算得到氣動力和力矩隨速度和迎角的變化圖。

從表3、圖2和圖3中可以看出,本文借用均勻設計和逐步回歸法所獲取的CFM模型與真實物理模型更為一致,模型精度也更好,但用于擬合及驗證的數據點卻不到2000個,建模過程耗費的時間與計算機資源大為減少。

表3 兩種CFM模型統計量對比Table 3 Comparison of statistics between two types of CFM

圖2 CFM模型殘差圖Fig.2 Residual chart of curve-fitted model

圖3 氣動力和力矩擬合對比Fig.3 Comparison of curve-fitting results

3 結束語

本文提出了一種借助均勻設計、逐步回歸等統計學理論建立、評價及檢驗彈性高超聲速飛行器CFM模型的方法。通過與現有CFM模型的各項數據對比分析表明,基于均勻設計和逐步回歸方法進行高超聲速飛行器曲線擬合建模是一種高效、可靠的方法,其所建立的CFM模型與原始物理模型的一致程度優(yōu)于現有CFM模型,而所消耗的時間與計算機資源遠小于現有擬合方法。

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