由算子定義的一類亞純p葉函數(shù)*

趙媛媛

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院連云港中醫(yī)藥分院 基礎部,江蘇 連云港 222007)

0 引言

令Σp表示形如

(1)

且在D:={z:0<|z|<1}內解析的亞純函數(shù)類.

對于f(z)∈Σp形如(1),g(z)∈Σp且

(2)

定義f(z)與g(z)的Hadamard積(卷積)為

(g*f)(z),(z∈D),

(3)

定義函數(shù)φp(a,c;z)為

(4)

(c≠0,-1,-2,…).

其中(x)k是Pochhammer記號,

對于f(z)∈Σp,利用函數(shù)φp(a,c;z),定義線性算子Lp(a,c):Σp→Σp,

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)*f(z).

(5)

若f(z)形如(1)給出,則由(4)與(5)可得

(6)

由(6)不難驗證

z(Lp(a,c)f(z)′=

aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z).

(7)

利用算子Lp(a,c),對于固定的參數(shù)A,B(-1≤B

(8)

則稱f(z)在類Ha,p(A,B)中,也就是f(z)∈Ha,p(A,B).

另外,若f(z)∈Ha,p(A,B),且

(9)

1 函數(shù)類Ha,p(A,B)

下面先介紹Jack’s引理,后面的定理將運用此引理證明.

定理1若a>0,-1≤B

Ha+1,p(A,B)?Ha,p(A,B).

(10)

證明設f(z)∈Ha+1,p(A,B),并令

(11)

其中ω(0)=0,由(7)與(11)得

zp+1(Lp(a,c)f(z))′=

(12)

這與f(z)∈Ha+1,p(A,B)相矛盾,所以|ω(z)|<1,(z∈D).則根據(jù)(11)得

所以f(z)∈Ha,p(A,B).定理證畢.

對于f(z)∈Σp,利用積分算子Jv,p定義函數(shù)Fv(z):

Fv(z)=Jv,pf(z)=

(13)

由(5)與(13)得

z(Lp(a,c)Fv(z))′=

vLp(a,c)f(z)-(v+p)Lp(a,c)Fv(z).

(14)

定理2定理條件同定理1條件,若f(z)∈Ha,p(A,B),Fv(z)如式(14)定義,則Fv(z)∈Ha,p(A,B).

證明令

(15)

其中ω(0)=0,利用(14)得

zp+1(Lp(a,c)Fv(z))′=

(16)

余下定理證明與定理1方法類似,略.

2 函數(shù)類

在此部分內容中,總是設定-1≤B<0.

(17)

結論是精確的.

(18)

則

考慮z取實值,令z→1-,由(18)得

即

反之,若(17)成立,令|z|=1,由式(9)與式(17)得

結論對

(19)

(k=p,p+1,p+2,…)

是精確的.

結論對(19)是精確的.

(ⅰ) 若數(shù)列{Tk}是非降的,則

(20)

(21)

則結論(20)(21)易得.

(ⅰ)f(z)在圓|z|

(22)

(|z|

其中

(23)

(ⅱ)f(z)在圓|z|

(24)

(|z|

其中

(25)

證明(ⅰ)由(9)可得

要證

(0≤ρ

即證

也即證

(26)

由(23)可得(26).

以下證明與(ⅰ)相同,略.

以上兩結論對(19)是精確的.

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