Richardson－ Lucy與調(diào)制核相結(jié)合的圖像復(fù)原方法

王 巧，喬 雙

（東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長春 130024）

Richardson－Lucy（RL）算法是目前最為廣泛使用的圖像復(fù)原方法之一，是一種基于貝葉斯分析的迭代算法.RL算法假設(shè)圖像服從Poission分布，采用最大似然法進(jìn)行估計［1］.該算法在噪聲影響可忽略或較小的情況下具有唯一解.對于實際應(yīng)用中常見的低信噪比圖像，RL算法存在放大噪聲的缺陷，難以獲得較好的復(fù)原效果［2］.調(diào)制核算法是通過分析，估計梯度穩(wěn)定獲取圖像的局部結(jié)構(gòu)，并根據(jù)這個結(jié)構(gòu)信息去決定一個準(zhǔn)確的調(diào)制核的形狀和尺寸［3］.在平坦的區(qū)域，調(diào)制核的尺度是寬的，而且基本上是各向同性的，表明在這個區(qū)域內(nèi)部沒有強的方向性結(jié)構(gòu).在邊緣區(qū)域，調(diào)制核的形狀描述邊緣輪廓，并且核的值基本上表明像素的強度與感興趣的像素的相似性.在包含小規(guī)模圖像細(xì)節(jié)的區(qū)域，相應(yīng)的調(diào)制核也縮小到一個小區(qū)域［4］.得到了確定的調(diào)制核后，對退化圖像進(jìn)行處理，可以得到去噪圖像.由于Richardson－Lucy存在放大噪音的缺點，而調(diào)制核算法能夠?qū)υ胍暨M(jìn)行有效控制，因而本文提出將2種算法相結(jié)合，圖像復(fù)原的效果得到了明顯改善.

1 RL算法

RL算法是一種基于貝葉斯迭代運算的圖像復(fù)原技術(shù)，迭代中加入了一些圖像的先驗知識作為約束條件，這種算法和以往的基于傅里葉變換的圖像復(fù)原算法不同，它假定觀察圖像，點擴散函數(shù)和原始圖像服從泊松概率統(tǒng)計模型，并最終收斂于泊松統(tǒng)計的最大似然解［5］.

1.1 RL算法的基本原理

RL算法是從最大似然中引出來的，它不是簡單地對退化圖像作求逆運算，而是通過對復(fù)原圖像的逐步迭代來逼近真實圖像［6］.

設(shè)真實圖像信號f及其觀測成像結(jié)果g為N×M 的實值矩陣，令H∶＝［hi，j］是r×s的模糊核，其中

通常人們認(rèn)定模糊算子是線性的，同時滿足平移不變性，即在觀測得到的降質(zhì)圖像中，其像素值都是由同一個模糊核產(chǎn)生的.于是圖像降質(zhì)過程可以解釋為

這里P表示針對H＊f的Poisson噪音污染， 表示卷積運算.

在實際成像過程中，我們只能獲得降質(zhì)圖像g，于是我們將g看成是一個服從Poisson分布的隨機變量，因此有

將所有的像素視為彼此獨立分布的，并代入（3）式，從而得到似然函數(shù)

對（4）式兩端取對數(shù)得

于是我們可以定義E（f）＝－logP（g｜f），f的最大似然估計fML則成為下列極值問題的求解

這里

其中l(wèi)表示為N×M的矩陣，〈〉表示RN×M的內(nèi)積計算.

對E（f）中的f求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于零，于是可推得

這里HT表示為矩陣H的共軛轉(zhuǎn)置，而上式中的表示A和B矩陣中對應(yīng)分量的逐點除法.由（1）式中

所以顯然可有HT＊l＝1.于是將f視為不動點，可以給出如下RL算法

這里A·b表示A和B矩陣中對應(yīng)分量的逐點乘法.當(dāng)k→∞時，fk→f.

1.2 RL算法迭代次數(shù)的影響

用Matlab進(jìn)行仿真實驗，所用圖像采用長度為6，方向為9°的運動模糊，噪聲均值為0，方差為0.0001的高斯白噪聲的lena圖像，如圖1所示.

圖1 高斯白噪聲的lena圖像

使用RL方法在不同迭代次數(shù)下復(fù)原圖1（b）的結(jié)果見圖2.其中k為迭代次數(shù)，SNR為信噪比.

1.3 RL算法對不同模糊程度圖像的復(fù)原效果

圖3所示是不同模糊程度的圖像.使用RL算法對于不同模糊程度圖像迭代20次的結(jié)果見圖4.

從實驗結(jié)果來看，RL算法能夠很好地為圖像去模糊、去噪，理論上迭代算法的迭代次數(shù)越多，圖像就會越精確，但由于實際的退化圖像中存在噪聲，迭代的次數(shù)過多會放大噪聲，使復(fù)原圖像的信噪比降低［7］.這個問題若得不到解決，對于實際應(yīng)用中常見的低信噪圖像，RL算法難以獲得較好的復(fù)原效果.

圖2 不同迭代次數(shù)復(fù)原圖1（b）的圖像

圖3 不同模糊程度的含噪圖像

圖4 對不同模糊程度的含噪圖像的復(fù)原

2 調(diào)制核算法

調(diào)制核算法能夠從模糊含噪圖像中獲得圖像的結(jié)構(gòu)，該算法的核心是根據(jù)圖像的某個像素的局部結(jié)構(gòu)確定該像素處的調(diào)制核的尺寸和大小，當(dāng)獲得確定的調(diào)制核后與含噪圖像卷積處理，從而能夠有效地抑制噪聲.

2.1 調(diào)制核算法的基本原理

假設(shè)一個像素位于位置xi＝［xi，yi］，它的Steering－Kernel（簡記為SK）的數(shù)學(xué)表示為

其中：xi代表一個已經(jīng)給定的位置在以xi為中心的SK的窗口內(nèi)；Cl是從在圍繞xl的分析窗口內(nèi)的灰度的集合估計出的協(xié)方差矩陣.從定義上看，SK就像一個簡單的高斯函數(shù)，但是最終的SK結(jié)果不只是簡單的橢圓外形，這主要是因為單獨的協(xié)方差矩陣Cl是在每一個像素位置處被估計后使用的.

對于以xi為中心的窗口wl的局部灰度矩陣被定義為

Gx（xm）和Gy（xm）表示在［xm，ym］的灰度.在wl區(qū)域內(nèi)其主導(dǎo)方向V1和其垂直方向V2能夠通過計算D的奇異值分解被估計為

這里的奇異值V1≥s2≥0代表V1和V2各自方向上的能量.矩陣Cl可以通過（11）式估計出來.

當(dāng)調(diào)制核獲得后，該算法可表示為

2.2 用Matlab編程檢驗調(diào)制核去噪效果

圖5（a）為原始的lena圖像，圖5（b）為模糊加噪后的圖像，圖5（c）為使用SK算法去噪后的圖像.從實驗結(jié)果可以看出，調(diào)制核算法能夠有效地抑制圖像中的強噪音.

圖5 原始lena、模糊加噪和SK去噪效果對比

3 調(diào)制核算法與RL算法結(jié)合

RL算法在迭代次數(shù)比較低的情況下，隨著迭代次數(shù)的增加，提高圖像的信噪比逐漸提高，但當(dāng)?shù)螖?shù)增加到一定程度時，迭代次數(shù)的增加會放大噪音，信噪比反而下降.調(diào)制核算法能夠根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)很好地抑制了噪聲，能夠提高圖像的信噪比.因此，先對模糊含噪圖像運用調(diào)制核算法去噪，提高圖像的信噪比，然后運用Richardson－Lucy迭代算法復(fù)原圖像.圖6是幾種方法用于中子圖像去模糊、去噪的結(jié)果.

從實驗結(jié)果可以看出，RL算法由于存在噪聲放大的缺陷，視覺效果不理想.將調(diào)制核與Richardson－Lucy算法相結(jié)合后，圖像復(fù)原的效果得到顯著改善.

圖6 幾種方法應(yīng)用于中子圖像的結(jié)果

4 結(jié)論

Richardson－Lucy算法通過反復(fù)迭代能夠很好地復(fù)原信噪比高的模糊圖像.調(diào)制核算法能根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)抑制圖像中存在的強噪聲，將調(diào)制核算法與圖像復(fù)原算法相結(jié)合，即先對模糊含噪圖像運用調(diào)制核算法去噪，提高圖像的信噪比，再運用Richardson－Lucy算法復(fù)原圖像能夠獲得很好的復(fù)原視覺效果.與單純使用某種復(fù)原算法相比較，圖像的信噪比明顯增強，視覺質(zhì)量明顯提高.

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