普氏擺運動規(guī)律研究

王振朝，周 陽，周 玉，張自力，董愛國，王亞芳

(中國地質(zhì)大學(北京) 數(shù)理學院,北京 100083)

1 普氏擺現(xiàn)象簡介

1922年，德國物理學家Carl Pulfrich發(fā)現(xiàn)了一個現(xiàn)象[1]，當用繩子懸吊的重擺在平面內(nèi)作往復擺動時，如果用1塊茶色鏡遮住1只眼睛，同時睜眼看到的擺的運動軌跡會從單擺軌跡變?yōu)轭愃茩E圓的立體軌跡，這種現(xiàn)象被后人稱為“普氏擺現(xiàn)象”. 實驗裝置如圖1所示，裝置中間有重擺，周圍有數(shù)根固定的柱子，用作參考物，戴上眼鏡后觀察重擺更有立體感. 后來的研究表明，在動態(tài)噪音模式下也存在類普氏擺現(xiàn)象[2]. 在應用方面，除了用于科學演示外，普氏擺現(xiàn)象還是Circlescan 4D的核心[3]，是未來立體電影研發(fā)的依據(jù).

圖1 普氏擺實驗裝置

普氏擺現(xiàn)象產(chǎn)生的機理一直有爭議，現(xiàn)在廣為大家所接受的解釋是：相對于未遮擋眼睛而言，被光衰減鏡遮擋的眼睛接收刺激信號有一定的延遲[4-8]，約0.01 s[9]，正因為延遲，有光衰減鏡的那一只眼要比另一只眼晚看到單擺，產(chǎn)生深度上的錯覺[10]，從而看到立體的軌跡.

基于普氏擺的產(chǎn)生機理，本文推導了普氏擺運動規(guī)律的數(shù)學表達式，并對影響普氏擺演示效果的一些因素進行了分析討論.

2 數(shù)學模型的建立

以擺球運動的最低點為原點，擺球擺動平面為x-z平面建立坐標系，雙眼在x-y平面，假設右眼戴鏡片，當小球自右向左運動時，左眼看到的小球在A的位置，由于時間延遲此時右眼看到的小球在A′位置，雙眼交匯的虛像位置為P，如圖2所示，擺線長為l，小球釋放的初始高度為h，人眼距擺平面的距離為d, 瞳距為d′, 在任意點小球的速度設為v，可以分解為水平方向的v1和豎直方向的v2，視線與小球最低點水平. 因為眼睛的延遲時間很短(0.01 s)，在推導中以A點的速率作為擺球從A到A′的平均速率. 另外，為了簡化問題，假設擺球在理想條件下擺動，滿足能量守恒，因此擺球運動滿足：

圖2 擺球運動示意圖

3 運動規(guī)律的研究

3.1 水平方向的運動

代入表達式得：

圖3 小球在x-y平面的投影圖(自右向左運動)

當小球自左向右運動時，如圖4所示，推導過程類似，PD=-y，有：

圖4 小球在x-y平面的投影圖(自左向右運動)

3.2 豎直方向的運動

同理，在豎直方向可以將三維圖投影到y(tǒng)-z平面上，得到如圖5的示意圖，此時B和C重合，A和A′近似重合，過P作PG垂直于y軸. 則存在相似三角形，得到：

代入表達式得：

圖5 小球在y-z平面投影圖

3.3 運動方程的建立

通過前面的推導，只要聯(lián)立(1)～(3)和(6)式，就可以得到，當小球自右向左運動時，有：

(7)

當小球自左向右運動時，有：

(8)

3.4 普氏擺運動規(guī)律的圖示

根據(jù)方程(7)和(8)，利用Matlab給出普氏擺運動的圖形，如圖6～7所示，其中l(wèi)=0.5 m,h=0.1 m,d=1.0 m,d′=0.07 m，t=0.01 s.

圖6 三維圖像

圖7 投影到x-y平面

從圖7可以看出，投影到x-y平面上的圖像類似于橢圓形，但不是標準的橢圓，該圖形關于x軸不對稱.

4 分析和討論

4.1 延遲時間的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時除以Δt，可以得到

所以，延遲時間越長，|y|越大，擺球偏離擺平面的幅度越大，現(xiàn)象越明顯，但是由于延遲時間涉及普氏擺現(xiàn)象的形成機制，Δt是不是常量，是否因人而異都是需要探討的問題.

4.2 人眼距擺的距離的影響

通過方程(7)和(8)中y分量，可以看出，d增大，|y|越大，也就是小球前后擺動的幅度越大，這一結(jié)論和實際實驗中觀察到的現(xiàn)象一致.

4.3 擺球最大高度的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時除以v，得到：

可以看出，v越大，y越大，而擺球的最大高度決定了小球的最大速度，因此擺球初始高度h越大，現(xiàn)象越明顯，這和實驗中觀察到的現(xiàn)象一致.

5 結(jié)束語

推導了普氏擺運動的像點軌跡方程，并對其方程進行了分析討論. 通過方程可知，普氏擺在人眼中的運動軌跡是近似橢圓形但不是標準橢圓形，其圖形關于擺平面不對稱，略微向擺平面的后方偏移，影響其演示效果的主要有延遲時間、人眼距擺平面的距離、擺球釋放的高度等.

參考文獻：

[1] Pulfrich C.Die Stereoskopie im Dienste der isochromem und herterochromen photometrie[J]. Naturwissenschaft,1922,10:553-564.

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[8] Read J C, Cumming B G. All Pulfrich-like illusions can be explained without joint encoding of motion and disparity [J]. Journal of Vison, 2005,5(11):901-927.

[9] 羅春霞. 神秘的普氏擺[J]. 中國高新技術企業(yè)，2008,24:327.

[10] Morgan M J, Thompson P. Apparent motion and the Pulfrich effect [J]. Perception, 1975,4:3-18.