超臨界下受迫輸液管2:1內(nèi)共振的響應(yīng)特性

黃慧春，張艷雷，陳立群

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)，上海201209；2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072；3.上海大學(xué)力學(xué)系，上海200444)

超臨界下受迫輸液管2:1內(nèi)共振的響應(yīng)特性

黃慧春1，張艷雷1，陳立群2,3

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)，上海201209；2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072；3.上海大學(xué)力學(xué)系，上海200444)

研究在超臨界下受迫輸液管2:1內(nèi)共振的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。當(dāng)內(nèi)流速超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)形成新的曲線平衡位形。通過Galerkin截?cái)喾椒ㄊ瓜到y(tǒng)變?yōu)橛邢薜途S離散的系統(tǒng)，再采用多尺度近似解析方法，獲得關(guān)于超臨界條件下受迫輸液管的響應(yīng)特性。通過具體的數(shù)值算例，發(fā)現(xiàn)內(nèi)共振附近系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔現(xiàn)象。通過Runge–Kutta數(shù)值方法，繪制了時(shí)間歷程和相平面圖系統(tǒng)的展示分岔前與分岔后的情況。

振動(dòng)與波；內(nèi)共振；Galerkin；多尺度；Runge-Kutta

流動(dòng)誘發(fā)輸液管的振動(dòng)研究有著十分廣闊的應(yīng)用背景[1，2]。徐鑒，楊前彪[3]等綜述了輸液管的非線性動(dòng)力學(xué)方面的研究進(jìn)展，指出流動(dòng)誘發(fā)輸液管的動(dòng)力學(xué)問題是非常典型的模型，它的工程背景簡單，但確實(shí)含有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。魏發(fā)遠(yuǎn)、黃玉盈等[4]研究了輸液曲管臨界流速的遷移矩陣法。倪樵、黃玉盈[5]用微分求積的方法計(jì)算了彈性支承輸液管的臨界流速。Pa?doussis[1,2,6]研究表明流速超過臨界值后，管道靜平衡位形失穩(wěn)，系統(tǒng)會重新穩(wěn)定在曲線平衡位形。黃慧春、張艷雷等[7]研究了超臨界橫向受迫輸液管的振動(dòng)，給出算例分析了各參數(shù)之間的影響。張艷雷、黃慧春等[8]利用數(shù)值方法方法研究了在高速條件下的振蕩流系統(tǒng)的分岔與混沌的特性。ZHANG和CHEN[9]發(fā)現(xiàn)超臨界系統(tǒng)內(nèi)存在內(nèi)共振現(xiàn)象，并給出相關(guān)參數(shù)之間的影響。

在超臨界條件下，輸液管圍繞曲線平衡位形振動(dòng)的研究仍處于起步階段。對輸液管的超臨界動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜情況并沒有進(jìn)行充分的數(shù)值識別，特別是內(nèi)共振現(xiàn)象中的分岔問題。因而，對于超臨界輸液管的內(nèi)共振問題研究是有十分必要，給出一些特有的分岔特性，可以加深理解流固耦合的動(dòng)力學(xué)研究。

圖1 受迫輸液管的物理模型

1 物理模型

考慮圖1所示輸液管模型。利用牛頓第二定律受力平衡的方法，可以獲得管道的動(dòng)力學(xué)方程[1,9]，對其進(jìn)行無量綱處理，可以得到

其簡支邊界條件為

其中，h為橫向位移，u為流速，Mr為管道與流體單元的質(zhì)量比，P為軸向預(yù)緊力，k為非線性剛度參數(shù),f無量綱外激勵(lì)幅值，w為無量綱頻率，x和t分別代表縱向坐標(biāo)和無量綱時(shí)間。使用Wickert[10]方法得到超臨界輸液管簡支條件的平衡位形η^(x)

其中N(h,t)為坐標(biāo)變換后的擾動(dòng)項(xiàng)。

2 解析分析

運(yùn)用Galerkin方法進(jìn)行離散處理。設(shè)管的橫向位移h是兩個(gè)變量x，t的函數(shù)，用2階展式h(x,t)=q1(t)f1(x)+q2(t)f2(x)進(jìn)行截?cái)?。其中qr(t)為廣義坐標(biāo)，φr(ξ)為滿足簡支邊界條件的梁振型函數(shù)。經(jīng)過截?cái)嗪蟮难菟?，?/p>

其中系數(shù)G，aij，kij通過Galerkin截?cái)嗪罂纱_定。對于方程(5)的1階近似解，可以利用多尺度[11]解析分析獲得近似解

把公式(6)和(7)代入公式(5)中,同時(shí)考慮系統(tǒng)出現(xiàn)2：1內(nèi)共振的條件，利用陀螺系統(tǒng)的可解性條件以及分別引入極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)變換

這里a1和a2表示系統(tǒng)的前兩階模態(tài)響應(yīng)，x和y表示直角坐標(biāo)。這樣通過多尺度獲得了系統(tǒng)的相角幅值方程，其中極坐標(biāo)方程表示為

式中(10)—(13)的系數(shù)Gij可以通過多尺度分析后確定。獲得的直角坐標(biāo)方程為

這里s1為內(nèi)共振調(diào)諧參數(shù)，s2為1階主共振調(diào)諧參數(shù)。因此，系統(tǒng)可以通過數(shù)值方法求解幅值相角方程，分別確定其解的動(dòng)力學(xué)特性，分析出響應(yīng)曲線的穩(wěn)定性問題以及確定出分岔特性。

3 數(shù)值算例

考慮發(fā)生內(nèi)共振的數(shù)值算例[9]，這里給出超臨界輸液管的參數(shù)如下，管的固液質(zhì)量比例Mr=0.447，軸向張力P=-5，流速u=5.027 04,黏彈性為a= 0.001，非線性系數(shù)k=4，激勵(lì)幅值f=0.1，小參數(shù)e= 0.01。對極坐標(biāo)方程(10)—(13)進(jìn)行數(shù)值求解，可以獲得前兩階模態(tài)的頻響曲線。

圖2顯示系統(tǒng)在2：1內(nèi)共振下的1、2階模態(tài)的響應(yīng)特性。黑點(diǎn)代表數(shù)值計(jì)算的點(diǎn)，實(shí)線代表穩(wěn)定解，虛線代表不穩(wěn)定的情況。觀察發(fā)現(xiàn)響應(yīng)曲線出現(xiàn)了雙跳躍情況，通過穩(wěn)定性計(jì)算發(fā)現(xiàn)了響應(yīng)曲線峰值的底部出現(xiàn)了不穩(wěn)定，由分岔計(jì)算可知，調(diào)諧參數(shù)s2在[-0.005，0.005]附近出現(xiàn)Hopf分岔的情況，即系統(tǒng)的固定點(diǎn)的演變?yōu)闃O限環(huán)的情況。

圖3顯示Hopf分岔前es2=-0.005 5時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。觀察圖3(a)的時(shí)間歷程，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)曲線在經(jīng)歷了瞬時(shí)的波形變化后，變?yōu)榉€(wěn)定的直線。圖3 (b)相平面圖反映出系統(tǒng)最終會穩(wěn)定在固定的點(diǎn)上。

圖2 頻率響應(yīng)曲線

圖3 Hopf分岔前時(shí)間歷程和相平面圖

圖4顯示Hopf分岔后es2=-0.004 8時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。觀察圖4(a)的時(shí)間歷程，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)曲線最終變?yōu)榉€(wěn)定的波形。圖4(b)顯示相平面圖變?yōu)榉€(wěn)定的極限環(huán)。

圖4 Hopf分岔后時(shí)間歷程和相平面圖

4 結(jié)語

本文分析了超臨界條件下，輸液管在受到內(nèi)共振影響下系統(tǒng)的響應(yīng)特性。應(yīng)用多尺度方法進(jìn)行攝動(dòng)近似分析，通過給出具體的數(shù)值算例，發(fā)現(xiàn)前兩階模態(tài)的響應(yīng)曲線展示了雙跳躍的振動(dòng)響應(yīng)特性，并且發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔的情況，在Hopf分岔前后還給出了具體的時(shí)間歷程以及相平面關(guān)系。

[1]Pa?doussis M P.Fluid-structure interactions:slender structures and axial flow[M].Vol.1,Academic Press, London,1998.

[2]Pa?doussis M P.Fluid-structure interactions:slender structures and axial flow[M].Vol.2,Academic Press, London,2004.

[3]徐鑒，楊前彪.輸液管模型及其非線性動(dòng)力學(xué)近期研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2004，34(2)：182-194.

[4]魏發(fā)遠(yuǎn)，黃玉盈，任志良.分析輸液管曲管臨界流速的遷移矩陣法[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21(1)：33-39.

[5]倪樵，黃玉盈，陳貽平.微分求積法分析具有彈性支承輸液管的臨界流速[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(2)：146-149.

[6]Pa?doussis M P,Issid N T.Dynamic stability of pipes conveying fluid[J].Journal of Sound and Vibration,1974, 33(3),267-294.

[7]黃慧春，張艷雷，陳立群.橫向受迫超臨界輸液管道的振動(dòng)分析[J].力學(xué)季刊，2012，33(3)：382-386.

[8]張艷雷，黃慧春，陳立群.振蕩流作用下受約束的懸臂管的分岔特性[J].噪聲與振動(dòng)控制，2012，5：46-49.

[9]ZHANG Y L,CHEN L Q,External and internal resonances of the pipe conveying fluid in the supercritical regime[J].Journal of Sound and Vibration,2013,332, 2318-2337.

[10]Wickert J A.Non-linear vibration of a traveling tensioned beam[J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 1992,27(3),503-517.

[11]Nayfeh A H and Mook D T.Nonlinear oscillations[M].John Wiley,New York.1979.

ResonanceAnalysis of a Forced Fluid-conveying Pipe with2:1 Internal Resonances under Supercritical Fluid Velocity

HUANG Hui-chun1,ZHANG Yan-lei1,CHEN Li-qun2,3

(1.Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,China; 2.Shanghai Institute ofApplied Mathematics and Mechanics,Shanghai 200072,China; 3.Department of Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

The dynamic response behavior of a fluid-conveying pipe under supercritical fluid velocity is investigated by taking 1:2 internal resonances into account.The equilibrium configuration of the system can bifurcate into multiple equilibrium positions when the fluid velocity exceeds the critical value.The partial differential equation of the system is discretized into several equations via the Galerkin’s truncation method.These equations are then numerically solved by the multi-scale method.Attention is concentrated on the possible response of the system with different governing dimensionless parameters.Finally,the cumulative effect of frequency on the internal resonance is studied and the Hopf bifurcation is briefly discussed.Dynamic response of the system in the vicinity of Hopf bifurcation is presented in the form of time histories and phase plane trajectories via the Runge-Kutta numerical method.

vibration and wave;internal resonance;Galerkin;multi-scale;Runge-Kutta

O32

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.003

1006-1355(2014)02-0008-04

2013-03-14

國家杰出青年科學(xué)基金：(10725209)；國家自然科學(xué)基金：(10902064)；上海市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人計(jì)劃：（09XD1401700）

張艷雷（1980-）男，博士，上海第二工業(yè)大學(xué)，研究方向：復(fù)雜傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)與控制設(shè)計(jì)。

E-mail:yanlei-zhang80@163.com