基于排隊(duì)論模型分析生化恐怖襲擊事件的醫(yī)療救助能力

王斌，王菊韻

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

1 前言

生化恐怖襲擊一旦發(fā)生對(duì)社會(huì)和人民生命會(huì)帶來(lái)極大的威脅，如已發(fā)生的日本地鐵沙林毒氣事件和美國(guó)炭疽事件。1994年6月27日，松本市遭受了沙林毒氣的襲擊，事件造成7人死亡。二年后的1995年3月20日，沙林毒氣襲擊事件在東京地鐵站再次發(fā)生，事件造成12人死亡，6000多人受傷。當(dāng)這樣的恐怖襲擊發(fā)生后，受害者的自救能力和醫(yī)療救助方式與其他的災(zāi)害并不相同[1][2]。因此，在生化恐怖襲擊發(fā)生時(shí)，分析和預(yù)測(cè)醫(yī)院的救助能力，使受害者的傷亡減少到最低，是事故救援中的最重要的問(wèn)題。

文中主要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題：(1)當(dāng)生化恐怖襲擊發(fā)生時(shí)，分析計(jì)算受害人群到達(dá)首選醫(yī)院的人數(shù)。(2)在救助黃金時(shí)間，受害者首選醫(yī)院的救助能力及受害者等待時(shí)間的計(jì)算。

2 方案和研究目的

基于上文中提到的日本沙林毒氣事件，我們?cè)O(shè)置如下的研究場(chǎng)景。在一定時(shí)間里，北京某地鐵站里有上百人(包括等地鐵的和換乘地鐵的人群)。刺激性氣味從可疑物體發(fā)出后，迅速蔓延到整個(gè)站臺(tái)。許多人已經(jīng)有了中毒現(xiàn)象，開始惡心、流淚，一些靠近可疑物體的人有了更嚴(yán)重的癥狀。此時(shí)，乘客開始沖出地鐵站尋找最近的醫(yī)院尋求治療，并且許多傷者進(jìn)入的都是離地鐵站最近的醫(yī)院。

如果等待時(shí)間超過(guò)了黃金時(shí)間，可能會(huì)影響受害者的治療甚至造成傷亡人數(shù)的增加。所以，根據(jù)醫(yī)院的救助水平，受害者人數(shù)等，需要計(jì)算出平均救助時(shí)間和相關(guān)的參數(shù)。這些參數(shù)可以表示出醫(yī)院的醫(yī)療救助能力。

3 計(jì)算到達(dá)率模型

3.1 瞬態(tài)系統(tǒng)中計(jì)算到達(dá)的受害者人數(shù)

傳統(tǒng)方法中，排隊(duì)論是對(duì)時(shí)間間隔相對(duì)較長(zhǎng)下顧客到達(dá)情況的理論研究。即顧客的到達(dá)時(shí)間服從泊松分布并且到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。經(jīng)一段時(shí)間后該系統(tǒng)會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的排隊(duì)系統(tǒng)。

生化恐怖襲擊的特征是發(fā)生概率低和有很大的不確定性。并且在短時(shí)間內(nèi)會(huì)聚集大量受害人群，所以，當(dāng)恐怖襲擊發(fā)生時(shí)，預(yù)測(cè)受害人群涌入醫(yī)院的情況不能用傳統(tǒng)的排隊(duì)論系統(tǒng)。當(dāng)人們心理恐慌時(shí)，大量受害人會(huì)在短時(shí)間內(nèi)涌入醫(yī)院，因此顧客到達(dá)是非穩(wěn)態(tài)的，基于這種情況我們需要建立一個(gè)瞬態(tài)行為系統(tǒng)，從而估計(jì)每個(gè)時(shí)刻到達(dá)醫(yī)院的受害者人數(shù)，以及對(duì)到醫(yī)院的受害人數(shù)作出判斷，預(yù)測(cè)在“黃金救助時(shí)間”內(nèi)醫(yī)院的救治能力。

假定在時(shí)刻t受害者到達(dá)醫(yī)院，到達(dá)時(shí)間服從近似泊松分布，到達(dá)率為λ(t)。醫(yī)院有s(t)個(gè)并行服務(wù)臺(tái)，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，服務(wù)率為μ(t)。醫(yī)院能容納的受害者人數(shù)最多為N。

設(shè)pi(t)表示系統(tǒng)在初始狀態(tài)下，在時(shí)間t時(shí)系統(tǒng)中有i個(gè)受害者的概率。p0(0)=1，如果i>0，pi(0)=0。通過(guò)下述模型，計(jì)算出在t+△t時(shí)刻系統(tǒng)中有i個(gè)受害者的概率：

P0(t+△t)=(1-λ(t)△t)P0(t)

+μ(t)△tPi(t)

(1)

Pi(t+△t)=λ(t)△tPi-1(t)+(1-λ(t)△t

-min(s(t)，i)μ△t)Pi(t)

+min(s(t)，i+1)

μ(t)△tPi+1(t)

(2)

1≤i≤N-1

PN(t+△t)=λ(t)△tPN-1(t)

+(1-min(s(t)，N)μ(t)△t)

PN(t)

(3)

上面的等式可以計(jì)算在時(shí)刻t+△t時(shí)，到達(dá)或者接受服務(wù)的受害者的概率。E(t)表示在某時(shí)刻等候和接受治療的人數(shù)，它的平均值如下表述：

(4)

3.2 醫(yī)院醫(yī)療救助能力的計(jì)算

當(dāng)受害者的平均到達(dá)率λ小于醫(yī)院的平均服務(wù)率μ時(shí)，可用傳統(tǒng)排隊(duì)論計(jì)算受害者等待時(shí)間，本文主要討論受害者的平均到達(dá)率λ大于醫(yī)院的平均服務(wù)率μ的情況。

當(dāng)λ>μ時(shí)，醫(yī)院沒(méi)有足夠的救助能力。這時(shí)系統(tǒng)是有限的，醫(yī)院救助能力可以通過(guò)排隊(duì)論模型 (M/M/S/GD/c/∞)計(jì)算。這個(gè)系統(tǒng)中，到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間都服從指數(shù)分布，每個(gè)受害者接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的，并行服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)(包括醫(yī)生和護(hù)士)是S，系統(tǒng)容量是c，受害者人數(shù)是無(wú)限的。因?yàn)橄到y(tǒng)是有限的，所以當(dāng)系統(tǒng)有c個(gè)受害者的時(shí)候，再多的受害者就不會(huì)進(jìn)入系統(tǒng)。最后，即使到達(dá)率大于服務(wù)率，系統(tǒng)都不會(huì)“爆炸”而會(huì)處于穩(wěn)態(tài)。

關(guān)于系統(tǒng)的某些參數(shù)如下所述。系統(tǒng)服從“先到先服務(wù)”的服務(wù)規(guī)則。qj表示系統(tǒng)中有j個(gè)受害者的穩(wěn)態(tài)概率。

(5)

等待時(shí)間服從j-c+1的愛(ài)爾朗分布，等待時(shí)間的分布函數(shù)表示如下：

在醫(yī)院的受害者的平均等待時(shí)間表示如下：

(7)

因?yàn)?，系統(tǒng)中不是所有的受害者都能在“黃金救治時(shí)間”被治療，所以，我們通過(guò)公式(6)，即等待時(shí)間的分布函數(shù)計(jì)算出在“黃金救治時(shí)間”里能治療的受害者的人數(shù)，從而預(yù)測(cè)醫(yī)院能夠治療的受害者人數(shù)。

將(6)式展開整理得到公式(8)。(8)式表示等待時(shí)間小于等于1小時(shí)的概率。

(8)

4 實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)仿真驗(yàn)證上述提出的方法。4.1為到達(dá)率的仿真。4.2為醫(yī)療救助能力的仿真。

4.1 到達(dá)率的計(jì)算仿真

在恐怖襲擊發(fā)生時(shí)，通過(guò)等式(4)，能夠計(jì)算出每個(gè)時(shí)刻到達(dá)醫(yī)院的受害者人數(shù)。假定生化襲擊同時(shí)發(fā)生在北京復(fù)興門地鐵站的兩個(gè)站臺(tái)，離地鐵站最近的醫(yī)院北京二龍口醫(yī)院就成為人們第一時(shí)間接受治療的醫(yī)院。紅色標(biāo)識(shí)B表示的就是二龍路醫(yī)院。地鐵站有A、B、C、D四個(gè)出口。B口是離醫(yī)院最近的一個(gè)出口，D出口是距離醫(yī)院最遠(yuǎn)的一個(gè)出口。由此可知第一個(gè)到達(dá)醫(yī)院接受治療的受害者最可能是從B口步行到達(dá)的。復(fù)興門站距離醫(yī)院的最近距離大概為833米。

圖1

在早上7:30到9:00之間，北京地鐵處于早高峰時(shí)段，若此時(shí)復(fù)興門地鐵站遭受生化恐怖襲擊，將會(huì)有大量的人群涌入二龍口醫(yī)院。根據(jù)地鐵站與二龍口醫(yī)院的地理距離以及遭受意外事故的受傷人群的步行能力，能夠估算出最快到達(dá)醫(yī)院的受害者的時(shí)間大概是15min。

早高峰期間，地鐵一號(hào)線和二號(hào)線列車運(yùn)行間隔都會(huì)縮短，列車進(jìn)站的頻率就會(huì)加快，站臺(tái)的人數(shù)相應(yīng)就會(huì)增多。另外，通過(guò)調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到復(fù)興門站早高峰時(shí)換乘地鐵人數(shù)。采用高峰期7:30—8:30的客流調(diào)查數(shù)據(jù)，其具體數(shù)據(jù)如表1所示。由此看出此時(shí)復(fù)興門站的人數(shù)(換乘的乘客)超過(guò)2萬(wàn)人次，平均每分鐘的換乘人數(shù)超過(guò)400人。

表1 高峰時(shí)段各個(gè)地鐵站的換乘量

同時(shí)還會(huì)有大批的乘客通過(guò)入口到站臺(tái)等待乘車，此時(shí)復(fù)興門地鐵站人數(shù)處于一個(gè)高峰值。所以，若此時(shí)發(fā)生恐怖襲擊，地鐵站有大概上千人，根據(jù)日本沙林毒氣襲擊事件報(bào)告可知，其中會(huì)有百分之三十左右的受害人會(huì)去醫(yī)院。通過(guò)醫(yī)院距離地鐵站的距離和道路情況等因素，可以估算出受害者到達(dá)醫(yī)院的速率，如表2所示。

表2 不同時(shí)間受害者到達(dá)醫(yī)院的速率λ

按照文獻(xiàn)[3]的方法，可以通過(guò)等式(1)(2)(3)模擬出到達(dá)醫(yī)院的受害者的概率分布。局部的結(jié)果如表3所示。

通過(guò)等式(4)可以計(jì)算出一小時(shí)內(nèi)到達(dá)醫(yī)院的受害者人數(shù)，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 到達(dá)醫(yī)院的受害者人數(shù)

時(shí) 間不同時(shí)間到達(dá)的受害者的概率秒小時(shí)P(0)P(1)P(2)P(295)P(296)00100006000.171000012000.335.19E-282.46E-265.63E-250018000.508.11E-934.37E-911.14E-894.38E-086.65E-0824000.673.53E-1107.76E-1098.26E-1080.1580.45330000.833.44E-1051.43E-1042.95E-1044.00E-053.21E-06360017.62E-1041.36E-1031.57E-1035.36E-102.18E-11

條件：1.到達(dá)人數(shù)服從非齊次泊松分布。2.醫(yī)院有十個(gè)醫(yī)生，每小時(shí)可以治療70個(gè)受害者。3.醫(yī)院最多可以容納296人。4.第一個(gè)受害者到達(dá)醫(yī)院需要15分鐘。

由上圖可知，在第十五分鐘，第一名受害者到達(dá)醫(yī)院后，到達(dá)人數(shù)有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)。在一小時(shí)內(nèi)有大約296個(gè)受害者到達(dá)醫(yī)院，并且?guī)缀跛械氖芎φ叨际窃谒氖謨?nèi)到達(dá)的。同時(shí)，隨著受害者被不斷被救助后，系統(tǒng)中的受害者在不斷減少。仿真的結(jié)果與我們的經(jīng)驗(yàn)是吻合的。

4.2 計(jì)算救助能力的仿真

本文中假設(shè)受害者到達(dá)醫(yī)院后需要兩個(gè)階段的救治服務(wù)。首先，受害者在第一階段需要填表登記并初步診斷其病情的輕重，無(wú)明顯癥狀或病情輕微的患者進(jìn)入觀察室進(jìn)行觀察治療，病情中度或嚴(yán)重的患者就必須接受下一個(gè)階段的專業(yè)治療。其中，病情中度者經(jīng)過(guò)治療，比如，打針輸液，就可以出院。嚴(yán)重癥狀的患者則需要住院治療。其次，在觀察室的受害者中有部分人員目前癥狀比較輕微，一段時(shí)間后病情就會(huì)加重，需要進(jìn)一步接受治療，而觀察室剩下的大部分人員在一段時(shí)間的觀察后，未表現(xiàn)出嚴(yán)重癥狀，就可以離開醫(yī)院。受害者到達(dá)醫(yī)院的具體排隊(duì)流程如圖3所示。

圖3

假設(shè)到達(dá)醫(yī)院的296名受害者在等候治療。服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，在第一階段的治療過(guò)程中，有三名醫(yī)生(即三個(gè)服務(wù)臺(tái))，每名醫(yī)生每小時(shí)可以診斷60名受害者。第二個(gè)階段，有七名醫(yī)生(即七個(gè)服務(wù)臺(tái))，每名醫(yī)生每小時(shí)只能救助3名受害者，并且等候區(qū)域能容納所有受害者。根據(jù)(7)式和(8)式可以得出表4。

由表4可以看出在時(shí)間緊迫，醫(yī)生人數(shù)有限的情況下，半小時(shí)內(nèi)，3名醫(yī)生只能診斷94人。一小時(shí)內(nèi)，若要求救助率達(dá)到95%的話，只能救20人。

假如第一階段設(shè)置的等待時(shí)間超過(guò)半小時(shí)，第二階段的受害者人數(shù)就會(huì)相應(yīng)增加，這就超出了此時(shí)醫(yī)院的救助能力范圍。所以，第一階段設(shè)置的等待時(shí)間是半小時(shí)。

在日本沙林毒氣發(fā)生后的官方報(bào)告中，我們得知，在發(fā)生襲擊的第一天有640人到醫(yī)院就診，其中有111人(占就診人數(shù)的17%)接受住院治療。在對(duì)528人進(jìn)行觀察的過(guò)程中，有107人(占觀察人數(shù)的20%)表現(xiàn)出中度的中毒癥狀，又從觀察室到診室接受治療。有4人病情嚴(yán)重，住進(jìn)了重度監(jiān)護(hù)病房，還有1個(gè)人在急診病房中不治身亡[5][6]。

表4 診斷人數(shù)及平均等待時(shí)間

在已有的數(shù)據(jù)下，我們做出如下分析。在診斷的94人中，有15%至20%的受害者(也就是16名左右的傷員)癥狀嚴(yán)重，需要到下一服務(wù)臺(tái)接受治療。剩下的受害者到觀察室等待，這些在觀察室的受害者中還會(huì)有大概20%(18名左右)的人員病情會(huì)加重，這些受害者依然得接受專業(yè)治療。在救助率達(dá)到95%的前提下，第二個(gè)階段安排7名醫(yī)生完全可以救助最初癥狀嚴(yán)重的患者。

若一小時(shí)內(nèi)，觀察室的人員病情加重，也就是說(shuō)此時(shí)病情嚴(yán)重患者多于20人。在初步診治的階段和專業(yè)治療過(guò)程中，由于醫(yī)療能力限制，對(duì)于未能接受診斷和專業(yè)治療的受害者。醫(yī)院和突發(fā)事件指揮中心必須作出以下兩種選擇：1)盡快將他們轉(zhuǎn)移到其他醫(yī)院，其他的醫(yī)院的救助能力也可以使用此方法計(jì)算；2)需要更多的醫(yī)生救助這些受害者，可以從其他醫(yī)院調(diào)來(lái)足夠的醫(yī)生救助受害者。當(dāng)然，醫(yī)院的救助條件也必須考慮在內(nèi)(比如緊急病床數(shù)目、救援設(shè)備等等)，因此，最有效的辦法是把受害者轉(zhuǎn)移到其他醫(yī)院接受治療。

5 結(jié)論

文中，我們研究了當(dāng)生化恐怖襲擊發(fā)生時(shí)，受害者涌入首選醫(yī)院的到達(dá)率以及醫(yī)院的醫(yī)療救助能力。建立了一個(gè)瞬態(tài)系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中，緊急情況發(fā)生時(shí)可以通過(guò)排隊(duì)論的方法求解所需數(shù)據(jù)。通過(guò)受害者的到達(dá)率和服務(wù)者的服務(wù)率的關(guān)系，能分別計(jì)算出每個(gè)時(shí)刻到達(dá)醫(yī)院的受害者人數(shù)以及等候時(shí)間。

特別地，本文討論了當(dāng)λ>μ時(shí)，醫(yī)院的醫(yī)療救助能力的計(jì)算，這種計(jì)算方法更符合生化應(yīng)急方案及實(shí)際情況。當(dāng)受害者的等待時(shí)間服從j-c+1的愛(ài)爾朗分布時(shí)，使用等待時(shí)間的概率分布函數(shù)可以計(jì)算出醫(yī)院的醫(yī)療救助能力。

研究中已經(jīng)舉例證明了該方法的可行性。未來(lái)的研究包括瞬態(tài)行為模型的到達(dá)率函數(shù)的給出，并根據(jù)地點(diǎn)、時(shí)間、周圍環(huán)境和事件中的其他條件，仿真出更符合實(shí)際情況的受害者的到達(dá)率，繼續(xù)探討復(fù)雜情況下的醫(yī)院救治能力的預(yù)測(cè)。

[1]黃培堂. 如何應(yīng)對(duì)生物恐怖[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[2]陳冀勝. 如何應(yīng)對(duì)化學(xué)恐怖與化學(xué)毒性災(zāi)害[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[3]Wayne L Winston. 運(yùn)籌學(xué)-概率模型應(yīng)用范例與解法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[4]唐應(yīng)輝，唐小我. 排隊(duì)論一基礎(chǔ)與分析技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[5]Tetsu Okumura，Kouichiro Suzuki.The Tokyo Subway Sarin Attack: Disaster Management，Part 1:Community Emergency Response[J]. Academic Emergency Medicine，1998(5)：613-617.

[6]Tetsu Okumura，Kouichiro Suzuki.The Tokyo Subway Sarin Attack: Disaster Management，Part 2: Hospital Response[J]. Academic Emergency Medicine，1998(5)：618-624.