協(xié)作比賽的組隊(duì)問題

孫夢(mèng)瑩

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

本文用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)一些實(shí)際情況中可能遇到的一些問題進(jìn)行解決：

隊(duì)員分組時(shí)以整體競(jìng)賽水平為首要考慮條件，并根據(jù)已得到的結(jié)論進(jìn)行分組。 再有如果學(xué)習(xí)成績(jī)的權(quán)重為0.2，智力水平權(quán)重為0.2，動(dòng)手能力的權(quán)重為0.2，寫作能力的權(quán)重為0.1，外語(yǔ)能力權(quán)重為0.1，協(xié)作能力權(quán)重為0.15，其它權(quán)重為0.05，則應(yīng)如何考慮？要是每個(gè)隊(duì)員在競(jìng)賽時(shí)，受某種原因干擾，在某一方面發(fā)揮不好，但在另一方面發(fā)揮很好，又應(yīng)如何考慮？

首先，利用MATLAB軟件，通過(guò)學(xué)習(xí)成績(jī)、智力水平等七個(gè)條件對(duì)20名隊(duì)員的成績(jī)進(jìn)行分析與計(jì)算得到每個(gè)隊(duì)員的影響力大小和每個(gè)準(zhǔn)則條件的影響力大小。然后，得到18名隊(duì)員的成績(jī)和權(quán)重值，在Excel表格中計(jì)算、比較每個(gè)隊(duì)員的偏差值進(jìn)行分組。得到每隊(duì)的競(jìng)賽水平，從而得出最高水平的參賽隊(duì)。根據(jù)已知的各個(gè)條件的權(quán)重值，利用MATLAB軟件，通過(guò)層次分析計(jì)算得到每個(gè)隊(duì)員的影響力大小。

2 基本假設(shè)

1.每名隊(duì)員均正常出賽，且實(shí)力不受其它因素的影響。

2.每名隊(duì)員的成績(jī)均能反映該隊(duì)員的綜合實(shí)力。

3 符號(hào)說(shuō)明

Ai……………i號(hào)隊(duì)員，i=1，2……20；

Bi……………第i個(gè)準(zhǔn)則條件，i=1，2………7；

wi…………第i號(hào)隊(duì)員單排序權(quán)重i=1，2……20；

ck……………第k號(hào)隊(duì)員超長(zhǎng)發(fā)揮時(shí)的成績(jī)；

sk…………………第k號(hào)隊(duì)員發(fā)揮不好時(shí)的成績(jī)；

xk…………………各個(gè)隊(duì)員正常發(fā)揮的成績(jī)(其中k=1-18)。

4 模型的建立與求解

首先，我們將影響因素轉(zhuǎn)化為數(shù)字格式，利用層次分析法：分為目標(biāo)層A，準(zhǔn)則層B，方案層C。如圖1所示。

利用MATLAB軟件得出每名隊(duì)員的單層次矩陣求出每個(gè)隊(duì)員的總排序權(quán)重值如下：

圖1

123456789100.12760.10960.13660.13550.13270.13390.13030.12900.12720.1101111213141516171819200.12400.12360.12110.11810.11770.11570.11330.11140.15150.1462

權(quán)重值的大小反映了每名隊(duì)員的綜合水平的高低：權(quán)重值越大，水平越高；權(quán)重值越小，水平越低。所以由以上數(shù)據(jù)可得出2號(hào)和10號(hào)被淘汰。然后對(duì)剩下的18個(gè)人進(jìn)行遞增排序。計(jì)算出18名隊(duì)員的權(quán)重平均值，以及每名隊(duì)員的權(quán)重值與權(quán)重平均值的差值，并以每隊(duì)的平均值與總平均值的差值的絕對(duì)值之和來(lái)表示各個(gè)組之間的水平程度，各個(gè)組的權(quán)重值及差值具體如下：

表2

根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息分組名單如下：

1隊(duì)：隊(duì)員1，4，19；

2隊(duì)：隊(duì)員3，8，18；

3隊(duì)：隊(duì)員5，15，16；

4隊(duì)：隊(duì)員6，12，13；

5隊(duì)：隊(duì)員7，9，20；

6隊(duì)：隊(duì)員11，14，17。

每隊(duì)差值的平均值如表3。

每隊(duì)競(jìng)賽水平如表4。

由表4可得出一隊(duì)水平最高。

如果學(xué)習(xí)成績(jī)的權(quán)重為0.2，智力水平的權(quán)重為0.2，動(dòng)手能力的權(quán)重為0.2，寫作能力的權(quán)重為

表4 競(jìng)賽水平

0.1，外語(yǔ)能力的權(quán)重為0.1，協(xié)作能力的權(quán)重為0.15，其他權(quán)重為0.05，則七個(gè)準(zhǔn)則構(gòu)成一個(gè)行矩陣m，再與準(zhǔn)則層中各學(xué)生的在個(gè)準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行乘法運(yùn)算。則為

m*[w1，w2，…..w20]

用MATLAB解得1—20號(hào)隊(duì)員的總權(quán)重值數(shù)據(jù)如表5：

表5

則可觀察出應(yīng)淘汰3號(hào)和5號(hào)。

如果每個(gè)隊(duì)員在競(jìng)賽時(shí)，受某種原因干擾，在某一方面發(fā)揮不好，但在另一方面發(fā)揮很好。給各位隊(duì)員重新編號(hào)為1～18，設(shè)其超長(zhǎng)發(fā)揮時(shí)的成績(jī)?yōu)閏i，發(fā)揮失常即發(fā)揮不好時(shí)的成績(jī)?yōu)閟i，各個(gè)隊(duì)員正常發(fā)揮的成績(jī)?yōu)閤i(其中i=1～18)，然后再用他們超長(zhǎng)和失常發(fā)揮的成績(jī)與正常發(fā)揮的成績(jī)做差再做差。即

f(xi)=(ci-xi)-(si-xi)

f(x)即為各隊(duì)員的浮動(dòng)偏差，記錄各隊(duì)員的浮動(dòng)偏差并進(jìn)行排序，比如進(jìn)行升序排序，按升序排序的順序均分成三隊(duì)，1隊(duì)，2隊(duì)，3隊(duì)。各隊(duì)再出一名隊(duì)員組成一隊(duì)共6組。各隊(duì)總浮動(dòng)偏差為三者之和，設(shè)某隊(duì)隊(duì)員為x1，x2，x3則隊(duì)浮動(dòng)偏差為：

d(xj)=f(x1)+f(x2)+f(x3)(j=1～6)

總偏差為：

min z(xj)=d(x1)+d(x2)+d(x3)+d(x4)

+d(x5)+d(x6)

使總偏差最小，即為合理組隊(duì)。

[1]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2003，10.

[2]楊啟帆.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2005，5.

[3]謝兆鴻，范正森，王艮遠(yuǎn).數(shù)學(xué)建模技術(shù)[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2003，9.