小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“循環(huán)論證”邏輯錯(cuò)誤案例及分析

陳曉燕

邏輯錯(cuò)誤是指思維過程中違反形式邏輯規(guī)律的要求和邏輯規(guī)則而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，如“偷換概念”、“偷換論題”、“自相矛盾”、“循環(huán)論證”等。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于部分教師邏輯學(xué)知識(shí)比較欠缺，教學(xué)中往往犯了典型邏輯錯(cuò)誤，自己卻毫無認(rèn)識(shí)。筆者曾就聽課過程中遇到的循環(huán)論證現(xiàn)象，與所有參與聽課的教師進(jìn)行探討，結(jié)果是：能發(fā)現(xiàn)執(zhí)教教師犯了循環(huán)論證謬誤的老師非常少。這不得不令人對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量甚感擔(dān)憂。

循環(huán)論證是指用來證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來證明的邏輯錯(cuò)誤，簡(jiǎn)單說，就是用假設(shè)證假設(shè)。本文通過兩個(gè)典型課例，探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中循環(huán)論證的不妥之處，期望引起廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視，教學(xué)中避免此類現(xiàn)象的發(fā)生。

課例一： 乘法分配律

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)算定律這一類課的教學(xué)一共有以下內(nèi)容：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律以及整數(shù)運(yùn)算定律推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)。

從教材編排（人教版）可以看出，這一類課教學(xué)的思路基本一致，即：情境引出具體算式——計(jì)算得出兩組算式結(jié)果相等——觀察算式，初步感知規(guī)律——學(xué)生自己舉例并分別計(jì)算——觀察所有算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律——表述規(guī)律——應(yīng)用規(guī)律。

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往在“計(jì)算得出兩組算式結(jié)果相等”以及“學(xué)生自己舉例并分別計(jì)算”兩個(gè)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤。下面以乘法分配律（圖1）為例具體說明。

一位教師的教學(xué)過程如下：

1. 通過情境，分別引出算式：（4+2）×25、 4×25+2×25

2. 分別計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果相等，板書（4+2）×25？塋 4×25+2×25

3. 引導(dǎo)學(xué)生觀察等號(hào)兩邊的算式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，初步感知乘法分配律的形式及結(jié)構(gòu)。

4. 學(xué)生自由舉例。

……

進(jìn)行到此環(huán)節(jié)，乘法分配律還沒有形成，要求學(xué)生舉例，無非是兩個(gè)目的：一是讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的含義及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式有更清楚的了解和認(rèn)識(shí)，以便下一環(huán)節(jié)學(xué)生能初步總結(jié)出乘法分配律的含義及正確表達(dá)；二是增加更多的實(shí)例，讓規(guī)律的得出更合理、更有說服力（至少對(duì)于學(xué)生而言更有說服力）。在此，需要特別說明一下，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律這類課（包括找規(guī)律、運(yùn)算律）的教學(xué)，所采用的基本都是不完全歸納法。所謂不完全歸納法，即以某類對(duì)象中個(gè)別的或特殊的部分對(duì)象具有（或不具有）某種屬性為前提，推出該類事物具有（或不具有）該屬性的一般結(jié)論的推理方法。在乘法分配律這一課中，（4+2）×25 = 4×25+2×25以及學(xué)生所舉的例子（算式）都是個(gè)別對(duì)象，一般結(jié)論是指（a+b）×c = a×c+b×c。由于不完全歸納法沒有窮舉考察對(duì)象的全體，因此它的結(jié)論屬于似真推理，嚴(yán)格來說，其結(jié)論的正確性需要進(jìn)一步證明。但是考慮小學(xué)階段學(xué)生的接受能力和認(rèn)知水平有限，教材并沒有作此要求。只是用不同形式表達(dá)了讓學(xué)生舉出更多實(shí)例的要求（圖2），因?yàn)檫\(yùn)用不完全歸納法時(shí)，一類對(duì)象被考察的個(gè)別對(duì)象越多，范圍越廣，結(jié)論的可靠性就越大。在乘法分配律一課中，教材沒有安排讓學(xué)生舉例，但是《教師教學(xué)用書》卻特別說明：學(xué)生完成“想一想”后，可以讓他們?cè)倥e出一些類似的例子。

回到剛才所說的讓學(xué)生舉例的環(huán)節(jié)，通過以上分析，我們應(yīng)該明白：讓學(xué)生舉例是為了得到更多的具體算式（個(gè)別對(duì)象），讓學(xué)生能從較多的算式中找到共同點(diǎn)（某種屬性），即乘法分配律。也就是說，在此環(huán)節(jié)，乘法分配律并沒有得出（還只是一個(gè)假設(shè)），更不能運(yùn)用。更具體地說，學(xué)生舉例的時(shí)候，思維順序應(yīng)該是：分別寫出（a+b）×c和a×c+b×c這樣結(jié)構(gòu)的兩道算式，然后通過計(jì)算，得出兩個(gè)算式結(jié)果相等，才能在兩道算式中間添上“=”；或者先寫上“=”，然后分別計(jì)算，確認(rèn)其結(jié)果相等，或者用其他方式說明其結(jié)果相等，例如：用乘法的意義。與此同時(shí)，教師在聽學(xué)生匯報(bào)并板書學(xué)生的例子時(shí)，也應(yīng)該按以上思維順序進(jìn)行。但是，在實(shí)際教學(xué)中，筆者多次聽這節(jié)課，多次都發(fā)現(xiàn)以下現(xiàn)象。

現(xiàn)象一：學(xué)生“用結(jié)論證結(jié)論”

舉例環(huán)節(jié)，部分學(xué)生所寫算式通常從左寫到右，如：（6+8）×9 = 6×9+8×9 ……。學(xué)生之所以這樣寫，說明他們已經(jīng)把“（a+b）×c = a×c+b×c”當(dāng)成正確的結(jié)論，即已經(jīng)默認(rèn)它是正確的，是可以運(yùn)用的。也就是說，學(xué)生這樣做，其實(shí)質(zhì)已不是舉例來進(jìn)一步證明結(jié)論，而是在運(yùn)用結(jié)論，已經(jīng)犯了循環(huán)論證的邏輯錯(cuò)誤。筆者每次聽這一類課，到此環(huán)節(jié)，一定會(huì)走到學(xué)生中去，了解學(xué)生最真實(shí)的思維過程，每次都會(huì)發(fā)現(xiàn)班上有部分孩子不計(jì)算，直接從左寫到右。

現(xiàn)象二：教師“默認(rèn)”“用結(jié)論證結(jié)論”

如果說，學(xué)生犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤是“情有可原”——想偷懶（不計(jì)算）、邏輯思維不成熟等。那么，教師會(huì)怎樣處理呢？部分教師是這樣處理的：

1. 選擇有代表性的例子，讓學(xué)生板書在黑板上（或?qū)W生說，教師板書）；

2. 學(xué)生從左至右依次板書（或教師按照學(xué)生說的過程從左至右依次板書）；

3. 觀察所有算式，找相同點(diǎn)；

4. 總結(jié)規(guī)律，形成結(jié)論。

不難看出，以上教學(xué)，教師默認(rèn)了學(xué)生的思維錯(cuò)誤。課后，本人找執(zhí)教教師訪談，或者與所有聽課教師交流，發(fā)現(xiàn)造成這一現(xiàn)象的原因主要有兩方面：一是教師自身根本沒有意識(shí)到邏輯錯(cuò)誤所在，即自身本體性知識(shí)的缺失；二是部分教師只重知識(shí)的教學(xué)，忽略思維方法的引導(dǎo)。部分教師表示，當(dāng)時(shí)感覺似乎有點(diǎn)不妥，但是急于想得出結(jié)論，也就沒太在意，一帶而過了。

也許以上教師沒有意識(shí)到：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的研究態(tài)度以及符合邏輯的思維方式，遠(yuǎn)比得到一個(gè)結(jié)論、記住一個(gè)知識(shí)點(diǎn)重要。不說長(zhǎng)遠(yuǎn)，僅就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，此類課占有一定課時(shí)數(shù)和學(xué)習(xí)量，其學(xué)習(xí)方式和思路也基本一致，因此，筆者建議：教師應(yīng)該在這一類課的起始課，即加法交換律的教學(xué)時(shí)，做好充分的研究和設(shè)計(jì)，注意思維方法和學(xué)習(xí)方式的滲透和培養(yǎng)，為學(xué)生學(xué)習(xí)這一類課打好基礎(chǔ)。

課例二：平行四邊形的面積

“平行四邊形的面積”一課的教學(xué)，通常都會(huì)安排數(shù)方格（圖3）環(huán)節(jié)。

數(shù)方格計(jì)算面積，其作用有以下幾點(diǎn)：一是可以直觀計(jì)量，且基于學(xué)生原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)（學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算時(shí)已經(jīng)使用過）；二是暗示了長(zhǎng)方形和平行四邊形兩者之間的聯(lián)系；三是通過數(shù)據(jù)，可以為學(xué)生猜想平行四邊形面積計(jì)算公式提供依據(jù)（或者為證明猜想提供例證）?；谝陨戏治觯覀兛梢灾?，數(shù)方格的教學(xué)，是為探索平行四邊面積計(jì)算公式所進(jìn)行的必要的鋪墊，但無論如何：此環(huán)節(jié)沒有得出公式，更不可能運(yùn)用公式。然而，聽課中，筆者多次在此環(huán)節(jié)遇到以下問題：

教師布置數(shù)方格任務(wù)，學(xué)生開始獨(dú)立或小組合作數(shù)方格，完成表格填寫。

此時(shí)，筆者觀察到：學(xué)生填寫表格時(shí)，通常只數(shù)“底（長(zhǎng)）”和“高（寬）”的數(shù)據(jù)，面積的數(shù)據(jù)則通過計(jì)算得出。以下是筆者和學(xué)生的對(duì)話：

筆者：××同學(xué)，平行四邊形的面積是24平方厘米，你怎么知道的？

生：算的，6×4=24。

筆者：為什么用6×4呢？

生：6是底，4是高，底乘高。

筆者：你認(rèn)為用底乘高就可以算出平行四邊形的面積？

生：嗯！

以上是學(xué)生在認(rèn)知上存在的思維邏輯。形成這種認(rèn)知有以下幾種情況：一是學(xué)生已經(jīng)先學(xué)，明確知道平行四邊形的面積計(jì)算公式是底乘高；二是受前面環(huán)節(jié)“猜想”的影響，把“猜想”當(dāng)成了結(jié)論；三是受長(zhǎng)方形面積計(jì)算的影響，直接進(jìn)行遷移！不管是哪種情況，在這里，學(xué)生始終沒有明白的思維邏輯是：平行四邊形的面積計(jì)算公式需要通過自我探索、證明才能形成結(jié)論。對(duì)于學(xué)生的這一思維邏輯，教師又是如何處理的呢？以下是匯報(bào)環(huán)節(jié)的教學(xué)片斷（學(xué)生數(shù)方格之后，教師組織匯報(bào)交流）：

師：誰來說說數(shù)的結(jié)果？

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底是6厘米，高是4厘米，面積是24平方厘米。

師：長(zhǎng)方形呢？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，面積是24平方厘米。

師：同學(xué)們，你們數(shù)的和他一樣嗎？

生：一樣。

師：對(duì)的，非常好！那你們觀察一下表格中的數(shù)據(jù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的面積等于底乘高。

……

很顯然，以上片段教師并沒有糾正學(xué)生的思維過程。那么，教學(xué)中該如何處理比較妥當(dāng)呢？筆者建議：一是學(xué)生匯報(bào)后，教師要強(qiáng)調(diào)并確認(rèn)面積是數(shù)出來的?？梢栽趯W(xué)生匯報(bào)的基礎(chǔ)上，問學(xué)生：大家都數(shù)了吧？我們一起數(shù)一數(shù)。然后帶著學(xué)生，通過課件演示，重?cái)?shù)一次。第二，糾正個(gè)別學(xué)生的邏輯錯(cuò)誤。利用課堂生成資源（如果怕傷害學(xué)生自尊，也可以虛擬一個(gè)人物），將采用計(jì)算得到面積的思維暴露給學(xué)生，讓學(xué)生自己辨析，在辨析中明確問題所在，最后得到正確思維方法。

以上兩個(gè)課例中提到的邏輯錯(cuò)誤，是筆者在多年聽課中經(jīng)常遇到的問題，期望通過以上分析，能讓教師建立正確的認(rèn)識(shí)，避免此類問題重復(fù)發(fā)生。在教學(xué)中，其他邏輯錯(cuò)誤同樣存在，如以偏概全、偷換概念等。在此，也呼吁教師多了解和學(xué)習(xí)邏輯學(xué)知識(shí)，提高自身素養(yǎng)，在教學(xué)中注意遵循教學(xué)的序、知識(shí)的序、思維的序，幫助學(xué)生建立正確的思維方式和邏輯結(jié)構(gòu)。

責(zé)任編輯 羅 峰