一個Lagrange中值定理問題的變形與推廣

摘要：掌握好Lagrange中值定理是學好微分中值定理的關鍵。通過一道題目的求解、變形和推廣，得到了新的結(jié)論，推廣了文獻中的結(jié)論，增加了中值定理問題的趣味性。

關鍵詞：介值定理；微分中值定理；Lagrange定理

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）10-0084-02

Roll定理、Lagrange定理和Cauchy定理三個微分中值定理是高等數(shù)學的重點和難點，而Roll定理是Lagrange定理的特例，Cauchy定理是Lagrange定理的變形推廣，因此，掌握好Lagrange中值定理是學好微分中值定理的關鍵。在全國大學生數(shù)學競賽和研究生入學考試中經(jīng)常會有微分中值定理的問題，這就需要深化微分中值定理問題的研究。本文討論了一類Lagrange中值定理問題的證明、變形和推廣。

一、問題原形[1]

設函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且有f（0）=0，f（1）=1，試證明：對任意的正數(shù)a，b，存在兩點ξ，η∈（0，1）使得■+■=a+b

二、問題求解

證法一 對任意的正數(shù)a，b，■∈（0，1）由連續(xù)函數(shù)的介值定理得存在x0∈（0，1）使得f（x0）=■

對函數(shù)f（x）在[0，x0]，[x0，1]上分別運用Lagrange中值定理，得存在兩點ξ∈（0，x0）？奐（0，1），η∈（x0，1）？奐（0，1）使得f'（ξ）x0=f（x0）-f（0）=■，①

f'（η）（1-x0）=f（1）-（x0）=■.②

①+②并整理得■+■=a+b

證法二 對任意的正數(shù)a，b，■∈（0，1）且1-■=■.對函數(shù)f（x）在[0，■]，[■，1]上分別運用Lagrange中值定理，得存在兩點ξ∈（0，■）？奐（0，1）

η∈（■，1）？奐（0，1），使得

f'（ξ）■=f（■）-f（0）， ①

f'（η）（1-■）=f（1）-f（■）. ②

①+②得af'（ξ）+bf'（η）=a+b

證法一顯然是對的，可是也不能判定證法二錯誤，雖然證法二沒得到要證明的結(jié)論，卻得到了另有意義的結(jié)論。因此原問題就可以變?yōu)椋?/p>

設函數(shù)f（）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且有f（0）=0，f（1）=1試證明：對任意的正數(shù)a，b，存在兩點ξ，η∈（0，1）使得

（1）■+■=a+b；（2）af'（ξ）+bf'（η）=a+b

三、問題推廣

（一）在原問題改變之后，若令λ1=■，λ2=■可得：

函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且有f（0）=0，f（1）=1試證明：對任意的正數(shù)λ1，λ2，λ1+λ2=1存在兩點 ξ，η∈（0，1），使得

（1）■+■=1；（2）λ1f'（ξ）+λ2f'（η）=1

在結(jié)論中，令λ1=λ2=■，得（1）■+■=2；

（2）f'（ξ）+f'（η）=2

其中（1）為文[2]的問題一的最終結(jié)果，（2）為問題二的結(jié)論。

（二）推廣

函數(shù)f（x）在[0，1]上單增連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且有f（0）=0，f（1）=1，試證明：對任意的正數(shù)λ1，λ2，L，λn，λ1+λ2+L+λ2=1存在ξ1，ξ2，L，ξn∈（0，1），使得

（1）■+■+L+■=1；

（2）λ1f'（ξ1）+λ2f'（ξ2）+L+λnf'（ξn）=1

證明 （1）任取0<τ1<τ2

f'（ξ1）x1=f（x1）-f（0）=τ1，

f'（ξ2）（x2-x1）=f（x2）-f（x1）=τ2-τ1，

…….

f'（ξn）（1-xn-1）=f（1）-f（xn-1）=1-τn-1

上述式子相加得■+■+L+■+■=1

令λ1=τ1，λ2=τ2-τ1，λn-1=τn-1-τn-2，λn=1-τn-1，則λ1，λ2，L，λn，均為任意正數(shù)且λ1+λ2+L+λn=1.上式變?yōu)?■+■+L+■=1

得證。

（2）的證明結(jié)合證法二和上述過程可得，略去。

當λ1=λ2=L=λ2=■時，（1）變?yōu)椤?■+L+■=n即為文[2]的第一主要結(jié)果；（2）變?yōu)閒'（ξ1）+f'（ξ2）+L+f'（ξn）即為文[2]的第二主要結(jié)果。

四、結(jié)論

通過一個問題的變形和求解，得到了不同的解答，使得Lagrange中值定理問題變得生動有趣，推廣了文獻中的結(jié)果。

參考文獻：

[1]吳贛昌.高等數(shù)學[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

[2]野金花，徐艷，杜文賀.關于一類Lagrange中值定理問題的推廣[J].黑龍江八一農(nóng)墾大學學報，2011，（12）：69-70.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內(nèi)訪問學者項目經(jīng)費資助？搖濱州學院教學研究項目——BYJYYB201121。

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，講師，碩士，研究方向：數(shù)學教育和微分方程。