淺談有限差分法在求梁變形時的應(yīng)用

田來社

摘要：本文運(yùn)用數(shù)學(xué)中有限差分的方法，對梁變形的求解進(jìn)行了嚴(yán)密、系統(tǒng)的分析。利用泰勒級數(shù)，結(jié)合梁撓曲線方程，建立了梁變形差分的一般計算公式。通過具體實(shí)例，驗(yàn)證了有限差分法精確度能滿足工程上的要求。

關(guān)鍵詞：差分法；變形；精確度

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在實(shí)際工程中，會看到各種形式的建筑結(jié)構(gòu)，其中梁是建筑結(jié)構(gòu)中的主要構(gòu)建之一。由于建筑物都要承受載荷的作用以及自身受重力作用，建筑結(jié)構(gòu)中的梁一般情況下就會發(fā)生彎曲變形。如何求梁變形的大小，在實(shí)際當(dāng)中有許多計算的方法，但最基本的方法是積分法。對于有些載荷復(fù)雜且是變截面桿的梁，用積分法求解梁的變形十分麻煩且工作量較大。下面給大家介紹一種新方法—有限差分法求梁變形。

二、有限差分法

有限差分法是一種數(shù)值計算方法。現(xiàn)介紹有限中心差分內(nèi)容如下：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0

一階中心差分Δy■=yi+1-yi，

二階中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁變形差分法公式

設(shè)y=f（x）代表圖1所示光滑連續(xù)函數(shù)的曲線，同時也可以將其比擬為梁變形的撓曲線。取橫坐標(biāo)xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各點(diǎn)，為方便計算取各相鄰點(diǎn)間距均等于h。各點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值依次為yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xi附近以泰勒級數(shù)的形式展開，忽略三階以上的高階微量，其表達(dá)式為

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分別將x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考慮到相鄰點(diǎn)為等距h就會得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

將上式y(tǒng)'（xi）與yn（xi）視為未知量，解方程組（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分別是函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，它是y=f（x）在xi點(diǎn)處y'（xi）與yn（xi）的近似表達(dá)式。由高等數(shù)學(xué)知道，h取值越小，計算的精度就會越準(zhǔn)確。

由材料力學(xué)知識可知，梁變形的撓曲線近似微分方程為：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁變形差分的一般計算公式。其中M，EIi分別指x=xi處梁的彎矩與抗彎度。

對于梁彎曲變形的撓曲線，若在梁的軸線上等份地選取一些點(diǎn)，分別代入（5）式，得到一組有限差分方程組，它是一組代數(shù)方程。解方程組便可求得梁上選定各點(diǎn)的撓度。

四、有限差分法的應(yīng)用

下面舉例說明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)圖2所示的梁為變截面簡支梁。試求該梁中點(diǎn)的撓度。已知梁跨長為l截面慣性矩是I，載荷P作用在梁的中間。

解：先把梁分成六個相等的間隔，則h=■，利用梁的對稱性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

對于點(diǎn)1：M1=■，抗彎剛度為EI；

對于點(diǎn)2：M2=■，抗彎剛度為2EI；

對于點(diǎn)3：M3=■，抗彎剛度為2EI。

將點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3、的彎矩和抗彎剛度分別代入式（5）并注意到y(tǒng)2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程組可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中點(diǎn)的撓度y3=-■，該值也是代表全梁中最大的變形。

五、校驗(yàn)誤差

依據(jù)材料力學(xué)梁的變形知識，通過精確計算，該簡支梁發(fā)生的實(shí)際最大變形為

yc=-■

將yc與y3的值進(jìn)行比較，其相對誤差如下：

■=■=■=3.4%

通過以上計算，可以知道相對誤差沒有超過工程上規(guī)定的5%

綜上所述：在求解梁變形時，如果對精度要求不高，采用差分法可以取得較為滿意的效果。

摘要：本文運(yùn)用數(shù)學(xué)中有限差分的方法，對梁變形的求解進(jìn)行了嚴(yán)密、系統(tǒng)的分析。利用泰勒級數(shù)，結(jié)合梁撓曲線方程，建立了梁變形差分的一般計算公式。通過具體實(shí)例，驗(yàn)證了有限差分法精確度能滿足工程上的要求。

關(guān)鍵詞：差分法；變形；精確度

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在實(shí)際工程中，會看到各種形式的建筑結(jié)構(gòu)，其中梁是建筑結(jié)構(gòu)中的主要構(gòu)建之一。由于建筑物都要承受載荷的作用以及自身受重力作用，建筑結(jié)構(gòu)中的梁一般情況下就會發(fā)生彎曲變形。如何求梁變形的大小，在實(shí)際當(dāng)中有許多計算的方法，但最基本的方法是積分法。對于有些載荷復(fù)雜且是變截面桿的梁，用積分法求解梁的變形十分麻煩且工作量較大。下面給大家介紹一種新方法—有限差分法求梁變形。

二、有限差分法

有限差分法是一種數(shù)值計算方法?，F(xiàn)介紹有限中心差分內(nèi)容如下：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0

一階中心差分Δy■=yi+1-yi，

二階中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁變形差分法公式

設(shè)y=f（x）代表圖1所示光滑連續(xù)函數(shù)的曲線，同時也可以將其比擬為梁變形的撓曲線。取橫坐標(biāo)xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各點(diǎn)，為方便計算取各相鄰點(diǎn)間距均等于h。各點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值依次為yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xi附近以泰勒級數(shù)的形式展開，忽略三階以上的高階微量，其表達(dá)式為

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分別將x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考慮到相鄰點(diǎn)為等距h就會得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

將上式y(tǒng)'（xi）與yn（xi）視為未知量，解方程組（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分別是函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，它是y=f（x）在xi點(diǎn)處y'（xi）與yn（xi）的近似表達(dá)式。由高等數(shù)學(xué)知道，h取值越小，計算的精度就會越準(zhǔn)確。

由材料力學(xué)知識可知，梁變形的撓曲線近似微分方程為：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁變形差分的一般計算公式。其中M，EIi分別指x=xi處梁的彎矩與抗彎度。

對于梁彎曲變形的撓曲線，若在梁的軸線上等份地選取一些點(diǎn)，分別代入（5）式，得到一組有限差分方程組，它是一組代數(shù)方程。解方程組便可求得梁上選定各點(diǎn)的撓度。

四、有限差分法的應(yīng)用

下面舉例說明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)圖2所示的梁為變截面簡支梁。試求該梁中點(diǎn)的撓度。已知梁跨長為l截面慣性矩是I，載荷P作用在梁的中間。

解：先把梁分成六個相等的間隔，則h=■，利用梁的對稱性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

對于點(diǎn)1：M1=■，抗彎剛度為EI；

對于點(diǎn)2：M2=■，抗彎剛度為2EI；

對于點(diǎn)3：M3=■，抗彎剛度為2EI。

將點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3、的彎矩和抗彎剛度分別代入式（5）并注意到y(tǒng)2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程組可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中點(diǎn)的撓度y3=-■，該值也是代表全梁中最大的變形。

五、校驗(yàn)誤差

依據(jù)材料力學(xué)梁的變形知識，通過精確計算，該簡支梁發(fā)生的實(shí)際最大變形為

yc=-■

將yc與y3的值進(jìn)行比較，其相對誤差如下：

■=■=■=3.4%

通過以上計算，可以知道相對誤差沒有超過工程上規(guī)定的5%

綜上所述：在求解梁變形時，如果對精度要求不高，采用差分法可以取得較為滿意的效果。

摘要：本文運(yùn)用數(shù)學(xué)中有限差分的方法，對梁變形的求解進(jìn)行了嚴(yán)密、系統(tǒng)的分析。利用泰勒級數(shù)，結(jié)合梁撓曲線方程，建立了梁變形差分的一般計算公式。通過具體實(shí)例，驗(yàn)證了有限差分法精確度能滿足工程上的要求。

關(guān)鍵詞：差分法；變形；精確度

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在實(shí)際工程中，會看到各種形式的建筑結(jié)構(gòu)，其中梁是建筑結(jié)構(gòu)中的主要構(gòu)建之一。由于建筑物都要承受載荷的作用以及自身受重力作用，建筑結(jié)構(gòu)中的梁一般情況下就會發(fā)生彎曲變形。如何求梁變形的大小，在實(shí)際當(dāng)中有許多計算的方法，但最基本的方法是積分法。對于有些載荷復(fù)雜且是變截面桿的梁，用積分法求解梁的變形十分麻煩且工作量較大。下面給大家介紹一種新方法—有限差分法求梁變形。

二、有限差分法

有限差分法是一種數(shù)值計算方法?，F(xiàn)介紹有限中心差分內(nèi)容如下：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0

一階中心差分Δy■=yi+1-yi，

二階中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁變形差分法公式

設(shè)y=f（x）代表圖1所示光滑連續(xù)函數(shù)的曲線，同時也可以將其比擬為梁變形的撓曲線。取橫坐標(biāo)xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各點(diǎn)，為方便計算取各相鄰點(diǎn)間距均等于h。各點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值依次為yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xi附近以泰勒級數(shù)的形式展開，忽略三階以上的高階微量，其表達(dá)式為

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分別將x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考慮到相鄰點(diǎn)為等距h就會得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

將上式y(tǒng)'（xi）與yn（xi）視為未知量，解方程組（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分別是函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，它是y=f（x）在xi點(diǎn)處y'（xi）與yn（xi）的近似表達(dá)式。由高等數(shù)學(xué)知道，h取值越小，計算的精度就會越準(zhǔn)確。

由材料力學(xué)知識可知，梁變形的撓曲線近似微分方程為：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁變形差分的一般計算公式。其中M，EIi分別指x=xi處梁的彎矩與抗彎度。

對于梁彎曲變形的撓曲線，若在梁的軸線上等份地選取一些點(diǎn)，分別代入（5）式，得到一組有限差分方程組，它是一組代數(shù)方程。解方程組便可求得梁上選定各點(diǎn)的撓度。

四、有限差分法的應(yīng)用

下面舉例說明有限差分法的應(yīng)用。設(shè)圖2所示的梁為變截面簡支梁。試求該梁中點(diǎn)的撓度。已知梁跨長為l截面慣性矩是I，載荷P作用在梁的中間。

解：先把梁分成六個相等的間隔，則h=■，利用梁的對稱性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

對于點(diǎn)1：M1=■，抗彎剛度為EI；

對于點(diǎn)2：M2=■，抗彎剛度為2EI；

對于點(diǎn)3：M3=■，抗彎剛度為2EI。

將點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3、的彎矩和抗彎剛度分別代入式（5）并注意到y(tǒng)2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程組可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中點(diǎn)的撓度y3=-■，該值也是代表全梁中最大的變形。

五、校驗(yàn)誤差

依據(jù)材料力學(xué)梁的變形知識，通過精確計算，該簡支梁發(fā)生的實(shí)際最大變形為

yc=-■

將yc與y3的值進(jìn)行比較，其相對誤差如下：

■=■=■=3.4%

通過以上計算，可以知道相對誤差沒有超過工程上規(guī)定的5%

綜上所述：在求解梁變形時，如果對精度要求不高，采用差分法可以取得較為滿意的效果。