一類線性雙曲型偏微分方程的有限差分格式求解

劉付軍，龔 東，王高放

(河南工程學院 理學院，河南 鄭州451191)

有限差分法是求解微分方程的一種有效的數(shù)值解法．對于線性雙曲型偏微分方程，已建立了一些典型差分格式，如顯式、隱式和緊差分格式等［1-4］．文獻［5］利用差分格式對二階常微分方程進行了求解．文獻［6］利用一種加權平均格式對一階雙曲型偏微分方程進行了數(shù)值分析．雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現(xiàn)象的一類重要的偏微分方程，在實際問題中有著廣泛的應用［7］．針對二階常系數(shù)線性雙曲型偏微分方程建立了兩種差分格式并對這兩種差分格式進行加權平均，求出加權平均值，建立了一個新的差分格式，驗證了該差分格式解的存在性、收斂性和穩(wěn)定性．

1 差分格式的建立

考慮二階雙曲型問題

區(qū)域記作Ω={(x，t)|0≤x≤1，0＜t≤T}．

對區(qū)域Ω進行剖分．記xi=ih，0≤i≤m;tk=kτ，0≤k≤n．其中，h=1/m，τ=T/n．記Ωh={xi|0≤i≤m}，Ωτ={tk|0≤k≤n}，Ωhτ=Ωh×Ωτ．稱在t=tk上的節(jié)點{(xi，tk)|0≤i≤m}為第k層節(jié)點．定義Ωhτ上的網(wǎng)格函數(shù)用來表示，其中．此外，記，0≤i≤m，0≤k≤n．

1．1 顯式差分格式

在節(jié)點(xi，tk)上考慮定解問題(1)，有

將u(xi-1，tk)和u(xi+1，tk)分別在節(jié)點(xi，tk)處進行Taylor展開，得到

其中，xi-1＜ζik＜xi+1．將u(xi，tk-1)和u(xi，tk+1)分別在節(jié)點(xi，tk)處進行Taylor展開，得到

其中，tk-1＜ηik＜tk+1．將式(3)和式(4)代入式(2)得到

針對問題(1)，建立如下近似差分格式:

該格式稱為3層5點顯式差分格式．

1．2 隱式差分格式

將u(xi，tk-1)和u(xi，tk+1)分別在節(jié)點(xi，tk)處進行Taylor展開，得

將式(7)和式(8)代入到式(2)中，可得如下近似差分格式:

該格式稱為3層5點的隱式差分格式．

1．3 加權平均差分格式

對顯格式(6)和隱格式(9)進行加權平均，加權平均數(shù)用θ表示，得到

其截斷誤差記為

將式(11)至式(14)代入式(10)，可得

該格式稱為一種新的加權平均差分格式．

2 加權平均差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性

首先，得到該加權平均差分格式解的存在性．

定理1 加權平均差分格式(17)的解是存在唯一的．

下面給出該加權平均差分格式解的收斂性和穩(wěn)定性．

定理2 加權平均差分格式(17)的解是收斂的．

證明 設{u(x，t)|0≤x≤1，0≤t≤T}是定解問題(1)的解是差分格式(17)的解．記，0≤i≤m，0≤k≤n，則由式(16)可知，當h，τ→0時，誤差e(h3+τ3)→0，差分格式(17)的解收斂到定解問題的精確解，則差分格式(17)與相應的微分方程(1)相容，故該差分格式是收斂的且差分格式具有三階精度．

定理3 加權平均差分格式(17)的解是穩(wěn)定的．

證明 Lax定理指出，對于一個適當提出的線性微分方程初值問題以及它的一個滿足相容性條件的差分逼近，收斂性的充分必要條件是穩(wěn)定性．

根據(jù)前面已經(jīng)證明了的差分格式(17)的相容性和收斂性，由Lax定理即可得差分格式(17)的穩(wěn)定性．

3 數(shù)值算例

應用新的加權平均差分格式(17)計算如下定解問題:

該定解問題的精確解為u(x，t)=ex+t．

下面給出了當步長h=1/10，τ=1/20(即步長比r=1/2)時，計算得到的部分數(shù)值結(jié)果，如表1所示．

表1 數(shù)值解與精確解的比較Tab．1 Comparison of the numerical solution and the exact solution

由表1可以看出，精確解與數(shù)值解的誤差控制在量級范圍之內(nèi)，且當h，τ→0時，所得的結(jié)果越接近精確解．

［1］ 李立康．微分方程數(shù)值解法［M］．上海:復旦大學出版社，2003．

［2］ 孫志忠．偏微分方程數(shù)值解法［M］．北京:科學出版社，2012．

［3］ 胡建偉，湯懷民．微分方程數(shù)值方法［M］．北京:科學出版社，2007．

［4］ 李勝坤，馮民富，李珊．Benjamin-Bona-Mahony方程的有限差分近似解［J］．四川師范大學學報:自然科學版，2003，26(4):363-365．

［5］ 張守貴．用差分法求解二階常微分方程初值問題［J］．重慶理工大學學報:自然科學版，2012，26(8):110-112．

［6］ 楊韌．求解一階線性雙曲型偏微分方程組的一個差分格式［J］．四川師范大學學報:自然科學版，2009，32(5):614-617．

［7］ 谷超豪，李大潛，陳恕行，等．數(shù)學物理方程［M］．北京:高等教育出版社，2002．