負(fù)相依索賠條件下關(guān)于復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型的精細(xì)大偏差

宋 立 新， 馮 敬 海， 袁 亮 亮*， 石 新 勇,2

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.中國人民解放軍68048部隊(duì)， 陜西 寶雞 721013 )

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應(yīng)用數(shù)學(xué)

負(fù)相依索賠條件下關(guān)于復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型的精細(xì)大偏差

宋 立 新1， 馮 敬 海1， 袁 亮 亮*1， 石 新 勇1,2

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.中國人民解放軍68048部隊(duì)， 陜西 寶雞 721013 )

研究不獨(dú)立、不同分布的精細(xì)大偏差問題，其中假設(shè){Xn，n≥1}是一列負(fù)相依的隨機(jī)變量序列，{Fn，n≥1}為其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)列．在滿足一定的條件下，重點(diǎn)解決非隨機(jī)和的精細(xì)大偏差的下限問題，得到相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)和的一致漸近結(jié)論，并將所得結(jié)論應(yīng)用到更為實(shí)際的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，驗(yàn)證了其理論與實(shí)際價(jià)值．

精細(xì)大偏差；負(fù)相依；隨機(jī)和；復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型

0 引 言

在精細(xì)大偏差的相關(guān)理論研究中，有較多的研究都只關(guān)注{Xn，n≥1}是獨(dú)立同分布時(shí)的情形，經(jīng)典的理論成果可見文獻(xiàn)[1-4]．而目前，多數(shù)研究都聚集在變量間的相互關(guān)系以及相關(guān)重尾子族的擴(kuò)張上，如文獻(xiàn)[5-8]．文獻(xiàn)[9]研究了獨(dú)立不同分布情形下的隨機(jī)變量和的精細(xì)大偏差．文獻(xiàn)[10-11]研究了構(gòu)造{N(t)，t≥0}的隨機(jī)變量在相依情形下的精細(xì)大偏差．在這一過程中，陸續(xù)有人將精細(xì)大偏差的結(jié)論應(yīng)用于普通的風(fēng)險(xiǎn)模型中，如文獻(xiàn)[12]．而本文研究的則是負(fù)相依不同分布隨機(jī)變量和的精細(xì)大偏差，并將其應(yīng)用到改進(jìn)后的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型中．

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 兩個(gè)重要的重尾子族

或等價(jià)地有

記

和

和

在文獻(xiàn)[13]中，γF和μF分別稱作F的上、下Matuszewska 指標(biāo)．

1.2 負(fù)相依隨機(jī)變量序列

定義1稱隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}

(1)下負(fù)象限相依(LND)，若對(duì)每一個(gè)n(n≥1)和所有的x1，…，xn，都有

(1)

(2)上負(fù)象限相依(UND)，若對(duì)每一個(gè)n(n≥1)和所有的x1，…，xn，都有

(2)

(3)負(fù)相依(ND)，若式(1)和式(2)對(duì)每一個(gè)n(n≥1)和所有的x1，…，xn同時(shí)成立．

當(dāng)n=2時(shí)，LND、UND和ND等價(jià)．關(guān)于其對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)應(yīng)用可見文獻(xiàn)[5]．

下面給出LND(或UND)隨機(jī)變量的幾個(gè)性質(zhì)，具體的推導(dǎo)過程可見文獻(xiàn)[14]．

性質(zhì)1對(duì)隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}和實(shí)值函數(shù){fk，k≥1}，

(1)若{Xk，k≥1}是LND(或UND)的，且{fk，k≥1}均為單調(diào)遞增的，則{fk(Xk)，k=1，2，…}都為LND(或UND)的．

(2)若{Xk，k≥1}是LND(或UND)的，且{fk，k≥1}均為單調(diào)遞減的，則{fk(Xk)，k=1，2，…}都為UND(或LND)的．

(3)若{Xk，k≥1}是ND的，且{fk，k≥1}同為遞增或同為遞減的，則{fk(Xk)，k=1，2，…}仍為ND的．

(4)若{Xk，k≥1}是非負(fù)且為UND的，則對(duì)每一個(gè)n=1，2，…，都有

1.3 相關(guān)命題

事實(shí)上，命題1是文獻(xiàn)[5]中引理2.3的一個(gè)修改及補(bǔ)充．下面僅給出幾處關(guān)鍵的修改．

(3)將文獻(xiàn)[5]中的C替換為

命題1在推導(dǎo)定理1中非隨機(jī)和的下限時(shí)，將發(fā)揮重大作用．

1.4 相關(guān)引理

下面給出幾個(gè)重要的引理，它們都是以往精細(xì)大偏差理論中的經(jīng)典結(jié)論．

引理3假設(shè){Yn，n≥1}是一列獨(dú)立同分布(independent identical distribution,i.i.d.)的隨機(jī)變量序列，有共同的均值E(Y1)=1/λ，并且構(gòu)成了一個(gè)更新計(jì)數(shù)過程{N(t)，t≥0}，則對(duì)任意的正數(shù)δ和m，有

成立．

關(guān)于引理1和引理2的細(xì)節(jié)可見文獻(xiàn)[6]，關(guān)于引理3的細(xì)節(jié)可見文獻(xiàn)[2]．

2 主要結(jié)論

(1){Fn，n≥1}和F滿足對(duì)所有x≥X0和某個(gè)X0>0一致地有

且

則對(duì)任意固定的γ>0，當(dāng)x≥γn時(shí)，一致地有

其中

證明首先，估計(jì)下界．對(duì)任意的λ>1，

(3)

(4)

下面估計(jì)式(3)中的第2項(xiàng)，對(duì)所有充分大的x(x≥X0)，有

由性質(zhì)1中的(2)、(3)知，隨機(jī)變量序列{μk-Xk，k≥1}為UND的．因此，對(duì)任意固定的γ>0和p>γF，由命題1知，存在正數(shù)υ0和與x、n無關(guān)的C1，對(duì)所有x≥γn和所有充分大的n，一致地有

由于{Xn，n≥1}為非負(fù)隨機(jī)變量序列，結(jié)合引理1可得

(5)

將式(4)和式(5)代入式(3)，可得

令δ1↓0，可得

(6)

由于F∈C且λ>1是任意的，可得

(7)

下面開始估計(jì)上界．對(duì)任意的θ∈(0，1)，定義

采用截?cái)喙烙?jì)的方法，可得

(8)

將式(4)代入式(8)中，對(duì)任意的δ2>0，有

(9)

(10)

這里，在第2個(gè)不等式中使用了ND隨機(jī)變量的性質(zhì)1中的(4)，h的值將在后續(xù)證明中給出．下面先將式(10)中的最后一項(xiàng)分為兩項(xiàng)，由不等式expx-1≤xexpx對(duì)所有的x均成立，可得對(duì)每一個(gè)k≥1，有

(11)

將式(11)代入式(10)中，對(duì)所有充分大的n及任意的δ3，δ4>0，可得

(12)

這里運(yùn)用了定理1中的假設(shè)和引理2中的結(jié)論．在式(12)中取h=(a-2ρloga)/θx，對(duì)所有足夠大的n和任意的δ5>0，可得

(13)

令δ2↓0，δ3↓0，δ4↓0，δ5↓0，聯(lián)合式(9)和式(13)，可得

由F∈C和θ∈(0，1)的任意性，可得

(14)

最后，聯(lián)合式(7)和式(14)即可得出定理1中的結(jié)論．

定理2若{Xn，n≥1}和X滿足定理1中的條件，且假設(shè){N(t)，t≥0}是一個(gè)獨(dú)立于{Xn，n≥1}的非負(fù)整值過程，當(dāng)t→∞時(shí)，E(N(t))=λ(t)→∞．該過程滿足假設(shè)Ⅰ：對(duì)任意固定的δ>0和某一個(gè)p>γF，E(Np(t))I{N(t)>(1+δ)λ(t)}=O(λ(t)),則對(duì)任意固定的γ>0，當(dāng)t→∞時(shí)，對(duì)所有的x≥γλ(t)一致地有

運(yùn)用定理1中的結(jié)論，并采用文獻(xiàn)[12]中定理3．2的證明方法，結(jié)合ND隨機(jī)變量的性質(zhì)1中的(3)，即可得到此結(jié)論．故此不再給出具體的證明．

3 應(yīng) 用

本章將把定理2的結(jié)論應(yīng)用到更為一般的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，并給出相應(yīng)的結(jié)論．關(guān)于一般的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型可見文獻(xiàn)[2]，下面給出改進(jìn)后的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型．

(1)索賠額序列{Xn，n≥1}為非負(fù)ND的，具有分布函數(shù)列{Fn，n≥1}和有限的均值向量

μ=(E(X1)E(X2) …E(Xn) …)

(3)由第n次事故所引發(fā)的索賠次數(shù)是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量Zn，并且假定{Zn，n≥1}是獨(dú)立同分布的具有共同的分布函數(shù)G，獨(dú)立于{Xn，n≥1}和{Yn，n≥1}．

使用定理2的結(jié)論，可得到如下結(jié)論：

在上述復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型中，若G∈C，γF<μG，且滿足定理1中的條件(1)和條件(2)，則復(fù)合更新過程{N′(t)，t≥0}滿足定理2中的假設(shè)Ⅰ且對(duì)任意固定的γ>E(Z)，當(dāng)t→∞時(shí)，對(duì)任意的x≥γλ′(t)一致地有

E(τp(t))I{τ(t)>(1+δ)E(τ(t))}=O(τ(t))

由于{Zn，n≥1}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且其分布函數(shù)G∈C，很容易驗(yàn)證它滿足定理1中的條件(1)和條件(2)．由定理2，對(duì)所有的x≥γE(τ(t))和任意固定的γ>E(Z)，一致地有

(15)

由于γF<μG，選擇適當(dāng)?shù)膒使得γF0，有

(16)

取充分小的ε>0，使得γF0，有

(17)

這里，在第2個(gè)不等式中利用了式(15)，在最后一個(gè)不等式中利用了命題2．同樣，對(duì)任意的δ7>0，有A2≤(1+δ7)(

(18)

上式中的M1和M2是與k無關(guān)的非負(fù)常數(shù)．將式(17)和式(18)代入式(16)中，可得N′(t)滿足定理2中的假設(shè)Ⅰ．由定理2即可得出該結(jié)論．

4 結(jié) 語

本文對(duì)不獨(dú)立不同分布情形下的精細(xì)大偏差做了細(xì)致的研究．考慮到精細(xì)大偏差理論的發(fā)展前沿，本文在前人的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)解決了不獨(dú)立不同分布時(shí)精細(xì)大偏差的下限問題，并建立了與以往不同的更為一般、貼近實(shí)際的復(fù)合更新風(fēng)險(xiǎn)模型．最后，將所得到的精細(xì)大偏差結(jié)論應(yīng)用到該模型中，具有一定的理論與實(shí)際價(jià)值．

[1] Klüppelberg C, Mikosch T. Large deviations of heavy-tailed random sums with applications in insurance and finance [J].JournalofAppliedProbability, 1997,34(2):293-308.

[2] TANG Qi-he, SU Chun, JIANG Tao,etal. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model [J].Statistics&ProbabilityLetters, 2001,52(1):91-100.

[4] 馮敬海,宋立新,包瑩瑩. 一致變化尾的隨機(jī)和局部精確大偏差[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2014,54(4):482-486.

FENG Jing-hai, SONG Li-xin, BAO Ying-ying. Local precise large deviations for random sums with consistently varying tail [J].JournalofDalianUniversityofTechnology, 2014,54(4):482-486. (in Chinese)

[5] TANG Qi-he. Insensitivity to negative dependence of the asymptotic behavior of precise large deviations [J].ElectronicJournalofProbability, 2006,11(4):107-120.

[6] Ng K W, TANG Qi-he, YAN Jia-an,etal. Precise large deviations for sums of random variables with consistently varying tails [J].JournalofAppliedProbability, 2004,41(1):93-107.

[7] TANG Qi-he. Insensitivity to negative dependence of asymptotic tail probabilities of sums and maxima of sums [J].StochasticAnalysisandApplication, 2008,26(3):435-450.

[8] HE Wei, CHENG Dong-ya, WANG Yue-bao. Asymptotic lower bounds of precise large deviations with nonnegative and dependent random variables [J].Statistics&ProbabilityLetters, 2013,83(1):331-338.

[9] LU Da-wei, SONG Li-xin, XU Ying. Precise large deviations for sums of independent random variables with consistently varying tails [J].CommunicationsinStatistics-TheoryandMethods, 2014,43(1):28-43.[10] CHEN Yu, ZHANG Wei-ping. Large deviations for random sums of negatively dependent random variables with consistently varying tails [J].Statistics&ProbabilityLetters, 2007,77(5):530-538.

[11] Kass R, TANG Qi-he. A large deviation result for aggregate claims with dependent claim occurrences [J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2005,36(3):251-259.

[12] WANG Shi-jie, WANG Wen-sheng. Precise large deviations for sums of random variables with consistently varying tails in multi-risk models [J].JournalofAppliedProbability, 2007,44(4):889-900.

[13] Bingham N H, Goldie C M, Teugels J L.RegularVariation[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1987.

[14] Block H W, Savits T H, Shaked M. Some concepts of negative dependence [J].TheAnnalsofProbability, 1982,10(3):765-772.

Preciselargedeviationsforcompoundrenewalriskmodelwithnegativedependenceclaims

SONG Li-xin1, FENG Jing-hai1, YUAN Liang-liang*1, SHI Xin-yong1,2

( 1.School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.Troops 68048, The Chinese People′s Liberation Army, Baoji 721013, China )

The precise large deviations of non-independent and non-identical distributions are investigated, where {Xn,n≥1} is a sequence of negative dependence random variables with distribution functions {Fn,n≥1}. Under certain conditions, the lower bound of the precise large deviations for the non-random sums is solved, and the uniformly asymptotic results for the corresponding random sums are obtained. The research results are applied to the more practical compound renewal risk model, and the theoretical and practical values are verified.

precise large deviations; negative dependence; random sums; compound renewal risk model

1000-8608(2014)06-0696-06

2014-05-13；

: 2014-07-22．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101061,11371077,61175041).

宋立新(1966-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:lxsong@163.com；袁亮亮*(1989-)，男，碩士生，E-mail:llyuan_dlut@163.com.

O211.4

：Adoi:10.7511/dllgxb201406015