SH波在界面孔上散射的遠(yuǎn)場解

陳志剛

(1.暨南大學(xué) 力學(xué)與土木工程系，廣州 510632；2.暨南大學(xué) 重大工程災(zāi)害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632)

界面缺陷對彈性波散射的研究與許多工程實際問題密切相關(guān)，因此多年來一直倍受國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注[1-7]。對于界面非裂紋型缺陷，劉殿魁等[3]首先用Green法求解了兩種介質(zhì)交界面上圓孔對SH波的散射，此后劉殿魁等[4-6]進(jìn)一步研究了界面多圓孔、界面夾雜和界面襯砌對SH波的散射問題。何鐘怡等[7]則應(yīng)用波函數(shù)展開法求解了界面孔對SH波的繞射問題。但以上的研究均著眼于界面孔附近動應(yīng)力集中現(xiàn)象，對界面孔遠(yuǎn)場特性的關(guān)注很少，而已有關(guān)于遠(yuǎn)場特性的研究成果都是針對界面圓形缺陷的[8-10]。彈性波在界面孔附近產(chǎn)生的散射波場既能夠引起局部的應(yīng)力集中現(xiàn)象，同時也攜帶有孔洞的形狀、尺寸和位置等特征信息。由于彈性波散射場的遠(yuǎn)場信息中也可以提取出缺陷自身的一些特征信息，對于材料和工程結(jié)構(gòu)的無損檢測有重要的意義，是反問題研究中的基本課題之一。本文將研究SH波在兩種介質(zhì)交界面處的非圓形孔洞上散射的遠(yuǎn)場解，考察不同形狀的界面孔對波散射的遠(yuǎn)場特性的影響。

1 計算模型

在彈性介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ的界面處，存在有邊界為S的任意形狀的孔洞，直線L為兩種介質(zhì)的交界，介質(zhì)Ⅰ的剪切模量為μ1，密度為ρ1，介質(zhì)Ⅱ的剪切模量為μ2，密度為ρ2，界面上任意形孔洞的SH波散射模型如圖1所示，圖中r和θ為復(fù)平面z(xoy坐標(biāo)系)上的極坐標(biāo)。

圖1 SH波入射界面孔模型

研究界面上孔洞對SH波的散射，可按“契合”問題進(jìn)行處理，首先考慮由具有兩種不同材料常數(shù)(μ1，ρ1)和(μ2，ρ2)的彈性半空間Ⅰ、Ⅱ“契合”而成的無孔洞全空間中SH波的入射問題，穩(wěn)態(tài)諧和的平面SH波入射于契合的全空間，入射波w(i)在復(fù)平面z上可寫成

(1)

由于界面的存在，在介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ中分別存在反射波w(r)和折射波w(f)在復(fù)平面z上可寫成

(2)

(3)

把入射波w(i)、反射波w(r)和折射波w(f)分別作為入射波入射到含有任意形孔洞的全空間介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中，因此,產(chǎn)生的散射波場在映射平面η上[11],可分別表示為

(4)

(5)

(6)

式(4)、(5)和(6)中未知系數(shù)分別應(yīng)用孔邊應(yīng)力自由的邊界條件確定。映射函數(shù)z=ω(η)將在復(fù)平面z中任意形孔洞的外域映射到復(fù)平面η上單位圓的外域。將映射函數(shù)z=ω(η)代入式(1)，經(jīng)整理入射波作用的含孔洞的全空間介質(zhì)Ⅰ邊界條件可表示為

(7)

式中：

n=0,1,2,…,m

(8)

2 Green函數(shù)

為了求解界面孔洞在SH波作用下的散射場，需構(gòu)造一個含任意形凹陷的彈性半空間在水平表面上任意一點承受時間諧和的反平面線源荷載作用時的位移解，該位移函數(shù)即為適合于求解本文問題Green函數(shù)。Green函數(shù)的詳細(xì)的推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[12]，其表達(dá)式為

(9)

3 定解積分方程

w(t1)=w(i)+w(is)+w(r)+w(rs)

(10)

(11)

w(t2)=w(f)+w(fs)

(12)

(13)

然后，將介質(zhì)Ⅰ構(gòu)成的下半空間和介質(zhì)Ⅱ構(gòu)成的上半空間“契合”在一起，構(gòu)成界面孔模型，如圖1所示。為了滿足剖面上的連續(xù)條件，需分別在介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的剖分面上施加待定的外力系f1(r0,θ0),f2(r0,θ0)，在剖面上應(yīng)滿足應(yīng)力連續(xù)條件

(14)

滿足剖面上的位移連續(xù)條件，得到求解外力系f1(r0,θ0)的定解積分方程組

f1(r0,0)[G1(r,π,r0,0)+G2(r,π,r0,0)]=

G2(r,π,r0,π)dr0-

f1(r0,0)[G1(r,0,r0,0)+G2(r,0,r0,0)]dr0=

G2(r,0,r0,π)dr0-

(15)

式中，G1,G2分別為介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ中的Green函數(shù)，由式(9)所定義。

定解積分方程屬于半無限域上含弱奇異性的第一類Fredholm積分方程，其奇異性表現(xiàn)為Green函數(shù)的像點與源點重合時，被積核函數(shù)呈對數(shù)奇異性?？刹捎们蠼馊跗娈惙e分方程組的直接離散法，利用散射波的衰減特性，將積分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，求解出在一系列離散點上附加外力系的值，使問題獲得解答。

4 遠(yuǎn)場位移模式

散射波場的各個分量包括幾何波場對孔產(chǎn)生的散射波w(is)、w(rs)和w(fs)以及界面附加外力系產(chǎn)生的散射波w(f1)和w(f2)，介質(zhì)Ⅰ中，總的散射位移場為

wⅠs(r,θ)=w(is)(r,θ)+w(rs)(r,θ)+w(f1)(r,θ)=

(16)

介質(zhì)Ⅱ中，總的散射位移場為

wⅡs(r,θ)=w(fs)(r,θ)+w(f2)(r,θ)=

(17)

將式(9)表述的Green函數(shù)首項中的Hankel函數(shù),利用Bessel函數(shù)的Graf加法公式展開為

上述公式右邊的F(Ⅰ)和F(Ⅱ)即分別為介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的散射波遠(yuǎn)場位移模式

F(Ⅰ)(θ)=F(is)(θ)+F(rs)(θ)+F(f1)(θ)=

(18)

F(Ⅱ)(θ)=F(fs)(θ)+F(f2)(θ)=

(19)

5 界面孔對SH波散射的散射截面

對于承受穩(wěn)態(tài)波SH波作用的界面孔，在一個周期T=2π/ω的時間間隔內(nèi)，能流通量的時間平均值為：

(20)

式中:

散射界面是指散射波遠(yuǎn)場的總能量與入射波在單位面積上的時間平均能通量之比，將上述總散射能量與入射波在單位面積上的時間平均能通量

(21)

用γ表示這兩個能量之比

(22)

6 算例和討論

本文計算和分析界面上橢圓形和帶有圓角的方形孔的散射遠(yuǎn)場，映射函數(shù)ω(η)分別為

(23)

(24)

式中：a和b分別為橢圓的長半軸和短半軸，R=(a+b)/2，m=(a-b)/(a+b)，c為正方形邊長的一半。按式(23)和(24)將含橢圓孔和方孔介質(zhì)的外域映射為映射平面上單位圓外域，給出了不同材料組合時界面孔引起的散射波遠(yuǎn)場位移模式隨角度的變化以及散射截面隨入射波數(shù)的變化曲線。上下介質(zhì)不同材料的組合用兩個與材料常數(shù)有關(guān)的無量綱參數(shù)μ*=μ2/μ1和k*=k2/k1表示。

圖2給出了SH波垂直界面入射時，界面橢圓孔引起的散射波場的遠(yuǎn)場位移模式的分布圖。圖2中μ*=1.0和k*=1.0的參數(shù)組合對應(yīng)于均勻介質(zhì)中橢圓孔對SH波散射的遠(yuǎn)場位移模式，與文獻(xiàn)[13]中的遠(yuǎn)場位移模式的結(jié)果一致。由于兩種介質(zhì)交界面的存在，界面橢圓孔引起的遠(yuǎn)場位移模式的幅值在某個方向上明顯高于均勻介質(zhì)情況，隨入射波數(shù)k1a的增加，遠(yuǎn)場位移模式幅值的空間分布趨于復(fù)雜，并表現(xiàn)出很強(qiáng)的方向性。SH波垂直界面入射時，由于幾何邊界的對稱性，其遠(yuǎn)場位移模式幅值圖像對稱于y軸。在相同的介質(zhì)參數(shù)μ*和k*組合下，當(dāng)垂直界面的入射波數(shù)k1a相同時，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場位移幅值要高于界面圓孔[8]的遠(yuǎn)場位移幅值，這說明波垂直于橢圓孔的長軸，在波傳播方向上橢圓扁平，引起了波在這個方向上更多的散射能量。從圖2也可以看出，在相同入射波數(shù)k1a作用下，在波傳播速度小的一側(cè)介質(zhì)中散射波的遠(yuǎn)場位移幅值比波速大的一側(cè)高，這說明介質(zhì)的軟硬及其組合對散射波輻射有著顯著地影響。

圖2 SH波垂直界面入射時界面橢圓孔散射的遠(yuǎn)場位移模式

圖3 SH波垂直界面孔入射時界面橢圓孔散射的遠(yuǎn)場位移模式(μ*=5.0)

圖3給出了SH波垂直界面入射時，在μ*=5.0和不同的k*時，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場位移模式分布。在剪切模量和密度大的一側(cè)介質(zhì)中遠(yuǎn)場位移的幅值明顯偏小，這說明散射波的遠(yuǎn)場位移受介質(zhì)特性的影響很大，界面孔的散射遠(yuǎn)場特性既受孔洞幾何形狀的影響，也受到介質(zhì)特性和兩種介質(zhì)組合參數(shù)特性的影響。

圖4給出SH波與界面成45°角傾斜入射時，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場位移分布。由于入射波傳播方向不垂直于界面，界面橢圓孔的遠(yuǎn)場位移模式分布圖形不再對稱于y軸或其它方向，且遠(yuǎn)場位移模式分布圖趨于復(fù)雜。

圖4 SH波傾斜界面入射時界面橢圓孔的散射遠(yuǎn)場位移模式

圖5給出了SH波垂直界面入射時，界面方孔引起的散射波場的遠(yuǎn)場位移模式的分布。從圖可以看出，在不同參數(shù)組合下，在正方四角方向上可能會出現(xiàn)更高的遠(yuǎn)場位移幅值，與界面圓孔和橢圓孔相比，遠(yuǎn)場位移輻射方向發(fā)生了很大的變化。

圖5 SH波垂直界面入射時界面方孔散射的遠(yuǎn)場位移模式

圖6和圖7給出SH波垂直入射兩種不同材料界面橢圓孔時，散射截面隨入射波數(shù)k1a的變化曲線。當(dāng)μ*=1.0和k*=1.0時，圖中實線表示均勻介質(zhì)中橢圓孔的散射截面值，從圖中可以看出，界面橢圓孔散射產(chǎn)生的總散射能量明顯有別于均勻介質(zhì)的情況，隨著入射波數(shù)k1a的增大，在某些頻段出現(xiàn)散射截面值會明顯增大，且上下介質(zhì)材料的性質(zhì)相差越大，這種現(xiàn)象越明顯。當(dāng)k*=1.0，而μ*變化時，界面橢圓孔的散射截面值隨著入射波數(shù)的變化圍繞著均勻介質(zhì)時對應(yīng)的散射截面值呈波動變化，在μ*>1和μ*<1時，散射截面曲線的波峰和波谷相互交替出現(xiàn)。在k*=1.0的情況下，當(dāng)材料組合參數(shù)μ*變化時，散射截面曲線交替變化點的位置基本不變，與界面圓孔[8]相比，散射截面曲線交替變化點的位置發(fā)生移動。

圖6 SH波垂直界面橢圓孔入射在k*不同時散射截面隨入射波數(shù)的變化

圖9 SH波垂直界面方孔入射在k*不同時散射截面隨入射波數(shù)的變化

圖8和圖9給出SH垂直界面入射時，界面方孔的散射截面值隨入射波數(shù)k1c的變化曲線。散射截面曲線的變化規(guī)律與界面橢圓的相似，在某個頻段內(nèi)散射截面值明顯增大，但出現(xiàn)這種現(xiàn)象的頻段與界面橢圓有很大的不同。當(dāng)k*=1.0，而μ*變化時，散射截面曲線交替變化點的位置與界面橢圓時有很大差別，說明這時孔洞的形狀對散射截面值產(chǎn)生了很大的影響。

7 結(jié) 論

采用Green函數(shù)和復(fù)變函數(shù)方法研究了平面SH波在界面孔上散射問題的遠(yuǎn)場解，通過算例分析了界面橢圓孔和方孔散射的遠(yuǎn)場位移模式和散射截面值隨介質(zhì)特性、入射方向和入射波數(shù)的變化規(guī)律，從數(shù)據(jù)分析中可以得到以下結(jié)果：

(1) 界面孔對SH波散射，其散射波的遠(yuǎn)場位移模式和散射截面的變化，與無量綱入射波數(shù)、兩種介質(zhì)的剪切模量比μ*、兩種介質(zhì)的波數(shù)比k*和波的入射角度，且孔的形狀的影響非常顯著。

(2) 對于界面孔的遠(yuǎn)場解答，入射波數(shù)起重要作用，隨入射波數(shù)的增加，遠(yuǎn)場位移模式的分布曲線變化趨于復(fù)雜，且表現(xiàn)出很強(qiáng)的方向性。界面孔散射界面值的變化明顯有別于均勻介質(zhì)情況下的規(guī)律，在某個頻段內(nèi)散射截面值會明顯增大。

(3) 在界面處介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生急劇的變化，界面孔的散射能量在某個頻段內(nèi)會出現(xiàn)明顯增大的現(xiàn)象，特別是在低頻段能量異常增大，應(yīng)予以充分的重視。

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