含時(shí)變剛度及側(cè)隙的多級(jí)齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

胡 鵬, 路金昌, 張義民

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)被廣泛的應(yīng)用于機(jī)械工業(yè)領(lǐng)域，機(jī)床刀架的動(dòng)力就是通過(guò)齒輪傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。保證動(dòng)力系統(tǒng)傳動(dòng)的平穩(wěn)性，降低振動(dòng)和噪音是動(dòng)力分析的基本任務(wù)之一。李潤(rùn)方等[1]對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的建模方法，模型的類型以及非線性因素等多方面作了深入研究。對(duì)于單對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)特性，Kahraman等[2-3]給出了基于實(shí)驗(yàn)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)，從數(shù)值和解析兩方面給出動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。 唐進(jìn)元等[4]研究了間隙對(duì)含摩擦和時(shí)變嚙合剛度的動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。高建平等[5]對(duì)4自由度直齒輪非線性方程組采用基于打靶法的局部參數(shù)延拓法進(jìn)行了數(shù)值求解。Lin[6]對(duì)單級(jí)直齒輪系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)研究，并給出參數(shù)值變動(dòng)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。李發(fā)家等[7]采用集中質(zhì)量法，建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Runge-Kutta法求解了系統(tǒng)的響應(yīng)。多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的研究相對(duì)受限，許多對(duì)系統(tǒng)影響顯著的復(fù)雜因素，例如元件之間的相互耦合，軸承的支撐作用，脫齒以及滑動(dòng)摩擦，沒(méi)有完全加入模型當(dāng)中。唐增寶等[8]考慮時(shí)變嚙合剛度的影響，提出了多級(jí)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)仿真技術(shù)，采用模態(tài)分析法和狀態(tài)空間相結(jié)合的方法進(jìn)行求解。Al-shyyab A等[9]對(duì)非線性多級(jí)齒輪采用諧波平衡法進(jìn)行了解析求解，并分析了其動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。Lin等[10]對(duì)含時(shí)變剛度，脫齒現(xiàn)象的中間軸齒輪系統(tǒng)和惰輪齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深入研究，采用攝動(dòng)法進(jìn)行了解析求解，并與數(shù)值解比較。Raclot[11]介紹了一個(gè)考慮形狀偏差和安裝誤差對(duì)動(dòng)力學(xué)行為影響的數(shù)學(xué)模型，包括單齒對(duì)和多級(jí)傳動(dòng)模型。Liu[12]研究了多級(jí)齒輪系統(tǒng)的非線性問(wèn)題，給出3個(gè)數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)值法和近似解析法進(jìn)行了求解，并與有限元基準(zhǔn)模型進(jìn)行了對(duì)比，研究了參數(shù)不穩(wěn)定性，脫齒以及齒廓修形等問(wèn)題。

在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文考慮時(shí)變嚙合剛度，齒輪靜態(tài)傳遞誤差，齒側(cè)間隙等因素的影響，建立了動(dòng)力伺服刀架多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振模型，采用Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。通過(guò)改變轉(zhuǎn)速，嚙合剛度以及齒側(cè)間隙的大小，研究相應(yīng)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，為改善系統(tǒng)的傳動(dòng)平穩(wěn)性，降低噪音提供理論依據(jù)。

1 多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

多級(jí)齒輪系統(tǒng)的非線性分析較為復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化分析，本文模型只考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，同時(shí)滿足以下假設(shè)：

(1) 電機(jī)連接軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度遠(yuǎn)小于彎曲剛度，進(jìn)而認(rèn)為兩齒輪的中心固定，只做扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；

(2) 忽略所有軸承和中間惰輪軸的彈性變形；

(3) 忽略輪齒之間的摩擦力；

(4) 嚙合的兩齒輪均為漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪，嚙合力始終作用在嚙合線方向上，兩齒輪簡(jiǎn)化為由阻尼和彈簧相連接的圓柱體。

1.1 模型的簡(jiǎn)化

圖1為四級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型是在齒輪副純扭轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上考慮了傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度和電動(dòng)機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為了便于模型的建立和求解，把軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按功能等效和質(zhì)心不變?cè)矸峙涞礁鬏S的齒輪或轉(zhuǎn)子上，即將軸轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈勺枘嵩?，?jīng)換算后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖1 四級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

圖2 四級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在圖2中，θM，θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θL分別表示電動(dòng)機(jī)、齒輪和負(fù)載的角位移；JM，J1，J2，J3，J4，J5，JL為質(zhì)量元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Cs1和Cs2為軸的扭轉(zhuǎn)阻尼；ks1和ks2為軸的扭轉(zhuǎn)剛度；kg1，kg2，kg3和kg4為各級(jí)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度；Cg1，Cg2，Cg3和Cg4為各級(jí)齒輪副的嚙合阻尼；b1，b2，b3和b4為嚙合齒對(duì)的半側(cè)隙；TM和TL為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載上的扭矩。

1.2 非線性動(dòng)力學(xué)微分方程的建立

基于給定的假設(shè)條件，得到四級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)7自由度動(dòng)力學(xué)微分方程。

(1)

式中，Rbi為各齒輪的基圓半徑，Wdi為齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力，且

其中，e1(t)，e2(t)，e3(t)，e4(t)為嚙合齒輪副的靜態(tài)傳遞誤差。令uj=Rbjθj(j=1,2,3,4,5)，則動(dòng)態(tài)傳遞誤差xi(t)=(ui-ui+1)。gi(t)(i=1,2,3,4)為分段函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

對(duì)于純扭轉(zhuǎn)模型來(lái)說(shuō)，其矩陣形式可以表示如下

(2)

式中，U為等效位移向量，設(shè)uM=Rb1θM，uL=Rb5θL；M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為包含時(shí)變嚙合剛度的矩陣，F(xiàn)T為外部載荷向量。E為由嚙合阻尼、時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差引起的激勵(lì)向量，令δi∈{ei(t)-bi,0,ei(t)+bi}，它的取值與上述分段函數(shù)的判定條件相對(duì)應(yīng)。則

U=[uM,u1,u2,u3,u4,u5,uL]T

FT=[TM/Rb1, 0, 0, 0, 0, 0, -TL/Rb5]T

2 模型中參數(shù)的計(jì)算

嚙合過(guò)程中的嚙合剛度kg具有明顯的周期性，在單雙齒交替嚙合時(shí)有突變。為簡(jiǎn)化計(jì)算，齒輪嚙合剛度的周期性變化可等效為圖3所示的矩形波形式。

圖3 簡(jiǎn)化的嚙合剛度周期變化

函數(shù)表達(dá)式如下：

(3)

式中，kmax和kmin分別取雙齒嚙合和單齒嚙合時(shí)的平均值，T為嚙合周期，ε為重合度。

將式(3)所示的嚙合剛度以嚙合頻率進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，取一階分量進(jìn)行計(jì)算，則

kg(t)=km+amcos(ωmt)+bmsin(ωmt)

(4)

式中，km，am，bm分別為傅里葉展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，一階余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)，且

km=(ε-1)kmax+(2-ε)kmin

am=(kmax-kmin)sin(2πε)/π

bm=-[kmin+(kmax-kmin)cos(2πε)]/π

參數(shù)ωm為齒輪副的嚙合頻率：

ωm=2πn1z1/60

靜態(tài)傳遞誤差e(t)是由齒形誤差，齒距偏差和齒的彈性變形等因素組成的周期性位移激勵(lì)，以內(nèi)部激勵(lì)的基頻進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，同樣保留一階項(xiàng)

e(t)=e0+Aesin(ωet+φ)

(5)

式中，e0為常數(shù)項(xiàng)，Ae為一階諧波幅值，φ為相位角，ωe=ωm。

阻尼效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述是十分復(fù)雜的，為了便于振動(dòng)響應(yīng)分析，采用以下公式進(jìn)行簡(jiǎn)化求解

式中，kg取嚙合剛度的均值，ξg為輪齒嚙合的阻尼比，按照Kasuba[13]和Wang[14]的分析計(jì)算，一般取值為0.03～0.17，此處取均值0.1。

傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算表達(dá)式為

ks=IpG/ls

式中，Ip為極慣性矩，G為剪切模量，ls為軸長(zhǎng)。

電動(dòng)機(jī)連接軸和負(fù)載連接軸的阻尼表達(dá)式為

式中，ξs為軸的阻尼比，根據(jù)文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，ξs為0.005～0.007，本文取0.005。

3 動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果分析

以圖1所示的傳動(dòng)系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，給定齒輪基本參數(shù)，精度等級(jí)均為5級(jí)。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.006 15 kg·m2，轉(zhuǎn)速為4 000 r/min；輸入輸出軸的長(zhǎng)度分別為80 mm，33.7 mm，內(nèi)外徑分別為d1out=58 mm，d1in=38 mm，d2out=36 mm,d2in=25 mm；各齒對(duì)半齒側(cè)間隙b取50 μm，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩TM=35 N·m，負(fù)載力矩為TL=54 N·m。

表1 傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪的基本參數(shù)

3.1 嚙合剛度的求解

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，結(jié)合表1中的參數(shù)，采用MATLAB和ANSYS的APDL語(yǔ)言編程計(jì)算，結(jié)果如圖4所示，kg表示的是單位齒寬上的剛度大小。由于齒對(duì)2和3參數(shù)一致，其計(jì)算結(jié)果相同。以齒對(duì)1為例，由文獻(xiàn)[17]可知，基于石川公式的日本機(jī)械學(xué)會(huì)的結(jié)果為17.2 N/(mm·μm)；基于威伯-班納斯切克公式的ISO公式草案的近似值為18.91 N/(mm·μm)；ANSYS計(jì)算結(jié)果的平均值為18.74 N/(mm·μm)；本文采用文獻(xiàn)[16]算法求出的平均值為19.78 N/(mm·μm)。計(jì)算誤差分別為13.04%，4.4%和5.26%，由于石川公式將輪齒看做一個(gè)梯形加上矩形的組合，其齒厚較精確建模要小，變形量偏大，所以剛度值偏小，誤差較大。

圖4 各級(jí)齒對(duì)的嚙合剛度值

結(jié)合公式(3)和(4)，得到各齒對(duì)嚙合剛度的展開(kāi)項(xiàng)值，其結(jié)果由表2給出。

3.2 動(dòng)態(tài)傳遞誤差

對(duì)方程式(2)采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行求解，得到動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。動(dòng)態(tài)傳遞誤差(DTE)的時(shí)域圖和頻譜圖如圖5和圖6所示，分別對(duì)應(yīng)輸入端和輸出端齒對(duì)的響應(yīng)情況。由圖5知，齒對(duì)1的DTE的均值比齒對(duì)4的值要小，這是由于齒對(duì)1的嚙合剛度要比齒對(duì)4的值大，嚙合變形量較小，故其DTE的均值相對(duì)較小。

表2 各級(jí)嚙合剛度的展開(kāi)項(xiàng)數(shù)值

從頻譜圖6中分析，齒對(duì)1與齒對(duì)4的主要幅值的頻率點(diǎn)是一致的，對(duì)應(yīng)頻率值有497，636，1 133，1 630，2 266，3 399 Hz等，由系統(tǒng)的固有特性分析可知，497 Hz為系統(tǒng)的二階固有頻率f2，1 133 Hz對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的嚙合頻率fn；而fn-f2和fn+f2對(duì)應(yīng)636 Hz和1 630 Hz，2 266 Hz，3 399 Hz為二倍嚙頻和三倍嚙頻，且齒對(duì)4在二倍嚙頻處幅值較齒對(duì)1的大。由于其響應(yīng)結(jié)果中含有值為半側(cè)隙b的常值項(xiàng)，所以在0 Hz處存在較大振幅，為了體現(xiàn)其他頻率下較小的幅值情況，在圖中沒(méi)有體現(xiàn)。

嚙合剛度值影響著DTE的大小，轉(zhuǎn)速同樣對(duì)DTE值有較大影響，而DTE是影響齒輪系統(tǒng)平穩(wěn)性的主要因素，所以給出不同嚙合剛度在不同轉(zhuǎn)速下的DTE的均方根幅值(減去均值后)(Root-mean-square, RMS)和均值。設(shè)定各級(jí)嚙合剛度值分別取0.9 kg，kg，1.1 kg和1.2 kg，轉(zhuǎn)速變化范圍設(shè)為1 000～10 000 r/min，結(jié)果如圖7和圖8所示；由于不同嚙合剛度下DTE變化趨勢(shì)大體一致，圖9只給出了嚙合剛度為kg時(shí)嚙合過(guò)程中出現(xiàn)的三種嚙合狀態(tài)的比例值。

圖5 齒對(duì)1和4的DTE時(shí)域圖，n=4 000 r/min

圖6 齒對(duì)1和4的DTE頻譜圖，n=4 000 r/min

由圖7知，不同嚙合剛度下，齒對(duì)1和4的DTE的均方根值在低速段和高速段存在較大波動(dòng)，這是由于系統(tǒng)的強(qiáng)非線性而出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，而轉(zhuǎn)速在4 000～8 000 r/min 時(shí)，齒對(duì)的DTE幅值較小，由圖6的頻譜圖可以看出，系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期嚙合狀態(tài)。圖8為齒對(duì)的DTE的平均幅值，由于齒側(cè)間隙的存在，導(dǎo)致嚙合狀態(tài)發(fā)生改變，出現(xiàn)較大比例的嚙合脫齒和側(cè)面接觸，使得均值減?。辉谄椒€(wěn)波動(dòng)段，通過(guò)局部放大圖可以看到嚙合剛度越大，其DTE的均值越小，這是由于DTE中含有的嚙合變形部分減小。從圖9不難看出，嚙合狀態(tài)在4 000～8 000 r/min范圍主要為正面嚙合，即正常嚙合，而在其他段則出現(xiàn)較大比例的脫齒，這導(dǎo)致了圖7和圖8現(xiàn)象的產(chǎn)生，所以對(duì)于非線性系統(tǒng)，要注意其對(duì)參數(shù)的敏感性，避免產(chǎn)生較大波動(dòng)的響應(yīng)結(jié)果。

圖7 齒對(duì)1和齒對(duì)4的DTE的RMS(減去均值后)值

3.3 動(dòng)態(tài)嚙合力

齒輪系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)嚙合力的變化體現(xiàn)了沖擊程度并影響系統(tǒng)噪音的大小。圖10給出了轉(zhuǎn)速為4 000 r/min時(shí)的動(dòng)態(tài)嚙合力，由圖10(a)可知，齒對(duì)1動(dòng)態(tài)嚙合力最大可達(dá)2.3倍的靜態(tài)嚙合力，且趨于零的值所占比例較小，即脫齒的狀態(tài)較少，這與圖8的結(jié)果一致。圖10(b)所示齒對(duì)4的動(dòng)態(tài)嚙合力最大為2.5倍的靜態(tài)嚙合力，其它趨勢(shì)與齒對(duì)1相同。由圖7和圖8知，轉(zhuǎn)速在1 000～3 000 r/min及8 000～10 000 r/min處幅值有較大波動(dòng)，圖9表明此時(shí)出現(xiàn)了較大比例的脫齒，且還有側(cè)面接觸，從而導(dǎo)致了幅值的波動(dòng)。圖11為轉(zhuǎn)速是3 000 r/min的動(dòng)態(tài)嚙合力，可知嚙合過(guò)程中零值所占比例增大，偶有負(fù)值，與圖7～圖9的結(jié)果吻合。當(dāng)嚙合剛度發(fā)生變化時(shí)，嚙合力的值隨嚙合剛度的增大而增大，圖12為轉(zhuǎn)速4 000 r/min，嚙合剛度為1.2kg的仿真結(jié)果，比kg的結(jié)果稍大，且嚙合狀態(tài)比例中脫齒現(xiàn)象更加明顯。

圖10 齒對(duì)1和齒對(duì)4的動(dòng)靜嚙合力比值，n=4 000 r/min

4 結(jié) 論

(1) 建立了含時(shí)變嚙合剛度，齒側(cè)間隙和靜態(tài)傳遞誤差的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行了合理的簡(jiǎn)化，用數(shù)值解法進(jìn)行了求解。

(2) 在轉(zhuǎn)速為4 000 r/min時(shí)，對(duì)齒對(duì)1和齒對(duì)4的DTE進(jìn)行了時(shí)域和頻譜分析，可以看出系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期嚙合狀態(tài)，且波動(dòng)較為平穩(wěn)；從頻譜圖看出，幅值主要處于f2，fn-f2，fn，f2+fn，2fn，3fn等頻率點(diǎn)。

(3) 分析了齒對(duì)的DTE在不同嚙合剛度下隨轉(zhuǎn)速變化的均方值(減去均值)和平均值。不同轉(zhuǎn)速段下系統(tǒng)的嚙合狀態(tài)存在較大差異，導(dǎo)致均方差和平均幅值存在較大波動(dòng)，當(dāng)嚙合狀態(tài)中脫齒所占比例較大時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)處于混沌狀態(tài)，而當(dāng)其比例較小時(shí)系統(tǒng)基本處于準(zhǔn)周期狀態(tài)。

(4) 在分析了DTE的基礎(chǔ)上，分析了動(dòng)態(tài)嚙合力隨轉(zhuǎn)速及嚙合剛度變化的影響，其變化情況同樣受到嚙合狀態(tài)變化的影響。

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