基于FFT多諧波平衡法的金屬橡膠隔振系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

李玉龍，白鴻柏，何忠波，路純紅，李冬偉

(軍械工程學(xué)院,石家莊 050003)

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，隔振系統(tǒng)的工作環(huán)境日益復(fù)雜、惡劣，復(fù)雜的工況對隔振系統(tǒng)性能的要求也不斷提高，因此，基于干摩擦耗能機(jī)理的非線性隔振器如鋼絲網(wǎng)隔振器、鋼絲繩隔振器、金屬橡膠隔振器等獲得了較大的發(fā)展和應(yīng)用。以金屬橡膠隔振器為例，由于其耐高溫、抗腐蝕、隔振頻帶寬、能夠自動(dòng)避開共振有效的抑制振動(dòng)幅度等獨(dú)特的優(yōu)勢，越來越受到工程界的高度重視，在航空航天、尖端軍事工業(yè)等高科技領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但它們的廣泛應(yīng)用需要更加精確的方法以準(zhǔn)確地計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)，這類振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算也成為了研究的熱點(diǎn)問題。

國內(nèi)外學(xué)者對具有干摩擦的振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算做了大量的研究[2-8]。總結(jié)來看研究這類問題的方法有拓?fù)鋷缀畏?、?shù)值法和解析法。拓?fù)鋷缀畏▋H獲得非線性振動(dòng)的定性規(guī)律；數(shù)值法可以進(jìn)行定量分析；解析法不僅能確定非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律，而且還能得到運(yùn)動(dòng)特性對系統(tǒng)參數(shù)的依賴關(guān)系，是非線性振動(dòng)問題研究的重要方法。但大部分非線性動(dòng)力學(xué)問題不存在精確的解析解。目前常用的近似解析法有攝動(dòng)法、平均法、多尺度法、諧波平衡法等。但它們對系統(tǒng)響應(yīng)解的形式?jīng)]有嚴(yán)格的判定依據(jù)，大部分學(xué)者采用以激勵(lì)頻率為主導(dǎo)的單一諧波平衡法[3,7-8]。但是，非線性系統(tǒng)的振動(dòng)往往包含多諧波成分[9-10]，單一諧波平衡法卻忽略了其他諧波的作用，很難獲得與實(shí)際響應(yīng)匹配較好的精確解。文獻(xiàn)[9]提出了FFT多諧波平衡法，采用多個(gè)諧波作為非線性微分方程的基礎(chǔ)解，證明了該方法能較好地適應(yīng)非線性隔振系統(tǒng)多種頻率成分共存的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)情況。本文也將基于FFT多諧波平衡法，來研究探討金屬橡膠類非線性遲滯隔振系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)問題。

1 力學(xué)模型

根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域的不同，金屬橡膠可以設(shè)計(jì)成不同結(jié)構(gòu)以制備隔振器，滿足不同的隔振需求，軍械工程學(xué)院白鴻柏教授做了大量的研究，并設(shè)計(jì)了多種隔振器結(jié)構(gòu)，最常見的結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 金屬橡膠試件

(1)

一般無記憶恢復(fù)力g0是變形狀態(tài)的二元函數(shù)，可展開為多項(xiàng)式形式如下。

(2)

圖2 力學(xué)模型

盡管無記憶恢復(fù)力的一般表達(dá)式比較復(fù)雜，但是工程中常見的金屬橡膠隔振器實(shí)驗(yàn)建模結(jié)果表明，無記憶恢復(fù)力中的立方非線性成分是主要的支配因素。因此它們可以用含有立方非線性粘性阻尼雙線性遲滯模型來近似描述，且足以滿足工程應(yīng)用中的精度要求[4]。若以單自由度金屬橡膠隔振系統(tǒng)為例，其力學(xué)模型如圖2所示，設(shè)作用于設(shè)備的激勵(lì)是簡諧激勵(lì)：p(t)=p0cos(ωt)。

振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為：

z(t)=p0cos(ωt)

(3)

2 FFT多諧波平衡法

根據(jù)諧波平衡的思想，系統(tǒng)中盡管存在非線性因素的影響，但在一定條件下其定常解仍然是近似簡諧的[10]，且非線性系統(tǒng)的多諧波振動(dòng)響應(yīng)是具有普遍性的現(xiàn)象，因此可以將該非線性振動(dòng)系統(tǒng)的解表達(dá)為具有多諧波的組合形式[9]：

(4)

式中，αm為整數(shù)或分?jǐn)?shù)(α1=1)分別代表超諧波和亞諧波運(yùn)動(dòng)響應(yīng)成分；ω為系統(tǒng)的激振頻率；A1，…，Am，B1，…，Bm代表諧波分量幅值。

對于孔子已經(jīng)評價(jià)過的人物，司馬遷常常是直接采取孔子的評價(jià)，例如稱吳太伯為“至德”，稱微子、箕子、比干為殷之“三仁”，稱董狐為“良史”，趙盾為“良大夫”，子產(chǎn)為“古之遺愛”。這些都是孔子已經(jīng)評價(jià)過的人物，司馬遷便因襲孔子的觀點(diǎn)，直接以孔子的評價(jià)作為自己的評價(jià)。而對于孔子以后或者孔子所未評論到的人物，司馬遷也非常善于使用孔子留下來的概念來進(jìn)行評價(jià)，如評價(jià)呂不韋為“聞”，評價(jià)萬石、建陵、張叔為“君子”，評價(jià)田叔“居是國必聞其政”，這都是借用孔子留下的現(xiàn)成概念或標(biāo)準(zhǔn)來評價(jià)人物。由此我們可以看出，在評價(jià)歷史人物時(shí)，孔子的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是司馬遷的重要價(jià)值尺度，甚至取舍褒貶都與孔子一致。

可將式(4)代入振動(dòng)微分方程，并化簡降階為關(guān)于cos(αmωt),sin(αmωt),(m=1,2,…,M)的方程。由于系統(tǒng)各階諧波分量保持平衡，相同階數(shù)諧波系數(shù)應(yīng)相等，有如下關(guān)于各諧波分量的非線性方程組。

(5)

解方程組(5)可以得到諧波項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，顯然該方法的精度受到諧波項(xiàng)的數(shù)量和頻率的影響。

若先用四階Runge-Kutta法求出系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解，再對響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)將信號轉(zhuǎn)化到頻域內(nèi)，提取出主要的頻率成分，以確定系統(tǒng)響應(yīng)中的主要諧波分量信息。這樣就可以確定系統(tǒng)響應(yīng)的精確解析解。這種方法即為FFT多諧波平衡法[9]。

假設(shè)由上述方法獲得某金屬橡膠隔振系統(tǒng)的多諧波解析解，表達(dá)式為：

y(t)=y1cos(ω1t+φ1)+…+

ymcos(ωmt+φm)

(6)

由式(6)可得系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)式周期振動(dòng)，振動(dòng)周期為：

T=2aπ/ω

(7)

其中，a是系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)所包含的頻率成分ω1,ω2,…,ωn的最小公倍數(shù)，ω是激勵(lì)頻率。

(8)

式中：

(9)

引入式(9)是為了描述一個(gè)完整周期T內(nèi)的“平均功率”。其中，PT表示傳遞力在一個(gè)周期內(nèi) “功率”的平均值，P0表示激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi) “功率”的平均值，由于引入了T=2aπ/ω，該式可以包含亞諧波、超諧波甚至擬周期和混沌振動(dòng)的多種情況[9]。

(10)

其位移與記憶恢復(fù)力的關(guān)系如圖3所示。

圖3 雙折線本構(gòu)關(guān)系

考慮其增量方程并進(jìn)行Fourier級數(shù)展開得[1]：

(11)

其中：

(12)

若以峰值到達(dá)的時(shí)間點(diǎn)為界限，則一個(gè)周期內(nèi)傳遞力的平均功率精確表達(dá)為：

(13)

將計(jì)算得到的傳遞力“平均功率”PT和激勵(lì)力“平均功率”P0一個(gè)周期內(nèi)的平均功率代入(8)式，即可獲得精確的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率。由于式(8)中傳遞率的表達(dá)式是關(guān)于激勵(lì)頻率ω的函數(shù)，可通過該式獲得精確的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率幅頻響應(yīng)關(guān)系。到此便得到了金屬橡膠隔振系統(tǒng)的精確解析解及系統(tǒng)的隔振特性。

3 算 例

由以上分析可知，不同系統(tǒng)的響應(yīng)解形式及所對應(yīng)的諧波組合都不同，合理選擇必要的諧波分量、確定響應(yīng)中主要的頻率成分是求解的關(guān)鍵。

由系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜圖4(b)可知，系統(tǒng)的主要諧波成分不僅有單一諧波(ω=10)成分，還有亞諧波(ω=1.95)成分，且亞諧波為主要成分。針對這兩個(gè)頻率，結(jié)合(3)式和(6)式，解得系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式為：

yF(t)=4.604cos(3.90σπ×t+3.347 5)+

1.558cos(20πt+0.437 8)

(14)

用文獻(xiàn)[4]的方法可求得單一諧波平衡法求得系統(tǒng)響應(yīng)解的表達(dá)式為：

yD(t)=1.593cos(20πt+0.436 9)

(15)

單一諧波響應(yīng)和FFT多諧波響應(yīng)的解析解與數(shù)值解比較如圖5所示。

再由式(14)計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)各響應(yīng)的極值點(diǎn)，并認(rèn)為a近似取10，并代入式(9)，結(jié)合式(8)用數(shù)值方法可計(jì)算出FFT多諧波響應(yīng)方法的振動(dòng)傳遞率ηF≈0.213 5；利用式(8)、(9)、(15)三式聯(lián)立可求得單一諧波平衡響應(yīng)法的振動(dòng)傳遞率為ηD≈0.149 1；計(jì)算得系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解的振動(dòng)傳遞率ηS≈0.224 7。以數(shù)值解的振動(dòng)傳遞率為準(zhǔn)，比較兩種方法的傳遞率與數(shù)值解的傳遞率可得：單一諧波平衡法求得的振動(dòng)傳遞率的相對誤差為30.16%；FFT多諧波平衡法求得的振動(dòng)傳遞率的相對誤差為5.24%。

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解及頻譜圖

由以上分析可知，F(xiàn)FT多諧波響應(yīng)的解析解與數(shù)值解基本吻合，而單一諧波平衡法的解析解與數(shù)值解相差很大，已經(jīng)無法正確反映系統(tǒng)的響應(yīng)。由此說明，金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)響應(yīng)存在多種諧波成分，單由激勵(lì)頻率為主導(dǎo)的單一頻率的系統(tǒng)響應(yīng)僅僅是個(gè)別情況，不能夠準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的響應(yīng)。

必須指出，非線性系統(tǒng)的幅值特性曲線并非單值。在激勵(lì)頻率的某些區(qū)間內(nèi)，同一頻率對應(yīng)于振幅的多個(gè)不同值，系統(tǒng)響應(yīng)取哪個(gè)穩(wěn)定解，取決于系統(tǒng)的初始條件。同樣，非線性系統(tǒng)的隔振傳遞率也非單值，不同初始條件對應(yīng)不同的隔振傳遞率，因此確定非線性隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線時(shí)，應(yīng)首先說明系統(tǒng)的初始條件。Schlesing[6]以達(dá)芬方程為例對初始條件的影響做了詳細(xì)的論述，這里不再贅述，感興趣的讀者可以查看該文獻(xiàn)。

4 結(jié) 論

本文以金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)為研究對象，用FFT多諧波平衡法研究了系統(tǒng)響應(yīng)的解析解及某頻率下的振動(dòng)傳遞率，并通過算例比較了單一諧波平衡法和FFT多諧波平衡法的優(yōu)劣，證明了FFT多諧波平衡法在分析金屬橡膠非線性系統(tǒng)響應(yīng)特性的適用性。

但是應(yīng)該指出，該方法也有一定的局限性，當(dāng)對系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解進(jìn)行頻譜分析時(shí)，如果有很多的頻率成分，則FFT多諧波響應(yīng)方法得到的系統(tǒng)解析解就比較復(fù)雜，且太多諧波分量的引入會增大計(jì)算的難度，為求解隔振系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率帶來很大的麻煩，求取系統(tǒng)一個(gè)周期內(nèi)的平均功率也會非常復(fù)雜。例如當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，頻率成分太多且頻譜的幅值不能被忽略。該問題需要進(jìn)一步的研究。

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