一種求解簡支鋼—混結(jié)合梁通用撓度表達式的數(shù)學解析方法

侯忠明，夏 禾，王元清，張彥玲

(1. 清華大學 土木工程系，北京 100084；2. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京市 100044； 3. 石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊 050043)

鋼-混結(jié)合梁(下文簡稱結(jié)合梁)充分利用混凝土板抗壓和鋼梁抗拉的特點，采用抗剪連接件連接。這種構(gòu)造方式受力性能優(yōu)越，造型多樣且施工方便，被大量應(yīng)用在建筑、公路和鐵路橋梁中。對于短跨及中等跨度的橋梁，尤其是60 m至80 m范圍內(nèi)，鋼-混凝土結(jié)合梁橋的單位面積造價比混凝土橋要低18%以上，在綜合效益上具有一定的優(yōu)勢[1]，歐美等國在25 m～60 m跨徑范圍內(nèi)的橋梁幾乎都采用結(jié)合梁[2]。

由于抗剪連接件的柔性，外荷載作用下混凝土板和鋼梁之間會產(chǎn)生一定的滑移，因此在進行結(jié)合梁靜力計算時，必須要考慮由于這種滑移帶來的影響[3]。而正是由于界面滑移的存在，與普通的單一材料梁(如混凝土梁，鋼梁等)相比，其動力特性也表現(xiàn)出顯著不同[4-5]。

當前公開報道的考慮界面滑移的結(jié)合梁撓度的表達式方法一般有以下幾類：

第一類方法是基于彈性理論的換算截面法，也是最早期的方法，首先由Andrews[6]提出，假定鋼與混凝土兩種材料均是理想的彈性體，兩者完全連接，變形協(xié)調(diào)，通過彈性模量比將混凝土換算成鋼材，按材料力學的方法進行計算。但這種方法未考慮鋼與混凝土交界面上實際的相對滑移，使承載力及變形結(jié)果偏于不安全，應(yīng)該說，彈性設(shè)計法只適用于正常使用極限狀態(tài)的分析。

第二類方法是為避免第一類方法帶來計算誤差，以剛度折減系數(shù)[7]或組合系數(shù)[8]的形式建立了結(jié)合梁的剛度計算公式，來考慮滑移對結(jié)合梁整體剛度降低的影響，計算接結(jié)合梁的撓度表達式。這兩種方法雖然考慮了滑移因素，能體現(xiàn)組合梁實際變形性能，但剛度折減系數(shù)ξ的表達式并不是單調(diào)函數(shù)，受剪力連接件取值范圍的限制；后者的組合系數(shù)方法是建立在半理論半經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，只有兩個極端情況下放大系數(shù)ψ的解析解，中間取值只能用插值方法，且只能近似求得部分連接結(jié)合梁的撓度，未考慮完全連接時滑移效應(yīng)的影響。

第三類方法是通過鋼梁與混凝土板之間的相對滑移微分方程，考慮結(jié)合梁因滑移而引起的附加撓度，以得到考慮抗剪連接件柔性的結(jié)合梁撓度的一般公式[9]。這種方法考慮了滑移效應(yīng)和剪力連接程度的影響，為了滿足工程應(yīng)用需要，采用了一些修正系數(shù)和構(gòu)造限制以滿足計算要求。

另外一種方法是通過能量變分原理，對混凝土翼板的內(nèi)頂板、懸臂板和鋼梁底板分設(shè)不同的縱向翹曲形函數(shù)，并考慮鋼梁與混凝土板之間的相對滑移，采用概念比較明確的位移疊加法，得到不同荷載作用方式下結(jié)合梁撓度的解析解[10]。這種方法能夠考慮結(jié)合梁剪切變形以及剪力滯的影響，能夠求得多種荷載作用下結(jié)合梁的通用撓度表達式，但其中一些計算參數(shù)的計算方法較復(fù)雜。

上面幾種考慮滑移的結(jié)合梁撓度的求解方法，均是基于靜力理論。本文根據(jù)結(jié)合梁的基本動力理論(詳細推導(dǎo)見文獻[11])，基于模態(tài)疊加法，本文提出一種全新的求解集中荷載作用下結(jié)合梁的通用撓度表達式的數(shù)學分析方法，并與測試結(jié)果進行了對比。此方法的特點是：荷載可以是常量荷載，稍作變換也可以求得一定形式的時變荷載(如簡諧荷載)作用下的撓度；同時，推導(dǎo)過程物理意義清晰，表達式參數(shù)意義明確，實際應(yīng)用方便。本文以常量荷載為例，對所提出的方法進行說明。

1 基本分析模型及振動方程

為考慮抗剪連接件的影響，把結(jié)合梁劃分成兩個子梁，即混凝土板和鋼梁，見圖1。

建立基本分析模型時，作如下假設(shè)：

(1) 混凝土板和鋼梁之間沒有因掀起而脫離，即二者豎向變形協(xié)調(diào)；

(2) 考慮到一般的結(jié)合梁高跨比比較小，故忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響；

(3) 鋼梁及混凝土板未發(fā)生大變形，均視為梁；

(4) 剪力栓釘承受的剪力沿梁長均勻分布，縱向單位長度的剪切剛度為常量；

(5) 在小變形時，栓釘所承受的剪力與變形成線性關(guān)系。

圖1 結(jié)合梁微元示意圖

1.1 微元平衡方程

取長度為dx的一段微元，其交界面上的剪力可表示為QL(x)=Ksδdx，并作以下定義：下標1、2分別代表混凝土和鋼梁。

(1) 豎向力平衡方程

假設(shè)混凝土板與鋼梁的阻尼系數(shù)分別為c1(x)和c2(x)，分別考慮鋼梁與混凝土板微元的豎向力平衡，即可建立結(jié)合梁微元的豎向力平衡方程

(1)

式中：Q(x,t)、m(x)和c(x)分別為單位長度的梁所承受的剪力、質(zhì)量和阻尼系數(shù)。

(2) 彎矩平衡方程

假設(shè)混凝土板和鋼梁重心軸之間的距離為h，它們到整個結(jié)合梁的重心軸的距離分別為h1和h2，顯然h=h1+h2。對兩個子梁的重心軸右側(cè)分別取矩并求和，則可得到結(jié)合梁微元的彎矩平衡方程

(2)

式中：M(x,t)、Q(x,t)、f1(x,t)和fD(x,t)分別為梁體所承受的彎矩、剪力、慣性力和阻尼力。

(3) 位移協(xié)調(diào)方程

假設(shè)在dx的長度范圍內(nèi)，當梁體發(fā)生豎向撓度v(x,t)時，所引起的混凝土板與鋼梁之間的縱向相對滑移為δ，由此而引起的重心軸法向連線的轉(zhuǎn)角為θ，混凝土板和鋼梁的轉(zhuǎn)角為v′，則由圖1可知

δ=(θ+v′)h

(3)

若不考慮式(2)中的極小項，則其可寫為

(4)

顯然，對于長度為dx的微元，有以下關(guān)系式

Ksh2(θ+v′)=(EI)cθ″

(5)

式中：θ為由混凝土板和鋼梁之間的相對滑移引起的其重心軸法向連線的轉(zhuǎn)角。上式左端為長度為dx的結(jié)合梁的滑移δ引起的彎矩，而右側(cè)為長度為dx結(jié)合梁滑移角θ引起的彎矩。

1.2 振動方程的建立

p(x,t)+Ksh2(θ′+v″)

(6)

由式(6)和式(5)整理可得考慮了結(jié)合梁滑移的等截面直線結(jié)合梁的運動方程

(7)

式(7)中：(EI)F=(EI)C+(EI)B，表示抗剪連接件的剛度KS為無窮大時結(jié)合梁的截面剛度，即相當于二者之間沒有滑移的狀態(tài)。

2 結(jié)合梁振動方程的求解

2.1 振動方程的求解及振型方程

假定解的形式為

v(x,t)=φ(x)·q(t)

(8)

式中：φ(x)表示振型，可看作式(7)的特征函數(shù)，而q(t)表示隨時間變化的振幅。代入式(7)，可得分離變量后的結(jié)合梁的振動方程，即

(9)

(10)

為6階常微分方程，其特征方程為

(11)

φ(x)=Asinhλ1x+Bcoshλ1x+Csinhλ2x+

Dcoshλ2x+Esinλ3x+Fcosλ3x

(12)

這就是等截面簡支直線結(jié)合梁的振型方程。根據(jù)不同的邊界條件，可得到各個系數(shù)的值。

2.2 邊界條件和自振頻率

對于等截面簡支直線結(jié)合梁，在x=0及x=L處，梁的位移、彎矩均為0；θ′可視為其角滑移應(yīng)變，在端部時為0，在跨中最大。那么根據(jù)式(5)，有以下關(guān)系：

分別代入式(12)，可得到關(guān)于系數(shù)A,B,C,…的六元齊次方程。若使上述六元齊次方程系數(shù)A,B,C,…不全為0，那么其系數(shù)矩陣行列式(6階)的值應(yīng)該為0，即

sinhλ1Lsinhλ2Lsinhλ3L=0

(14)

式(14)中僅當sinhλ3L=0時才成立，即λ3=nπL，則振型φn(x)=sin(nπL)。以λ=±iλ3代入式(11)可得

(15)

(16)

形式上與普通直梁一致，而(EI)F可視為不考慮滑移時結(jié)合梁的剛度。那么有

ωn=γnωn,F

(17)

(18)

式(18)中：(EI)eq表示結(jié)合梁的等效剛度。

3 集中荷載作用下簡支結(jié)合梁的振動

3.1 振動方程的建立

在前文推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，把各階振型分量疊加起來，于是有

(19)

式(19)兩邊各乘以φn(x)，并沿梁長對x積分，有

(20)

利用簡支直線結(jié)合梁的正交條件及相應(yīng)的邊界條件[11]，可知當i≠n時，其運動方程的某些項等于0，而廣義阻尼項也可以簡化。則上式可寫成

(21)

(22)

3.2 集中荷載下的振動方程

圖2 集中力作用下結(jié)合梁的響應(yīng)

(23a)

(23b)

(23c)

(23d)

(24)

上式為常系數(shù)線性微分方程，各階振型方程是相互獨立的。雖然上述方程表達式與普通梁沒有差別，但其自振圓頻率表達式卻比普通梁的復(fù)雜得多，見式(15)。注意到，此處荷載ps不隨時間而改變，從形式上看，式(24)的結(jié)果反映了施加集中荷載后結(jié)合梁的最終反應(yīng)。

3.3 振動方程的求解

式(24)為常系數(shù)線性微分方程，若忽略瞬態(tài)項，容易得到其特解為

(25)

上式中，由于ps為不隨時間改變的常力，因此表達式中右側(cè)項同樣沒有出現(xiàn)時間項。

由前文推導(dǎo)可知，簡支結(jié)合梁的第n階振型可表示為φn(x)=sin(nπx/L)，那么根據(jù)振型疊加法，承受集中荷載的結(jié)合梁的最終反應(yīng)為

(26)

式中，v(x,t)為梁上x位置時的撓度值。

把結(jié)合梁自振圓頻率的表達式代入，并作三角函數(shù)變換，有

vS1+vS2+vS3

(27)

式中：

上式中的級數(shù)有三項，包含數(shù)學中的常用的兩種級數(shù)形式，即

(28a)

(28b)

vS1和vS2可轉(zhuǎn)化為S1所示的級數(shù)形式，S1的求和結(jié)果為[12]

(0<θ<1)

(29)

式中：φn(x)為Bernoulli函數(shù)，Bk為Bernoulli數(shù)。

vS3可轉(zhuǎn)化為S2所示的級數(shù)形式，S2求和結(jié)果為

(30)

當k=1時，φ2(x)=x2-x，B1=1/6；當k=2時，φ4(x)=x4-2x3+x2，B2=1/30。把上述表達式代入式(27)并簡化，有

(31a)

(31b)

其中

把a2=(1+β)/(απ2)=(λ/π)2代入并稍作變換，得到vS3具體結(jié)果為

(32)

(33)

(34)

可知，當知道集中荷載在梁上的作用相對位置后，通過上式容易求出結(jié)合梁的任意位置處的豎向撓度，且這個撓度不隨時間變化。

(35)

上述表達式共有兩項：第一項相當于不考慮結(jié)合梁的滑移時的撓度表達式，與普通梁的一致；第二項是考慮滑移后的附加撓度。第一項和第二項之和，就是結(jié)合梁在集中靜荷載作用下的撓度表達式。

上述推導(dǎo)均未考慮剪切變形和剪力滯的影響。下文將結(jié)果的正確性進行驗證。

4 推導(dǎo)結(jié)果驗證

4.1 理論驗證

(1) 與現(xiàn)有公式的比較

對于式(33)和式(34)中第一項，相當于不考慮滑移的普通梁，經(jīng)過簡單變換，結(jié)果與結(jié)構(gòu)力學里的結(jié)果完全一致，即按初等梁理論得到的結(jié)果。之所以分成兩個表達式，是因為集中力的存在導(dǎo)致剪力分布圖的突變，其表達式為分段函數(shù)。

如果同時考慮滑移的影響,式(33)和式(34)和文獻[10]中公式(2-52)和(2-53)的表達式一致(不考慮剪切變形和剪力滯的影響)。這說明本文從動力理論所得到的集中荷載作用下結(jié)合梁撓度的靜力表達式是正確的，驗證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性，換算過程略。

假如集中力ps作用在跨中，那么Pr=Px=0.5。代入式(33)和式(34)，經(jīng)過變換得到

(36)

與文獻[5]中的表達式完全一致，且前一項與普通梁在同樣荷載作用下的撓度表達式一致。

可以看出，對結(jié)合梁力學行為的求解，有多種方法和途徑，從動力學方法所得到的結(jié)果，同時也反映了結(jié)合梁的動力學和靜力學之間的聯(lián)系。從某種意義上來說，靜力荷載作用于結(jié)合梁上時，是其動力響應(yīng)的一種特殊狀態(tài)。

4.2 試驗驗證

(1) 模型參數(shù)

采用作者在文獻[11]中的簡支鋼-混結(jié)合梁模型。模型為箱型截面，跨度4 200 mm，梁全長4 500 mm，混凝土板長4 400 mm，寬700 mm，厚110 mm；鋼梁高200 mm，下翼緣寬500 mm，翼緣板厚8 mm，腹板厚6 mm；栓釘直徑13 mm，高50 mm。每片梁用Q235鋼材430 kg，C30混凝土0.35 m3，栓釘42個(部分連接PCB，剪力連接度為60%)或70個(完全連接FCB)。栓釘剛度的取值原則參見相關(guān)文獻[13-14]。

(2) 結(jié)果驗證

表1 集中荷載作用下簡支結(jié)合梁的跨中撓度

從表中可以知道，對于此試驗梁而言，在上述荷載大小的范圍內(nèi)，結(jié)合梁跨中撓度的理論值與實測值吻合良好，進一步驗證了本文推導(dǎo)的正確性。

5 結(jié) 論

通過本文建立的結(jié)合梁基本動力理論，得到了集中荷載(也可以是其它形式的荷載)作用下結(jié)合梁靜撓度的通用級數(shù)表達式，通過一定的數(shù)學變換，使其符合級數(shù)求和條件；將其相應(yīng)的Bernoulli函數(shù)和Bernoulli數(shù)代入，即可得到與靜力方法一致的集中荷載作用下結(jié)合梁撓度的通用表達式，且能體現(xiàn)滑移引起的附加撓度的影響。并與實測結(jié)果進行了對比，結(jié)果吻合良好。

主要結(jié)論如下：

(1) 與普通單一材料的梁相比，考慮相對滑移后的結(jié)合梁動力平衡方程形式上更為復(fù)雜，明顯體現(xiàn)了抗剪連接件的影響，但仍可簡化為常見的二階常系數(shù)微分方程進行求解；

(2) 考慮鋼梁與混凝土板之間的界面滑移后，結(jié)合梁的豎向自振頻率明顯降低。這說明界面相對滑移使結(jié)合梁整體剛度下降，頻率降低，因此在靜力和動力計算中都必須考慮其影響；

(3) 通過一定的數(shù)學變換，可將通常只能數(shù)值求解的響應(yīng)表達式滿足級數(shù)求和條件，以相應(yīng)的Bernoulli函數(shù)和Bernoulli數(shù)代入，即可得到集中荷載作用下簡支結(jié)合梁的通用撓度表達式，此表達式不僅能體現(xiàn)不考慮滑移的單一材料梁的撓度結(jié)果，也能反映因滑移引起的附加撓度的影響。

(4) 本文的方法不僅適用于結(jié)合梁，也適用于普通梁；荷載作用形式可以是常量荷載，稍作變換也可以求得一定形式的時變荷載(如簡諧荷載)作用下的撓度；可以是單個荷載，也可以是多個荷載；同時，本文撓度表達式參數(shù)意義明確，應(yīng)用方便。

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