基于振型轉(zhuǎn)換的螺栓連接梁非線(xiàn)性振動(dòng)研究

衛(wèi)洪濤，孔憲仁，王本利，張相盟

(1.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州 450001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150086)

連續(xù)體的非線(xiàn)性振動(dòng)在航天器結(jié)構(gòu)中是廣泛存在的現(xiàn)象，如采用銷(xiāo)接連接以及套筒連接的桁架結(jié)構(gòu)[1-2]、帶有展開(kāi)機(jī)構(gòu)的天線(xiàn)、太陽(yáng)帆板，以及火箭發(fā)射時(shí)載荷的特定模態(tài)[3]，可以簡(jiǎn)化為帶有非線(xiàn)性邊界條件的連續(xù)體振動(dòng)系統(tǒng)，其邊界條件如遲滯效應(yīng)[4]，連接結(jié)構(gòu)中的摩擦力[5]、間隙[6]等是較常見(jiàn)的非線(xiàn)性特性，研究人員認(rèn)為，航天器的連接結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性對(duì)整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響是顯著的[7]，典型的如航天器結(jié)構(gòu)地面振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中的基頻漂移現(xiàn)象[3]，對(duì)發(fā)射安全具有潛在的危害，對(duì)航天器結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)的研究一直以來(lái)都得到了航天領(lǐng)域工程師們的重點(diǎn)關(guān)注。

前人對(duì)于螺栓連接結(jié)構(gòu)的研究包括實(shí)驗(yàn)研究[8-10]及建模研究[11-14]，螺栓連接結(jié)構(gòu)的靜力實(shí)驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出典型的遲滯非線(xiàn)性特性[9]，對(duì)其力學(xué)特性進(jìn)行建模的模型包括Iwan模型[11]，Masing模型[12]，Praiseich模型[14]等，有研究證明其本質(zhì)是一樣的，可以統(tǒng)一用Iwan模型來(lái)表示[12]。近年來(lái)，螺栓連接對(duì)連續(xù)體的振動(dòng)影響多集中在實(shí)驗(yàn)研究上，針對(duì)不同的對(duì)象，如兩段用螺栓連接的梁[9],帶螺栓連接的框架等[8]，研究人員得到了連接的力學(xué)特性以及其對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響，但是從文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)看，螺栓連接對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響并沒(méi)有得到徹底的理論研究。

帶有螺栓連接的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，可以看作帶有時(shí)變非線(xiàn)性邊界條件的連續(xù)體振動(dòng)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題包括邊界帶間隙連接結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題，前人在解決邊界帶間隙的連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上，采取基于振型轉(zhuǎn)換思想的數(shù)值方法，如Moon等[15]采取單振型近似，利用梁上特殊點(diǎn)將系統(tǒng)方程連續(xù)化，揭示了系統(tǒng)在特定參數(shù)下的混沌振動(dòng)；Shaw[16]利用單振型研究了單側(cè)阻擋彈簧的懸臂梁的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，認(rèn)為單振型近似足夠用于進(jìn)行定性研究，得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果近似的結(jié)論；Chuang[17]研究了一端夾支，一端具有帶間隙的單彈簧阻擋的梁的非線(xiàn)性振動(dòng)，總結(jié)并評(píng)價(jià)了前人研究類(lèi)似問(wèn)題的兩種方法，即力積分法和振型轉(zhuǎn)換法，并分別用這兩種方法對(duì)帶單阻擋的懸臂梁算例進(jìn)行了數(shù)值研究，討論了阻擋彈簧的剛度對(duì)梁幅頻響應(yīng)的影響，認(rèn)為振型轉(zhuǎn)換法比力積分法有更廣的適用范圍。基于振型轉(zhuǎn)換的思想，Ervin[18-19]研究了一個(gè)兩端夾支中間帶剛體的梁的撞擊問(wèn)題，得到了如分岔、亞諧波共振、超諧波共振、混沌等非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象；Shih等[20]取微坐標(biāo)測(cè)量器為背景，考慮了振型耦合的影響；另外一些基于振型轉(zhuǎn)換的連續(xù)體撞振問(wèn)題研究見(jiàn)文獻(xiàn)[21-22]，對(duì)于邊界條件是Iwan模型建模的遲滯非線(xiàn)性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17]中的步驟已不適用，新的普適的方法有待建立。

基于振型疊加及傳遞的思想，結(jié)合Iwan模型，本文利用前面工作中提出的一種可以求解分段線(xiàn)性邊界條件連續(xù)體振動(dòng)問(wèn)題的新方法——相對(duì)振型轉(zhuǎn)換法[23]來(lái)求解帶有螺栓非線(xiàn)性邊界條件連續(xù)體振動(dòng)問(wèn)題。這是首次基于振型轉(zhuǎn)換的思想嘗試求解此類(lèi)振動(dòng)問(wèn)題，研究了其代表的一類(lèi)非線(xiàn)性系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)的響應(yīng)。

1 研究方法描述

1.1 基于時(shí)間驅(qū)動(dòng)的Iwan模型

(1)

(2)

式中φ(f*)取決于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可有不同的形式[24]，下文的研究中采用經(jīng)典的均布函數(shù)，引入?yún)?shù) Δf為分布寬度，β=Δf/(2fy)，有屈服力分布函數(shù)表達(dá)式：

H[f*-fy(1+β)]}

(3)

其中H( )為Heaviside函數(shù)。

圖1 Iwan模型結(jié)構(gòu)圖

為了簡(jiǎn)化建模仿真，重新構(gòu)造Jenkin’s單元的力-位移關(guān)系式，得到基于時(shí)間驅(qū)動(dòng)的Iwan模型，與經(jīng)典的基于位移的表達(dá)式相比，該表達(dá)式在加載階段及飽和輸出階段具有統(tǒng)一的形式。有：

fJ=

(4)

其中a(tn)為tn時(shí)刻Jenkin’s單元的輸入位移。

1.2 一端固支一端螺栓連接梁相對(duì)振型轉(zhuǎn)換法

圖2 端點(diǎn)帶螺栓連接梁結(jié)構(gòu)示意圖

對(duì)于一端固支一端帶螺栓連接結(jié)構(gòu)的對(duì)象如圖2所示，利用Iwan模型對(duì)其右端的連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，由1.1節(jié)知，在梁的一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，每當(dāng)有Jenkin’s單元屈服時(shí)，Iwan模型的剛度會(huì)減小，其邊界剛度會(huì)經(jīng)歷減小-增大-減小的循環(huán)過(guò)程，具體力-位移關(guān)系見(jiàn)圖3，因此該系統(tǒng)的振動(dòng)本質(zhì)上可看作為分段線(xiàn)性邊界條件問(wèn)題，可用相對(duì)振型轉(zhuǎn)換法對(duì)其進(jìn)行處理。

梁的振動(dòng)方程可以表達(dá)為：

(5)

式中,δ(x-L)為狄拉克函數(shù)，F(xiàn)(x,t)=f(x)cos(ωt)為激勵(lì)力，V(t)為螺栓連接對(duì)梁的橫向反力，令梁從靜止開(kāi)始受激勵(lì)力作用，采用包含N個(gè)Jenkin’s單元的Iwan模型對(duì)螺栓連接進(jìn)行建模，假設(shè)t1時(shí)刻第一個(gè)Jenkin’s單元屈服，t1時(shí)刻前系統(tǒng)為線(xiàn)性振動(dòng)，梁上任一點(diǎn)的橫向位移可以表達(dá)為w(x,t)=w1(x,t)，t2時(shí)刻Iwan模型的第二個(gè)Jenkin’s單元屈服，t1～t2時(shí)刻系統(tǒng)同樣處于線(xiàn)性振動(dòng)狀態(tài)，t1時(shí)刻發(fā)生一次振型轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)由剛度為k的振型轉(zhuǎn)換為剛度為k(N-1)/N振型，令梁的振型為邊界條件轉(zhuǎn)換前的振型疊加上轉(zhuǎn)換后的振型，則梁上任一點(diǎn)的橫向位移為：w(x,t)=w1(x,t1)+w2(x,t)，以此類(lèi)推，假設(shè)某ti時(shí)刻，系統(tǒng)經(jīng)歷第M(M

(6)

取前S階振型來(lái)近似：

(7)

式中φin(x)，φrn(x)為對(duì)應(yīng)邊界條件梁振型，ain(t)，arn(tr)為振型振幅，有邊界螺栓連接的反力V(t)=-Kw(L,t)，將式(6)代入到梁的振動(dòng)方程(5)中，利用Galerkin方法進(jìn)行處理，可以得到任意t時(shí)刻系統(tǒng)的振動(dòng)方程：

j=1…S

(8)

式中tr為邊界條件發(fā)生改變的時(shí)刻點(diǎn)。

Fj=

(9)

(10)

有：

(11)

2 數(shù)值求解及討論

考慮算例參數(shù)如表1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)表

2.1 算例梁受迫振動(dòng)響應(yīng)及討論

如前文所述，參數(shù)辨識(shí)不是本文的研究目的，所以在利用Iwan模型對(duì)螺栓連接建模時(shí)，取Jenkin’s單元個(gè)數(shù)N=2,5,20，其余參數(shù)如表1，則Iwan模型的力-位移曲線(xiàn)圖如圖3所示。

圖3 典型參數(shù)Iwan模型力-位移圖

從圖3知，取5個(gè)Jenkin’s單元近似時(shí)與20個(gè)單元近似時(shí)曲線(xiàn)已經(jīng)基本重合，因此對(duì)于單純的遲滯非線(xiàn)性，考慮計(jì)算效率因素，取5個(gè)Jenkin’s單元進(jìn)行近似，Jenkin’s單元個(gè)數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響，下文還將繼續(xù)討論。對(duì)上述表中參數(shù)的算例，其初始小位移時(shí)的振型以及5個(gè)Jenkin’s單元全部屈服后的振型[26]如圖4所示。

圖4 梁振型

振型表達(dá)式為：

φn(x)=Ansin(knx)+Bncos(knx)+

Cnsinh(knx)+Dncosh(knx)

(12)

圖4中x，y軸分別為無(wú)量綱后的參數(shù)x/L，φn/Bn，可知當(dāng)連接結(jié)構(gòu)彈簧剛度減小時(shí)，端點(diǎn)有遠(yuǎn)離x軸的趨勢(shì)。

顯然，激勵(lì)力足夠大時(shí)，系統(tǒng)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，會(huì)隨著Iwan模型的加載與卸載而在各不同線(xiàn)性振型之間轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換條件為：

(13)

或

(14)

式(13)中Δi為Jenkin’s單元屈服位移點(diǎn)，條件(13)對(duì)應(yīng)如圖3(b)中滑移點(diǎn)，條件(14)為速度反向點(diǎn)，如圖3a中a,b點(diǎn)。用5階振型對(duì)各狀態(tài)進(jìn)行近似，Iwan模型中Jenkin’s單元的個(gè)數(shù)為5，采用四階Runge-Kutta法求解該算例的位移響應(yīng)，仿真步長(zhǎng)1×10-5，取10s時(shí)間歷程，典型參數(shù)(激勵(lì)力幅值、頻率)設(shè)定下端點(diǎn)的1周期及2周期運(yùn)動(dòng)時(shí)程圖、相圖及振型匹配的過(guò)程圖如圖5所示。

圖5 單周期運(yùn)動(dòng)梁端點(diǎn)狀態(tài)切換時(shí)的振型映射

2.2 振型耦合、Jenkin’s單元個(gè)數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響

首先研究振型截?cái)嗉癐wan模型參數(shù)設(shè)置對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，通過(guò)式(6)，(7)，系統(tǒng)離散為在不同狀態(tài)下的S階振動(dòng)方程，改變振型的數(shù)目S，得到梁端點(diǎn)響應(yīng)的分岔圖與S之間的關(guān)系如圖6，可以考察振型之間的耦合作用對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，以便確定合適的振型離散數(shù)目N，在計(jì)算精度與效率之間求得平衡，這里取Iwan模型的Jenkin’s單元個(gè)數(shù)不變?yōu)?。

圖6 特定參數(shù),不同的振型離散數(shù)目N,梁端點(diǎn)響應(yīng)幅頻響應(yīng)圖及時(shí)程圖，k=4.7E3

圖7 特定參數(shù),不同的Jenkin’s單元個(gè)數(shù),梁端點(diǎn)響應(yīng)幅頻響應(yīng)圖及時(shí)程圖

圖6中x軸變量的表達(dá)式為ω*=ω/ω1，ω為激勵(lì)力頻率，ω1為系統(tǒng)第1階模態(tài)的基頻，y軸變量w*的表達(dá)式為w*=w/s1，w為端點(diǎn)位移，s1為Jenkin’s單元的最小屈服位移，不同的Jenkin’s單元屈服位移是s1的整數(shù)倍。從圖中可知，1振型近似與5振型近似時(shí)端點(diǎn)響應(yīng)幾乎相同，在該掃頻區(qū)間僅在端點(diǎn)處有較小的振幅差別，且整個(gè)掃頻區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單的單周期運(yùn)動(dòng)，隨著振型數(shù)目S的增加，響應(yīng)沒(méi)有變復(fù)雜的趨勢(shì)；特定參數(shù)時(shí)程圖對(duì)比，兩種振型截?cái)鄠€(gè)數(shù)設(shè)定下，系統(tǒng)響應(yīng)僅有較小的幅值差別。

取振型個(gè)數(shù)S=5，改變Iwan模型中Jenkin’s單元的個(gè)數(shù)，研究其對(duì)端點(diǎn)響應(yīng)的影響。由圖3知不同的Jenkin’s單元個(gè)數(shù)影響Iwan模型的力-位移圖的“光滑度”，在求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，Jenkin’s單元個(gè)數(shù)增加會(huì)令系統(tǒng)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)模態(tài)傳遞的次數(shù)增加。圖7中，橫坐標(biāo)單位表達(dá)式與圖6中相同，而縱坐標(biāo)表達(dá)式為w*=w/s，s在改變Jenkin’s單元個(gè)數(shù)時(shí)保持不變，為Iwan模型整體屈服時(shí)的位移。求系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，微調(diào)激勵(lì)力大小令共振峰幅值一致，從圖7中可知，隨著Jenkin’s單元個(gè)數(shù)的增加，響應(yīng)的共振峰向高頻移動(dòng)，這是由于增加Jenkin’s單元的個(gè)數(shù)能間接減少系統(tǒng)剛度的損失(采用1個(gè)Jenkin’s單元時(shí)系統(tǒng)剛度無(wú)損失，為雙線(xiàn)性系統(tǒng))，這一點(diǎn)由圖3也可以看出，隨著Jenkin’s單元個(gè)數(shù)增加，系統(tǒng)剛度也漸漸趨向于雙線(xiàn)性系統(tǒng)。

圖8 阻尼及激勵(lì)力對(duì)端點(diǎn)響應(yīng)的影響，k=4.7E3

2.3 阻尼、激勵(lì)力幅值及端點(diǎn)螺栓連接剛度對(duì)響應(yīng)的影響

阻尼與預(yù)緊力是影響時(shí)變非線(xiàn)性邊界條件連續(xù)體系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的重要因素[18]，如下圖8a為增大阻尼對(duì)端點(diǎn)響應(yīng)分岔圖的影響，下文圖中坐標(biāo)ω*與w*表達(dá)式與圖6(a)中相同，從圖8(a)中可知：

模態(tài)阻尼比增大后，共振峰降低，隨著阻尼的持續(xù)增大，共振峰會(huì)有向低頻漂移的趨勢(shì)；在遠(yuǎn)離共振峰的掃頻區(qū)間(ω*<0.7和ω*>1.3)，阻尼對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)幅值的影響較??；與阻尼相同，激勵(lì)力大小引起的整體結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性響應(yīng)同樣是航天工程中非常敏感的問(wèn)題[3,7]，改變激勵(lì)力幅值大小，可得特定參數(shù)下激勵(lì)力幅值對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響如圖8(b)，可以看出激勵(lì)力對(duì)比阻尼，全頻域內(nèi)對(duì)響應(yīng)幅值都有明顯的影響，在該系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定下，隨著激勵(lì)的增大，系統(tǒng)共振峰微弱地由高頻向低頻漂移，這是由于遲滯非線(xiàn)性的存在導(dǎo)致系統(tǒng)剛度在大振幅振動(dòng)時(shí)損失較大引起。

圖9 阻擋彈簧剛度對(duì)端點(diǎn)響應(yīng)的影響

端點(diǎn)彈簧剛度也是影響系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的重要因素之一[18]，圖9為改變Iwan模型剛度及系統(tǒng)共振峰幅值，固定其他參數(shù)得到的端點(diǎn)響應(yīng)圖。由圖9知，不同的剛度設(shè)定下，隨著共振峰幅值增大，系統(tǒng)共振峰有不同程度的向低頻漂移的現(xiàn)象；剛度較大時(shí)，漂移程度較小，系統(tǒng)更加趨向于線(xiàn)性，共振峰幅值較大時(shí)(ω*=4.2)，這一現(xiàn)象尤為明顯。

3 結(jié) 論

本文利用一種解決分段線(xiàn)性邊界條件連續(xù)體受迫振動(dòng)的新方法——相對(duì)振型轉(zhuǎn)換法研究了一端固支一端帶有螺栓連接梁的振動(dòng)響應(yīng)，該法基于模態(tài)傳遞的思想，通過(guò)將每次狀態(tài)轉(zhuǎn)換后新?tīng)顟B(tài)各模態(tài)位移重置為0，前一狀態(tài)各模態(tài)坐標(biāo)處理后作為新振動(dòng)方程中的參數(shù)，該方法對(duì)于一類(lèi)可轉(zhuǎn)變?yōu)榉侄尉€(xiàn)性邊界條件的連續(xù)體系統(tǒng)均可以進(jìn)行求解，具有廣泛適用性。這是首次嘗試用模態(tài)傳遞的思想來(lái)研究遲滯非線(xiàn)性邊界條件連續(xù)體振動(dòng)問(wèn)題，說(shuō)明振型轉(zhuǎn)換思想不僅可以用來(lái)求解連續(xù)體的撞振問(wèn)題，還可以應(yīng)用到其他具有復(fù)雜非線(xiàn)性邊界條件(如遲滯等)的連續(xù)體動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究中，擴(kuò)展了振型轉(zhuǎn)換法的適用范圍。從算例結(jié)果來(lái)看，新方法具有良好的收斂性，計(jì)算精度高，計(jì)算高效，對(duì)結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是下一步的工作。

在本文算例的設(shè)定下，1階與5階振型近似在反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)差別不大，邊界條件的“光滑度”對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的非線(xiàn)性特性具有一定的影響，力——位移圖越光滑，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中的非線(xiàn)性特性也越趨向于減弱。在進(jìn)行參數(shù)研究時(shí)，采用5階振型近似，5個(gè)Jenkin’s單元對(duì)Iwan模型建模，利用端點(diǎn)響應(yīng)的分岔圖進(jìn)行研究，在特定的掃頻區(qū)間，系統(tǒng)表現(xiàn)出單周期運(yùn)動(dòng)，以及弱頻率漂移非線(xiàn)性特性，即系統(tǒng)的共振峰隨著激勵(lì)力的增大向低頻漂移，得到了阻尼、激勵(lì)力幅值及端點(diǎn)阻擋彈簧的剛度對(duì)該類(lèi)振動(dòng)問(wèn)題的影響，可知大阻尼對(duì)系統(tǒng)的非線(xiàn)性響應(yīng)有較強(qiáng)的抑制作用；隨著激勵(lì)力的增大，系統(tǒng)非線(xiàn)性響應(yīng)——頻率漂移程度逐漸增大；端點(diǎn)彈簧的剛度影響系統(tǒng)頻率漂移的程度，相同振幅條件下，剛度越大頻漂越小，這是由于剛度較大時(shí)，即使大振幅振動(dòng)時(shí)邊界剛度有一定的損失，余下的剛度仍然可令系統(tǒng)振型接近于兩端固支梁。

端點(diǎn)帶螺栓連接梁所代表的一類(lèi)系統(tǒng)其非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題具有實(shí)際工程背景，尤其是在研究航天器“頻率漂移”機(jī)理時(shí)，研究人員關(guān)注連接結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性對(duì)整體結(jié)構(gòu)“頻率漂移”的影響。從上面設(shè)定的系統(tǒng)得到的研究結(jié)果看，遲滯非線(xiàn)性邊界條件能夠造成連續(xù)體產(chǎn)生“頻漂”現(xiàn)象，但是其程度受端點(diǎn)限制(螺栓)剛度的影響較大。本文得到的結(jié)論對(duì)探討航天器“頻率漂移”現(xiàn)象的成因具有重要的參考價(jià)值。

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